河北省辛集中学2020届高三9月月考数学（理）试题 23页

河北辛集中学2017级高三上学期第二次阶段考试 高三数学（理科）试卷 一．选择题（每小题5分，共80分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）‎ ‎1.在复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数代数形式的运算化简，再由几何意义确定象限即可 ‎【详解】‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查复数代数形式运算及几何意义，熟记复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．‎ ‎2.已知，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用两角和的正切公式，求得tan（θ）的值．‎ ‎【详解】∵tanθ，则tan（θ），‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．‎ ‎3.若函数在上是增函数，则关于的不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 二次函数在区间上单调递增，结合复合函数的单调性可得：，‎ 所求解的不等式即：，利用指数函数的单调性可得，‎ 不等式等价于：，‎ 综上可得：关于的不等式的解集为.‎ 本题选择A选项.‎ ‎4.在中，，，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图所示，由==，可得，代入即可得出．‎ ‎【详解】如图所示，‎ ‎∵==，‎ ‎∴，‎ ‎∴•===﹣．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了向量的平行四边形法则、数量积运算性质，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎5.设，若曲线与直线，，所围成封闭图形的面积为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 被积函数为，被积区间为，由此得出封闭区域面积为，可求出的值.‎ ‎【详解】由题意可知，所求区域的面积为，∴.‎ ‎【点睛】本题考查利用定积分计算曲边梯形的面积，解题的关键就是确定被积函数以及被积区间，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎6.数列{an}通项公式是an＝，若前n项和为10，则项数n为()‎ A. 120 B. ‎99 ‎C. 110 D. 121‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先观察数列{an}的通项公式，数列通项公式分母可以有理化，把分母有理化后，把前n项和表示出来，进而解得n．‎ ‎【详解】∵数列{an}的通项公式是an，‎ ‎∵前n项和为10，‎ ‎∴a1+a2+…+an＝10，即（1）+（）1＝10，‎ 解得n＝120，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查数列裂项求和的知识点，把an转化成an是解答的关键．‎ ‎7.下列选项中，说法正确的是（ ）‎ A. 命题“，”的否定为“，”‎ B. 命题“在中，，则”的逆否命题为真命题 C. 若非零向量、满足，则与共线 D. 设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的充分必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据命题的否定，解三角形，向量的模，数列等概念，逐一验证各选项.‎ ‎【详解】对于A,命题的否定需要把存在性量词改成全称量词，故A选项错误，对于B,当时，若存在，则错误，故B选项错误，对于C，由可得：，化简得，所以与共线正确，对于D，当时，若首项是负数，则数列不是递增数列，故选项D错误.‎ ‎【点睛】本题主要考查了命题的否定，解三角形，向量的模，数列等概念，属于中档题.‎ ‎8.定义在上的偶函数（其中为自然对数的底），记，‎ ‎，，则，，的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数是偶函数得出，利用导数判断出函数在上单调递增，由偶函数的性质得出，利用中间值法以及对数函数的单调性比较、、三个数的大小关系，再由函数在上的单调性可得出、、三个数的大小关系.‎ ‎【详解】由函数是偶函数得，当时，所以函数在区间上单调递增，‎ 又．‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查函数值的大小比较，考查函数的单调性与奇偶性的应用，在处理这类问题时，可充分利用偶数的性质，将自变量置于区间内，利用函数在区间上的单调性来进行比较，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎9.在等差数列中，，且，为其前项和，则使的最大正整数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件判断出等差数列中正负项的分界点，然后再结合等差数列的前项和公式和下标和的性质求解即可．‎ ‎【详解】由条件得，等差数列的公差，‎ ‎∵，且，‎ ‎∴，即．‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎∴使的最大正整数为．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】解答类似问题的关键是找到数列的项或和的正负值的分界点，其中利用等差数列中项的下标和的性质和前项和的结合是解题的突破口，考查灵活运用知识解决问题和分析能力，属于中档题．‎ ‎10.设函数 ，若互不相等的实数满足，‎ 则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题可知，，则，‎ 且 所以，‎ 所以当时，取最大值；当时，取最大值，‎ 所以取值范围为，故选C。‎ 点睛：本题利用函数图象。由题意得到函数图象，并得，则 ‎，所以知本题取值范围即求二次函数的取值范围，再根据的范围求解即可。‎ ‎11.平行四边形中，，，点在边上，则的最大值为( )‎ A. B. C. 0 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的数量积的运算，求出A=120°，再建立坐标系，得到•=x（x﹣2）+=x2﹣‎ ‎2x+=（x﹣1）2﹣，设f（x）=（x﹣1）2﹣，利用函数的单调性求出函数的最值，问题得 以解决．‎ ‎【详解】∵平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，‎ ‎•=﹣1，点M在边CD上，‎ ‎∴||•||•cos∠A=﹣1，‎ ‎∴cosA=﹣，∴A=120°，‎ 以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂线为y轴，‎ 建立如图所示的坐标系，∴A（0，0），B（2，0），D（﹣，），‎ 设M（x，），则﹣≤x≤，‎ ‎∴=（﹣x，﹣），=（2﹣x，﹣），‎ ‎∴•=x（x﹣2）+=x2﹣2x+=（x﹣1）2﹣，‎ 设f（x）=（x﹣1）2﹣，则f（x）在[﹣，1）上单调递减，在[1，]上单调递增，‎ ‎∴f（x）min=f（1）=﹣，f（x）max=f（﹣）=2，‎ 则•的最大值是2，‎ 故答案为：D ‎【点睛】本题考查了向量的数量积定义和向量数量积的坐标表示和函数的最值问题，关键是建立坐标系，属于中档题．‎ ‎12.在数列中，，，若数列满足，则数列的最大项为　　‎ A. 第5项 B. 第6项 C. 第7项 D. 第8项 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用累加法求出数列的通项公式，可得，进一步利用 ‎，建立不等式组，从而可得结果．‎ ‎【详解】数列中，，，‎ 得到：，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 上边个式子相加得：‎ ‎，‎ 解得：．‎ 当时，首项符合通项．‎ 故：．‎ 数列满足，‎ 则，‎ 由于，‎ 故：，‎ 解得：，‎ 由于是正整数，‎ 故．故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查递推公式求数列的通项公式、累加法的应用，数列最大项的求法，属于难题．由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数列）；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加法求通项公式；（3‎ ‎）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；（4）构造法，形如的递推公式，可构造等比数例，进而得出的通项公式.‎ ‎13.已知函数，若恒成立，则实数a的最小正值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简f(x),分析出f(x)本身的最小正周期T，再根据分析出用a表示f(x)的最小正周期，最后根据两者相等，求得a的最小正值。‎ ‎【详解】由，则，所以f(x)的最小正周期T=‎ 因为，则，这f(x)的最小正周期T=,所以=，所以实数a的最小正值是，故答案选D ‎【点睛】本题主要考察带绝对值三角函数的周期，同时要会通过函数满足的关系式，分析函数周期 ‎14.已知数列是递减的等差数列，的前项和是，且，有以下四个结论：‎ ‎①；‎ ‎②若对任意都有成立，则的值等于7或8时；‎ ‎③存在正整数，使；‎ ‎④存在正整数，使．‎ 其中所有正确结论的序号是 A. ①② B. ①②③‎ C. ②③④ D. ①②③④‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由S6=S9，得到a7+a8+a9=0，利用等差数列的性质化简，得到a8=0，进而得到选项①正确；再由数列{an}是递减的等差数列以及a8=0，可得出当n等于7或8时，sn取最大值，选项②正确；利用等差数列的前n项和公式表示出S15，利用等差数列的性质化简后，将a8的值代入可得出S15=0，故存在正整数k，使Sk=0，选项③正确；当m=5时，表示出S10-S5，利用等差数列的性质化简后，将a8=0代入可得出S10-S5=0，即S10=S5 ，故存在正整数m，使Sm=S‎2m，选项④正确．‎ ‎【详解】，，‎ 由等差数列的性质，可得，，故结论①正确；‎ 数列是递减的等差数列，，‎ 当的值等于7或8时，取得最大值，故结论②正确；‎ 又，则，存在正整数时，使，故结论③正确；‎ 由等差数列的性质，可得，‎ 存在正整数，使，故结论④正确．‎ 故所有正确结论的序号是①②③④．故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列性质，以及等差数列的前n项和公式，利用了等量代换、以及整体代入的思想．利用a8=0这一特殊项盘活了整个等量代换过程，故根据题意得出a8=0是解本题的关键．‎ ‎15.已知函数的定义域为，，对任意的满足.当时，不等式的解集为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意构造函数，则，所以得到在上为增函数，又．然后根据可得，于是，解三角不等式可得解集．‎ ‎【详解】由题意构造函数，‎ 则，‎ ‎∴函数在上为增函数．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴不等式的解集为．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 解答此类问题时一般要根据题意构造辅助函数求解，构造时要结合所求的结论进行分析、选择，然后根据所构造的函数的单调性求解．本题考查函数和三角函数的综合，难度较大．‎ ‎16.已知函数，，若对，且，使得，则实数的取值范围是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对∀x∈（0，e），f（x）的值域为[，5），g′（x）＝a，推导出a＞0，g（x）min＝g（）＝1+lna，作出函数g（x）在（0，e）上的大致图象，数形结合由求出实数a的取值范围．‎ ‎【详解】当时，函数的值域为.由可知：当时，，与题意不符，故.令，得，则，所以，作出函数在上的大致图象如图所示，‎ 观察可知，解得.‎ 故选：B 点睛】‎ 本题考查实数的取值范围的求法，考查导数的性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上 ‎17.已知，则 的值是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由sin（x+）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos2（x+）的值，将所求式子的第一项中的角变形为π-（x+），第二项中的角变形为﹣（x+），分别利用诱导公式化简后，将各自的值代入即可求出值．‎ ‎【详解】解：∵sin（x+）＝，‎ ‎ ‎ ‎= ‎ ‎= ‎ ‎= ‎ ‎= ‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式，灵活变换角度是解本题的关键，属于基础题.‎ ‎18.已知，若，则a的取值范围______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，函数的解析式变形为，求出其定义域，分析易得在上为增函数，进而可得，解可得a的取值范围，即可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，，‎ 其定义域为；‎ 分析易得在上为增函数，‎ 若，则，‎ 解可得：或，‎ 即a的取值范围为；‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查函数的单调性的判定以及应用，解题时注意函数的定义域．‎ ‎19.丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据凸函数定义，只需满足在上恒成立即可，采用参变分离的方法将分离出来，然后利用对勾函数的性质分析关于的部分的取值，从而得出的取值范围.‎ ‎【详解】 ‎ ‎∵函数在上是“凸函数”，‎ ‎∴在上恒成立即 令，显然在上单调递增，‎ ‎∴‎ ‎∴t≥．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】（1）恒成立，则只需要；‎ ‎（2）存在成立，则只需要.‎ ‎20.已知首项为2的数列的前项和满足： ，记，当取得最大值时， 的值为__________．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ 因为，所以，所以.所以，‎ 因为，所以，‎ 所以数列是以为首项，公比为2的等比数列，‎ 所以，即，‎ 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，即.‎ 所以，‎ 因为对称轴，所以当时，取得最大值 故答案为：8.‎ 点睛：求解数列中的最大项或最小项的一般方法：‎ ‎（1）研究数列的单调性，利用单调性求最值；‎ ‎（2）可以用或；‎ ‎（3）转化为函数最值问题或利用数形结合求解.‎ 三、解答题(本大题共4小题,共计50分)‎ ‎21.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．‎ ‎（1）若的面积，求a+c值；‎ ‎（2）若2cosC（+）=c2，求角C．‎ ‎【答案】（1）5（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知利用三角形面积公式可求ac=6，结合余弦定理可求a+c的值．‎ ‎（2）利用平面向量数量积的运算，正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可求cosC=，结合范围C∈（0，π），可求C的值．‎ ‎【详解】解：（1）∵面积，‎ ‎∴=acsinB=ac，可得：ac=6，‎ ‎∵由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，可得：7=a2+c2-ac=（a+c）2‎-3ac=（a+c）2-18，‎ 解得：a+c=5．‎ ‎（2）∵2cosC（+）=c2，‎ ‎∴2cosC（accosB+bccosA）=c2，可得：2cosC（acosB+bcosA）=c，‎ ‎∴由正弦定理可得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，即2cosCsinC=sinC，‎ ‎∵sinC≠0，‎ ‎∴cosC=，‎ ‎∵C∈（0，π），‎ ‎∴C=．‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，平面向量数量积的运算，正弦定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．‎ ‎22.各项均为正数的数列中，，是数列的前项和，对任意，有.‎ ‎(1)求常数的值；‎ ‎(2)求数列的通项公式；‎ ‎(3)记，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）（3） ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)令中n=1即得p的值.(2)利用项和公式求数列的通项公式.(3)先求出，再利用错位相减法求数列的前项和.‎ ‎【详解】解：(1)由及，得：，‎ ‎∴.‎ ‎(2)由①，得②‎ 由②－①，得，‎ 即：，‎ ‎∴，‎ 由于数列各项均为正数，∴，即，‎ ‎∴数列是首项为1，公差为的等差数列，‎ ‎∴数列的通项公式是.‎ ‎(3)由，得：，∴，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎【点睛】（1）本题主要考查项和公式求数列的通项，考查等差数列的通项和求和公式，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 数列，其中是等差数列，是等比数列，则采用错位相减法.‎ ‎23.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）当时，若曲线与射线交于两点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可得曲线的普通方程为：,然后将其化为极坐标方程即可.‎ ‎（2）把 ‎，利用参数的几何意义可得，据此可得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）曲线的普通方程为：,‎ 令，‎ 化简得；‎ ‎（2）把 令 方程的解分别为点的极径，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的转化，参数方程与极坐标方程的几何意义 等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎24.已知函数(其中)，且曲线在处的切线与轴平行.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的单调区间；‎ ‎（3）若，试比较与1的大小关系．‎ ‎【答案】（1）（2）的单调递减区间为（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）推导出x＞0，f′（x）＝lnx+1﹣ax+1﹣a＝lnx﹣ax+2﹣a，由曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与x轴平行，得到f′（1）＝ln1﹣a+2﹣a＝0，由此能求出a．（2）由f（x）＝xlnx x2+1，令g（x）＝f′（x）＝lnx﹣x+1，则g（1）＝0，，由此利用导数性质能求出f（x）的单调减区间．（3）由x1+x2＝2，得x2＝2﹣x1，f（x1）+f（x2）﹣1＝f（x1）+f（2﹣x1）﹣1，令F（x）＝f（x）+f（2﹣x）﹣1＝xlnx+（2﹣x）ln（2﹣x）﹣x2+2x﹣1，0＜x＜2，F′（x）＝lnx﹣ln（2﹣x）﹣2x+2，令G（x）＝F′（x），G′（x），由此利用导数性质能推导出f（x1）+f（x2）≥1．‎ ‎【详解】（1）‎ 由题意得 则，经检验成立，所以成立 ‎（2）由（1）得：，定义域为，‎ 令 则 当时，‎ 当时，‎ 则的最大值为 则对于任意的，都有 的单调递减区间为 ‎（3）．‎ 由得，，．‎ 令，．‎ ‎，‎ 令，．‎ 当时，，单调递增，即单调递增．‎ 又，所以当时，，单调递减；当时，，递增．‎ 所以，即，所以．‎ ‎【点睛】本题考查实数值的求法，考查函数的单调减区间的求法，考查两点外函数值的和与1的关系的判断与求法，考查导数性质、导数的几何意义、构造法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．‎ ‎ ‎