2019-2020学年江西省吉安市四校高二上学期期中考试数学（文）试题（解析版） 18页

‎2019-2020学年江西省吉安市四校高二上学期期中考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．直线l：x+y﹣3＝0的倾斜角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据倾斜角与直线斜率的关系求解即可.‎ ‎【详解】‎ 直线的斜率,故倾斜角满足,又,‎ 故.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线倾斜角与斜率的关系,属于基础题型.‎ ‎2．已知直线l：与直线平行，则直线l在x轴上的截距是　　‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由直线的平行可得m的值，进而可得直线l的方程，令解得x值即为所求．‎ ‎【详解】‎ 化直线的方程为一般式可得 l：，，‎ 由直线平行可得，‎ 解得，‎ 经验证当时，满足两直线平行，‎ 直线l：，‎ 令可得，‎ 直线l在x轴上的截距为： ‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线的平行和直线的截距，属基础题．‎ ‎3．下列说法正确的是 A．命题“”的否定是“”‎ B．命题“”的逆否命题是真命题 C．两平行线 D．已知直线的充要条件是 ‎【答案】C ‎【解析】对于A，.命题“”的否定应该是“”；对于B，逆否命题的真假性与原命题一致，300≠1500.但sin300=sin1500；对于C，可利用两平行线间距离公式计算，得出C是正确的；对于D，.‎ 故选C.‎ ‎4．已知命题：，；命题：，，则下列命题中为真命题的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】，，故为假命题，为真命题.因为，，所以命题：，为假命题，所以为真命题，则为真命题，故选A．‎ ‎5．直线l与圆相交于A，B两点，若弦AB的中点，则直线l的方程为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：由圆的一般方程可得圆心O（-1，2），‎ 由圆的性质易知O（-1，2），C（-2，3）的连线与弦AB垂直，故有kABkOC=-1⇒kAB=1，‎ 故直线AB的方程为：y-3=x+2整理得：x-y+5=0‎ 故选C ‎6．设m，n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列命题：‎ ‎①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；‎ ‎②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；‎ ‎③若m∥α，m∥β，则α∥β；‎ ‎④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．‎ 其中正确命题的序号是（ ）‎ A．①② B．②③ C．③④ D．①④‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据空间中的平行垂直关系逐个判断即可.‎ ‎【详解】‎ 对①, 若m⊥α,n∥α,则m⊥n正确.‎ 对②, 若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ正确.‎ 对③,当与的交线平行时满足m∥α,m∥β,但不满足α∥β.‎ 对④,空间直角坐标系中满足,但不成立.‎ 故①②正确.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了空间中的平行垂直判定,属于基础题型.‎ ‎7．设是椭圆的左，右焦点，过作轴的垂线交椭圆四点构成一个正方形，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意推出椭圆上的点的坐标，代入椭圆方程，得到a、b、c的关系，然后求解椭圆的离心 率即可．‎ ‎【详解】‎ 是椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，过点作x轴的垂线交椭圆四点构成 一个正方形，所以（c，c）是椭圆上的点，可得：，即，‎ ‎，‎ 可得．解得e==．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的离心率的求法，考查计算能力．（2）求离 心率常用的有公式法、方程法.‎ ‎8．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）‎ A． B． C． D．5‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据三视图还原几何体，可得该棱锥4个面中有2个为直角三角形，2个面是等腰三角形，利用三视图中的数据即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 该几何体是棱长分别为 的长方体中的三棱锥： ，‎ 其中： ，‎ 该几何体的表面积为： .‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.‎ ‎.‎ ‎9．若实数满足，则的最大值为（ ）‎ A．3 B．4 C．8 D．9‎ ‎【答案】D ‎【解析】画出约束条件表示的可行域，判断目标函数z=2x+y的位置，求出最大值．‎ ‎【详解】‎ 作出不等式组的可行域如图：‎ 目标函数z=2x+y在的交点B（3，3）处取最大值为z=2×3+3=9．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎10．当曲线与直线有两个相异的交点时,实数的取值范围是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】曲线 是以O（0，0）为圆心，以2为半径的圆的y轴下半部分，直线kx-y+2k-4=0过定点D（-2，-4），结合图形得，当曲线与直线kx-y+2k-4=0有两个相异的交点时，实数k的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 如图，曲线是以O（0，0）为圆心，以2为半径的圆的y轴下半部分，A（-2，0），B（2，0），‎ 直线kx-y+2k-4=0过定点D（-2，-4），故 ‎ 若直线kx-y+2k-4=0与圆相切时，圆心O（0，0）到直线的距离：‎ ‎ 解得 ‎ 结合图形，当曲线与直线kx-y+2k-4=0有两个相异的交点时，实数k的取值范围是 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线和圆相交的交点个数问题，一般有两种解法：几何法，代数法.‎ ‎11．直线与圆交于、两点，则（ ）‎ A、2 B、‎-2 C、4 D、-4‎ ‎【答案】A ‎【解析】圆心即原点到直线的距离，所以，则是等边三角形，故。所以，故选A ‎12．已知四棱锥的底面为矩形，平面平面ABCD，，，则四棱锥的外接球的表面积为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由平面平面ABCD，，，求底面ABCD矩形外接圆半径四棱锥的高为：利用球心与圆心构造直角三角形，求解外接球半径R即可．‎ ‎【详解】‎ 由题意，由平面平面ABCD，，，‎ 底面ABCD矩形外接圆半径．‎ 四棱锥的高为：．‎ 球心与圆心的距离为d，构造直角三角形，‎ 即，，‎ 解得：‎ 四棱锥的外接球的表面积．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ 二、填空题 ‎13．在等腰梯形中，上底，腰，下底，则由斜二测画法画出的直观图的面积为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由斜二测法知直观图面积与原图形面积比为，因此只要求出梯形面积即可得．‎ ‎【详解】‎ 如上左图，是边长为1的正方形，直观图上右图，，，，，，‎ ‎∴，即．‎ 如下图等腰梯形中，于，于，则，又，∴，∴，‎ 由得．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直观图面积，解题关键是掌握直观图面积与原图形面积的关系，它们的比值为．‎ ‎14．一个圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意，设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则半圆的弧长πl为圆锥的底面周长2πr．‎ 依题意得方程组，即，‎ 解之得3r2＝a，所以r＝(m)，‎ ‎15．已知p：A＝{x|（x﹣1）（x﹣2）＞0}，q：B＝{x|x﹣a≤0}，若p是q的必要不充分条件，则实数的取值范围为_____．‎ ‎【答案】a＜1‎ ‎【解析】分别求出中对应的范围,再求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎∵P：A＝{x|（x﹣1）（x﹣2）＞0}；‎ ‎∴P：{x|x＜1或x＞2}；‎ ‎∵q：B＝{x|x﹣a≤0}；‎ ‎∴q：{x|x≤a}；‎ 又∵p是q的必要不充分条件；‎ ‎∴a＜1；‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了集合间的基本关系与充分必要条件的运用,属于简单题型.‎ ‎16．已知过点的直线被圆截得的弦长为6，则直线的方程为_____.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】试题分析：圆的标准方程为，圆心为，半径.当直线的斜率不存在时，方程为，圆心为到直线的距离为，弦长为，满足题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为即，圆心为到直线的距离为，解得，此时直线方程为，综上所述，满足被圆截得的弦长为的直线方程为 或.‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系.‎ 三、解答题 ‎17．已知命题p：关于的方程有实根；命题q：关于的函数在是增函数，若为真，为假，求a的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】命题p：，解得的范围；命题q：对称轴，解得的范围；若为真，为假，则命题p与命题q一真一假，分类讨论求出的范围.‎ ‎【详解】‎ 解：命题p：关于x的方程有实根，则，‎ 解得； ‎ 命题q：关于的函数在是增函数，‎ 所以对称轴，解得.‎ 若为真，为假，则p与q必然一真一假，‎ 所以.，或，‎ 解得，‎ 所以实数a的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二次函数的单调性，一元二次方程根与判别式的关系，简单逻辑的判断方法，考查了推理能力与计算能力.‎ ‎18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝1，点M是棱PC上的一点，且AM⊥PB．‎ ‎（1）求三棱锥C﹣PBD的体积；‎ ‎（2）证明：AM⊥平面PBD．‎ ‎【答案】（1） （2）证明见解析 ‎【解析】(1)利用换顶点的方法VC﹣PBD＝VP﹣BCD求解即可.‎ ‎(2)先证明面进而得出AM⊥平面PBD即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）PA⊥底面ABCD,PA＝1,即三棱锥P﹣BCD的高为PA＝1,, ‎ 所以,三棱锥C﹣PBD的体积VC﹣PBD＝VP﹣BCD,‎ AP•S△BCD ‎ ‎（2）由于PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD,‎ 设AC,BD的交点为O,‎ 由正方形知,BD⊥AC,‎ 所以,BD⊥平面PAC,‎ 从而,BD⊥AM ‎ 又AM⊥PB,所以AM⊥平面PBD ‎【点睛】‎ 本题主要考查了换顶点求体积的方法与线面垂直的证明,属于中等题型.‎ ‎19．已知圆C经过点,且圆心C在直线上，又直线与圆C相交于P,Q两点.‎ ‎（1）求圆C的方程；‎ ‎（2）若，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）0‎ ‎【解析】(1)设圆心C(a，a)，半径为r.‎ 因为圆C经过点A(－2,0)，B(0,2)，‎ 所以|AC|＝|BC|＝r，易得a＝0，r＝2，‎ 所以圆C的方程是x2＋y2＝4.‎ ‎(2)因为·＝2×2×cos〈，〉＝－2，且与的夹角为∠POQ，‎ 所以cos∠POQ＝－，∠POQ＝120°，‎ 所以圆心C到直线l：kx－y＋1＝0的距离d＝1，‎ 又d＝，所以k＝0.‎ ‎20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝2，E，F，G分别是AB，PB，CD的中点．‎ ‎（1）求证：AC⊥PB；‎ ‎（2）求证：GF∥平面PAD；‎ ‎（3）求点G到平面PAB的距离．‎ ‎【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）‎ ‎【解析】(1)由题知,证明AC⊥平面即可.‎ ‎(2) 取PA中点H,连接FH,HD,再证明即可.‎ ‎(3)利用转换法与等体积法VG﹣PAB＝VD﹣PAB＝VP﹣ABD计算即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：如图,连接AC,BD,‎ 因为PD⊥面ABCD,且AC⊂平面ABCD,‎ 所以AC⊥PD,‎ 又因为四边形ABCD为菱形,‎ 所以AC⊥BD,‎ 又PD∩BD＝D,PD,BD⊂平面PBD,‎ 所以AC⊥平面PBD,‎ 又PB⊂平面PBD,‎ 所以AC⊥PB；‎ ‎（2）证明：如图取PA中点H,连接FH,HD,‎ 因为F为PB中点,‎ 所以HF∥AB,且HFAB,‎ 又因为四边形ABCD为菱形,且G为CD中点,‎ 所以DG∥AB,且DGAB,‎ 所以HF∥DG,且HF＝DG,‎ 所以四边形HDGF为平行四边形,‎ 所以GF∥HD,‎ 因为GF⊄平面PAD,HD⊂平面PAD,‎ 所以GF∥平面PAD,‎ ‎（3）解：设G到平面PAB的距离为h,‎ 因为DC∥AB,DC⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,‎ 所以DC∥平面PAB,‎ 所以VG﹣PAB＝VD﹣PAB＝VP﹣ABD,‎ 所以,‎ 所以h,‎ 所以G到平面PAB的距离为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了线面垂直与平行的证明以及转换法与等体积法求点到面的距离问题,属于中等题型.‎ ‎21．如图在四边形PBCD中，，，，，，沿AB把三角形PAB折起，使P，D两点的距离为10，得到如图所示图形．‎ Ⅰ求证：平面平面PAC；‎ Ⅱ若点E是PD的中点，求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）16.‎ ‎【解析】Ⅰ由题意得，，所以平面ABCD，即，再求出，从而得平面PAC，由此能证明平面平面PAC．‎ Ⅱ由平面ABCD，得平面平面ABCD，从而平面PAD，所以三棱锥的体积：，由此能求出结果．‎ ‎【详解】‎ 证明：Ⅰ由已知在图中，，，，‎ ‎，，‎ ‎，平面ABCD，‎ ‎，‎ ‎，，‎ 由平面几何知识得，‎ ‎，，‎ ‎，平面PAC，‎ 平面PCD，平面平面PAC．‎ 解：Ⅱ由Ⅰ知平面ABCD，‎ 平面平面ABCD，‎ ‎，且平面PAD与平面ABCD的交线为AD，‎ 平面PAD，‎ 又，平面PAD，‎ 三棱锥的体积：‎ ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属中档题．‎ ‎22．已知椭圆E：的离心率是，，分别为椭圆E的左右顶点，B为上顶点，的面积为直线l过点且与椭圆E交于P，Q两点．‎ 求椭圆E的标准方程；‎ 求面积的最大值；‎ 设直线与直线交于点N，证明：点N在定直线上，并写出该直线方程．‎ ‎【答案】（1）（2）（3）见证明 ‎【解析】根据离心率和三角形的面积即可求出，，‎ 分两种情况，当PQ斜率不存在时，，当直线PQ的斜率存在时，设PQ的方程为，，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、，函数的性质，结合已知条件能求出的面积的最大值．‎ 分两种情况，PQ斜率不存在时，易知，当直线PQ的斜率存在时，直线的方程为，直线的方程为，即可整理化简可得，解得即可．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意知，‎ ‎，即，‎ 的面积为2，‎ ‎，‎ 解得，，‎ 椭圆C的标准方程为，‎ 斜率不存在时，易知，，此时，‎ 当直线PQ的斜率存在时，设PQ的方程为，，‎ 设，，‎ 将代入，整理可得，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 令，，‎ ‎，‎ 故面积的最大值 证明斜率不存在时，易知，‎ 当直线PQ的斜率存在时，直线的方程为，直线的方程为 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得，即N点的横坐标为4，‎ 综上所述，点N在定直线上．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆性质、根的判别式、韦达定理、弦长公式、考查考查推理论证能力、数据处理能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，属于中档题．‎