2020届高三数学第三次月考试题（含解析） 15页

‎2019届高三数学第三次月考试题（含解析）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知 ，故选A.‎ ‎2. 设集合为，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知可得，，为不能被整除的数，为整数，又分母相同，故，故选B.‎ ‎3. 已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. 或 D. 2或 ‎【答案】A ‎【解析】因为焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，所以 ，故选A.‎ ‎4. 一支田径队有男运动员40人，女运动员30人，要从全体运动员中抽取一个容量为28的样本来研究一个与性别有关的指标，则抽取的男运动员人数为（ ）‎ A. 20 B. 18 C. 16 D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为田径队男运动员 ，女运动员人，所以这支田径队共有人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为的样本，所以每个个体被抽到的概率是，因为田径队有男运动员人，所以男运动员要抽取人，故选C.‎ - 15 -‎ ‎5. 等差数列中，是函数的两个零点，则的前9项和等于（ ）‎ A. -18 B. 9 C. 18 D. 36‎ ‎【答案】C ‎【解析】等差数列中，是函数两个零点，的前项和，，故选C...................‎ ‎6. 已知，则（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 32 D. -1‎ ‎【答案】A ‎【解析】由二项展开式的通项公式，可知都小于．则．在原二项展开式中令，可得．故本题答案选．‎ ‎7. 下图所示中，为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，为该题的最终得分，当，，时，等于（ ） ‎ A. 11 B. 10 C. 7 D. 8‎ ‎【答案】D - 15 -‎ ‎【解析】当，时，不满足，，故此时输入的值，并判断，若满足条件，此时，解得，这与与条件矛盾，若不满足条件，此时，解得，此时不成立，符合题意，综上所述，，故选D.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.‎ ‎8. 已知的面积为12，如果，则的面积为（ ）‎ A. 4 B. 5 C. 6 D. 7‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设 ，以 为邻边作平行四边形 ，连接 则 ， ，， ，所以可得的面积为 ，故选C.‎ ‎9. 已知，，，，从这四个数中任取一个数使函数有极值点的概率为（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ - 15 -‎ ‎【答案】B ‎【解析】对求导得 若函数 有极值点， 则 有2个不相等的实数根， 故 ，解得 ， 而 ‎ 满足条件的有2个，分别是 ， 故满足条件的概率 ‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及对数、指数的性质，解题时准确理解题意是解题的关键．‎ ‎10. 已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，且满足则其外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由题可知，O为△ABC的重心，△ABC外接圆的半径为，且三棱锥的高为1．故∴球＝＝，故选D 考点：三棱锥外接球的半径‚球的表面积公式 ‎11. 已知为抛物线的焦点，过作两条夹角为的直线，交抛物线于两点，交抛物线于两点，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设直线的倾斜角为 ，则 的倾斜角为，由过焦点的弦长公式 ，可得 ， ，所以可得 ‎ - 15 -‎ ‎ ‎ ‎ ，的最大值为，故选D.‎ ‎12. 已知，函数对任意有成立，与的图象有个交点为，…，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】化简，的图象关于 对称，由可得,可得 的图象也关于对称，因此与的图象的个交点为，…，，也关于对称，所以 ，，设 ，则，两式相加可，同理可得 ‎， ，故选D.‎ ‎【方法点睛】本题主要考函数的对称性、函数的图象与性质、倒序相加法求和以及数学的转化与划归思想. 属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.解答本题的关键是将等式与解析式转化为对称问题，将对称问题转化为倒序相加求和.‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. __________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由 ，故答案为.‎ - 15 -‎ ‎14. 在中，三顶点，，，点在内部及边界运动，则最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 画出符合题意的的平面区域如图：（阴影部分），由得，平移直线，由平移可知当直线，经过时，直线的截距最小，此时取得最大值，代入，即的最大值是，故答案为.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎15. 若半径为1的球与的二面角的两个半平面切于两点，则两切点间的球面距离（即经过两点的大圆的劣弧长）是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 画出图形，如图，在四边形中，是球的大圆的切线，，，‎ - 15 -‎ 两切点间的球面距离是弧，故答案为.‎ ‎16. 在数1和2之间插入个正数，使得这个数构成递增等比数列，将这个数的乘积记为，令，，______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设在数和之间插入个正数，使得这个数构成递增等比数列为，则，即为此等比数列的公比， ，，由，又 ，， ， ，故答案为.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 不是直角三角形，它的三个角所对的边分别为，已知.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）如果，求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）48‎ ‎【解析】试题分析：（1）由，根据正弦定理及两角和的正弦公式化简可得 ，因为不是直角三角形，所以，由正弦定理可得；（2）视为定点,求出满足条件下的轨迹为一个圆，圆心在直 上，当上升到离直线最远时面积最大.‎ 试题解析：（1）由，根据正弦定理可得 ， ，因为不是直角三角形，所以，由正弦定理可得；‎ ‎（2）方法一：b=2a.c=12，余弦定理用a表示cosC,表示出sinC,进而用a表示出,求出该函数的最大值.(最费力的做法)‎ - 15 -‎ 方法二:视A.B为定点,求出满足b=2a条件下C的轨迹为一个圆，圆心在直线AB上，当C上升到离直线AB最远时面积最大。‎ 方法三：利用海伦公式直接将面积表示为a的函数 ‎ ‎ 方法三为最简捷办法，凡只涉及边的面积问题可优先想到海伦公式。‎ ‎18. 某单位计划在一水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立.‎ ‎（1）求未来3年中，设表示流量超过120的年数，求的分布列及期望；‎ ‎（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系：‎ 年入流量 发电机最多可运行台数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？‎ ‎【答案】（1）（2）欲使总利润的均值达到最大，应安装2台发电机 ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用二项分布求得分布列，然后可得数学期望为0.3；‎ ‎(2)利用题意分类讨论可得应安装2台发电机．‎ 试题解析：（1）依题意，， ‎ 由二项分布可知，. ‎ ‎,,‎ ‎,, ‎ - 15 -‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0.729‎ ‎0.243‎ ‎0.027‎ ‎0.001‎ ‎ . ‎ ‎（2）记水电站的总利润为（单位：万元），‎ ‎①假如安装1台发点机，由于水库年入流总量大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年 利润，； ‎ ‎②若安装2台发电机，‎ 当时，只一台发电机运行，此时，， ‎ 当时，2台发电机运行，此时，，‎ ‎. ‎ ‎③若安装3台发电机，‎ 当时，1台发电机运行，此时，，‎ 当时，2台发电机运行，此时，，‎ 当时，3台发电机运行，此时，，‎ ‎ ‎ 综上可知，欲使总利润的均值达到最大，应安装2台发电机. ‎ 视频 ‎19. 如图1，，，过动点作，垂足在线段上且异于点，连接，沿将折起，使（如图2 所示）‎ ‎ ‎ ‎（1）当的长为多少时，三棱锥的体积最大；‎ - 15 -‎ ‎（2）当三棱锥的体积最大时，设点分别为棱、的中点，试在棱上确定一点，使得，并求与平面所成角的大小.‎ ‎【答案】（1）时，三棱锥的体积最大（2）当（即是的靠近点的一个四等分点）时，；.‎ ‎【解析】试题分析：（1）设，则．又，所以.由此易将三棱锥的体积表示为的函数，通过求函数的最值的方法可求得它的最大值.‎ ‎（2）沿将△折起后，两两互相垂直，故可以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量即可找到点N的位置，并求得与平面所成角的大小．‎ 试题解析：（1）解法1：在如图1所示的△中，设，则．‎ 由，知，△为等腰直角三角形，所以.‎ 由折起前知，折起后（如图2），，，且，‎ 所以平面．又，所以．于是 ‎，‎ 当且仅当，即时，等号成立，‎ 故当，即时,三棱锥的体积最大．‎ 解法2：同解法1，得．‎ 令，由，且，解得．‎ 当时，；当时，．‎ 所以当时，取得最大值．‎ 故当时,三棱锥的体积最大．‎ ‎（2）以为原点，建立如图a所示的空间直角坐标系．‎ 由（1）知，当三棱锥的体积最大时，，．‎ 于是可得，，，，，，‎ 且．‎ 设，则.因为等价于，即 - 15 -‎ ‎，故，.‎ 所以当（即是的靠近点的一个四等分点）时，．‎ 设平面的一个法向量为，由及，‎ 得可取．‎ 设与平面所成角的大小为，则由，，可得 ‎，即．‎ 考点：1、棱锥的体积；2、空间直线与直线的垂直关系及直线与平面所成的角；3、空间向量.‎ 视频 ‎20. 已知椭圆（）的离心率为，点在椭圆上，直线过椭圆的右焦点且与椭圆相交于两点.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标，若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）存在定点，使得为定值 ‎【解析】试题分析：（1）由题意的离心率公式求得，将代入椭圆方程，即可求得和，从而可得椭圆方程；（2）在轴上假设存在定点，使得为定值，若直线的斜率存在，设的科率为，由代入椭圆方程，运用韦达定理和向量数量积的坐标表示，结合恒成立思想，即可得到定点和定值；检验直线的斜率不存在时，也成立.‎ 试题解析：（1）由，，解出 可得椭圆的方程为.‎ ‎（2）由直线过椭圆右焦点，‎ 当直线不与轴重合时，可设 - 15 -‎ 代入椭圆方程，并整理得 设，，则，‎ 设，则 为定值，‎ 则，解得 故存在定点，使得为定值.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和数量积公式，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或 ；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.‎ ‎21. 已知函数，.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若不等式区间上恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）求证：‎ ‎【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为（2）‎ ‎（3）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出，由，结合函数的定义域解得的范围，就是函数的增区间；（2）问题转化为大于等于的最大值，利用导数求得函数有最大值，且最大值为，得到；（3）先判断，得 - 15 -‎ ‎，用放缩法证明，即得要证的不等式.‎ 试题解析：（1）∵，故其定义域为，‎ ‎∴，令，得，令，得.‎ 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为.‎ ‎（2）∵，，∴，令 又，令解得.‎ 当在内变化时，，变化如下表 ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 由表知，当时函数有最大值，且最大值为，所以，‎ ‎（3）由（2）知，∴（）‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 即 ‎【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、证明不等式以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.本题（2）是利用方法 ① 求得的最大值.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. 选修4-4：坐标系与参数方程 - 15 -‎ 在直角坐标中，圆，.‎ ‎（1）在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆的极坐标方程，并求出圆的交点坐标（用极坐标表示）；‎ ‎（2）求出圆的公共弦的参数方程.‎ ‎【答案】（1）圆与圆交点的坐标为，（2）圆与圆的公共弦的参数方程为，‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用进行互化即可；（2）由两圆的公共点求出公共弦的普通方程，再利用直线的点与倾斜角得到参数方程．‎ 解题思路:曲线的普通方程、参数方程、极坐标方程的互化，往往要利用或合理选参进行求解．‎ 试题解析：（1）根据公式：‎ 圆C1、 C2的极坐标方程分别为：，‎ 联立：解得：‎ ‎∴圆C1与圆C2的交点极坐标分别为：‎ ‎（2）把（1）中两圆交点极坐标化为直角坐标，‎ 得：‎ ‎∴此两圆公共弦的普通方程为：‎ ‎∴此弦所在直线过（1，0）点，倾斜角为90°‎ ‎∴所求两圆的公共弦的参数方程为：‎ 考点：1．曲线的参数方程、极坐标方程、普通方程的互化；2．两圆的公共弦．‎ ‎23. 选修4-5：不等式选讲 ‎（1）比较与的大小；‎ ‎（2）已知，且，求证：‎ ‎【答案】（1） （2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）作差比较，，从而可得结果；（2）中的换为后，利用均值不等式可得结论.‎ - 15 -‎ 试题解析：（1）因为，所以 ；‎ ‎（2）‎ 证明：∵a+b+c=1，a，b，c∈R+，‎ ‎∴当且仅当a=b=c时，取等号。‎ ‎ ‎ - 15 -‎