【数学】2020届一轮复习北师大版圆锥曲线的综合应用作业 5页

解答题(本题共4小题，每小题12分，共48分)‎ ‎1．(2018·浙江)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．‎ ‎(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；‎ ‎(2)若P是半椭圆x2＋＝1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．‎ 解析　(1)设P(x0，y0)，A，B.‎ 因为PA，PB的中点在抛物线上，‎ 所以y1，y2为方程＝4·.‎ 即y2－2y0y＋8x0－y＝0的两个不同的实根．所以y1＋y2＝2y0.‎ 因此，PM垂直于y轴．‎ ‎(2)由(1)可知 所以|PM|＝(y＋y)－x0＝y－3x0，‎ ‎|y1－y2|＝2.‎ 因此，△PAB的面积S△PAB＝|PM|·|y1－y2|＝(y－4x0).‎ 因为x＋＝1(x0<0)，‎ 所以y－4x0＝－4x－4x0＋4∈[4，5]，‎ 因此，△PAB面积的取值范围是.‎ ‎2．(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k的直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m>0)．‎ ‎(1)证明：k<－；‎ ‎(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且＋＋＝0.证明：||，||，||成等差数列，并求该数列的公差．‎ 解析　(1)证明　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则＋＝1，＋＝1.‎ 两式相减，并由＝k得＋·k＝0.‎ 由题设知＝1，＝m，于是k＝－.①‎ 由题设得00，解得k<0或0b>0)的离心率为，直线4x＋3y－5＝0与以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆相切．‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)若A为椭圆C的下顶点，M，N为椭圆C上异于A的两点，直线AM与AN的斜率之积为1.‎ ‎①求证：直线MN恒过定点，并求出该定点的坐标；‎ ‎②若O为坐标原点，求·的取值范围．‎ 解析　(1)由题意可得离心率e＝＝，‎ 又直线4x＋3y－5＝0与圆x2＋y2＝b2相切，‎ 所以b＝＝1，结合a2－b2＝c2，解得a＝，‎ 所以椭圆C的标准方程为＋x2＝1.‎ ‎(2)①设M(x1，y1)，N(x2，y2)，‎ 由题意知A(0，－)，又直线AM与AN的斜率之积为1，所以·＝1，‎ 即有x1x2＝y1y2＋(y1＋y2)＋3，‎ 由题意可知直线MN的斜率存在且不为0，‎ 设直线MN：y＝kx＋t(k≠0)，‎ 代入椭圆方程，消去y可得(3＋k2)x2＋2ktx＋t2－3＝0，‎ 所以x1x2＝，x1＋x2＝－，‎ y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2t＝2t－＝，‎ y1y2＝k2x1x2＋kt(x1＋x2)＋t2＝k2·＋kt＋t2＝，‎ 所以＝＋＋3，‎ 化简得t2＋3t＋6＝0，解得t＝－2(－舍去)，‎ 则直线MN的方程为y＝kx－2，‎ 即直线MN恒过定点，该定点的坐标为(0，－2)．‎ ‎②由①可得·＝x1x2＋y1y2＝＋＝＝，‎ 由(3＋k2)x2＋2ktx＋t2－3＝0，可得Δ＝4k2t2－4(t2－3)(3＋k2)＝48k2－36(3＋k2)>0，解得k2>9.‎ 令3＋k2＝m，则m>12，且k2＝m－3，‎ 所以＝＝－3，‎ 由m>12，可得－3<－3<.‎ 则·的取值范围是.‎