2021届高考数学一轮复习第六章数列第4节数列求和课件新人教A版 27页

第 4 节　数列求和 考试要求　 1. 熟练掌握等差、等比数列的前 n 项和公式； 2. 掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法 . 知 识 梳 理 1. 特殊数列的求和公式 2. 数列求和的几种常用方法 (1) 分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解 . (2) 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和 . (3) 错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前 n 项和可用错位相减法求解 . (4) 倒序相加法 如果一个数列 { a n } 的前 n 项中与首末两端等 “ 距离 ” 的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法求解 . 诊 断 自 测 1. 判断下列结论正误 ( 在括号内打 “√” 或 “×” ) 解析　 (3) 要分 a ＝ 0 或 a ＝ 1 或 a ≠ 0 且 a ≠ 1 讨论求解 . 答案　 (1) √ 　 (2) √ 　 (3) × 　 (4) √ 4. (2019· 东北三省四校二模 ) 已知数列 { a n } 满足 a n ＋ 1 － a n ＝ 2 ， a 1 ＝－ 5 ，则 | a 1 | ＋ | a 2 | ＋ … ＋ | a 6 | ＝ ( 　　 ) A.9 B.15 C.18 D.30 解析 　由题意知 { a n } 是以 2 为公差的等差数列，又 a 1 ＝－ 5 ，所以 | a 1 | ＋ | a 2 | ＋ … ＋ | a 6 | ＝ | － 5| ＋ | － 3| ＋ | － 1| ＋ 1 ＋ 3 ＋ 5 ＝ 5 ＋ 3 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 3 ＋ 5 ＝ 18. 答案 　 C 5. (2019· 珠海期末质检 ) 已知数列 { a n } 的通项公式为 a n ＝ 2 n ＋ n ，若数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，则 S 8 ＝ ________. 答案　 546 答案　 a n ＝ 2( n ＋ 1) 考点一　分组求和 【例 1 】 (2019· 汕头二模 ) 记 S n 为数列 { a n } 的前 n 项和，若 a 1 ＝ 19 ， S n ＝ na n ＋ 1 ＋ n ( n ＋ 1). (1) 求数列 { a n } 的通项公式； (2) 设 b n ＝ | a n | ，设数列 { b n } 的前 n 项和为 T n ，求 T 20 的值 . 解　 (1) 因为 S n ＝ na n ＋ 1 ＋ n ( n ＋ 1) ， ① 所以 S n － 1 ＝ ( n － 1) a n ＋ n ( n － 1)( n ≥ 2) ， ② ① － ② 得 a n ＝ na n ＋ 1 － ( n － 1) a n ＋ 2 n ( n ≥ 2) ， 即 a n ＋ 1 － a n ＝－ 2( n ≥ 2) ， 又 S 1 ＝ a 2 ＋ 2 ，即 a 2 － a 1 ＝－ 2 ， 所以数列 { a n } 是以 19 为首项，－ 2 为公差的等差数列， 所以 a n ＝ 19 ＋ ( n － 1)·( － 2) ＝ 21 － 2 n . (2) 由 (1) 知 a n ＝ 21 － 2 n ，所以 b n ＝ | a n | ＝ |21 － 2 n | ， 因为当 n ≤ 10 时， a n >0 ，当 n >10 时， a n <0 ， 所以 T 20 ＝ b 1 ＋ b 2 ＋ … ＋ b 20 ＝ (19 ＋ 17 ＋ … ＋ 1) ＋ (1 ＋ 3 ＋ … ＋ 19) 【训练 1 】 (2020· 郴州质检 ) 已知在等比数列 { a n } 中， a 1 ＝ 1 ，且 a 1 ， a 2 ， a 3 － 1 成等差数列 . (1) 求数列 { a n } 的通项公式； (2) 若数列 { b n } 满足 b n ＝ 2 n － 1 ＋ a n ( n ∈ N * ) ，数列 { b n } 的前 n 项和为 S n ，试比较 S n 与 n 2 ＋ 2 n 的大小 . 解　 (1) 设等比数列 { a n } 的公比为 q ， ∵ a 1 ， a 2 ， a 3 － 1 成等差数列， ∴ { a n } 的通项公式为 a n ＝ a 1 q n － 1 ＝ 2 n － 1 ( n ∈ N * ). (2) 由 (1) 知 b n ＝ 2 n － 1 ＋ a n ＝ 2 n － 1 ＋ 2 n － 1 ， ∴ S n ＝ (1 ＋ 1) ＋ (3 ＋ 2) ＋ (5 ＋ 2 2 ) ＋ … ＋ (2 n － 1 ＋ 2 n － 1 ) ＝ [1 ＋ 3 ＋ 5 ＋ … ＋ (2 n － 1)] ＋ (1 ＋ 2 ＋ 2 2 ＋ … ＋ 2 n － 1 ) 考点二　裂项求和 (1) 解　 因为 S n ＝ n ， ① 所以当 n ≥ 2 时， S n － 1 ＝ n － 1 ， ② 又因为 a 1 ＝ 2 适合上式，所以 a n ＝ n ＋ 1( n ∈ N * ). 解　 (1) 设等比数列 { a n } 的公比为 q . 考点三　错位相减法求和 (1) 解　 { a n } 是等差数列 . 证明如下： 从而当 n ≥ 2 时， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ 2 n － 1. 当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ 1 也满足此式 . ∵ a n ＋ 1 － a n ＝ 2( n ∈ N * ) ， ∴ { a n } 是以 1 为首项， 2 为公差的等差数列 . 规律方法　 1. 一般地，如果数列 { a n } 是等差数列， { b n } 是等比数列，求数列 { a n · b n } 的前 n 项和时，可采用错位相减法 . 2. 用错位相减法求和时，应注意： (1) 要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形 . (2) 在写出 “ S n ” 与 “ qS n ” 的表达式时应特别注意将两式 “ 错项对齐 ” ，以便于下一步准确地写出 “ S n － qS n ” 的表达式 . ∴ S n ＝ 1 × 2 1 ＋ 2 × 2 2 ＋ 3 × 2 3 ＋ … ＋ ( n － 1) × 2 n － 1 ＋ n × 2 n . ① 两边同乘 2 ，得 2 S n ＝ 1 × 2 2 ＋ 2 × 2 3 ＋ 3 × 2 4 ＋ … ＋ ( n － 1) × 2 n ＋ n × 2 n ＋ 1 . ② 所以数列 { b n } 的前 n 项和 S n ＝ ( n － 1)·2 n ＋ 1 ＋ 2.