高考数学复习 17-18版 附加题部分 第6章 第72课 曲线的极坐标方程 12页

第六章　坐标系与参数方程 第72课 曲线的极坐标方程 ‎[最新考纲]‎ 内容 要求 A B C 坐标系的有关概念 ‎√‎ 简单图形的极坐标方程 ‎√‎ 极坐标方程与直角坐标方程的互化 ‎√‎ ‎1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．‎ ‎2．极坐标系与点的极坐标 ‎(1)极坐标系：如图721所示，在平面内取一个定点O(极点)，自极点O引一条射线Ox(极轴)；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．‎ 图721‎ ‎(2)极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．其中ρ 称为点M的极径，θ称为点M的极角．‎ ‎3．极坐标与直角坐标的互化 点M 直角坐标(x，y)‎ 极坐标(ρ，θ)‎ 互化 公式 ρ2＝x2＋y2 ‎ tan θ＝(x≠0)‎ ‎4.圆的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为r的圆 ρ＝r(0≤θ＜2π)‎ 圆心为(r,0)，半径为r的圆 ρ＝2rcos_θ 圆心为，半径为r的圆 ρ＝2rsin_θ ‎(0≤0＜π)‎ ‎5.直线的极坐标方程 ‎(1)直线l过极点，且极轴到此直线的角为α，则直线l的极坐标方程是θ＝α(ρ∈R)．‎ ‎(2)直线l过点M(a,0)且垂直于极轴，则直线l的极坐标方程为ρcos θ＝a.‎ ‎(3)直线过M且平行于极轴，则直线l的极坐标方程为ρsin_θ＝b(0＜θ＜π)．‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．(　　)‎ ‎(2)若点P的直角坐标为(1，－)，则点P的一个极坐标是.(　　)‎ ‎(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．(　　)‎ ‎(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×‎ ‎2．(教材改编)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为________．‎ ρ＝ ‎[∵y＝1－x(0≤x≤1)，‎ ‎∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)，‎ ‎∴ρ＝.]‎ ‎3．(教材改编)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C的直角坐标方程为________．‎ x2＋y2－2y＝0　[由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ.‎ 所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0.]‎ ‎4．已知直线l的极坐标方程为2ρsin＝，点A的极坐标为A，则点A到直线l的距离为________．‎ 　[由2ρsin＝，得2ρ＝，‎ ‎∴y－x＝1.‎ 由A，得点A的直角坐标为(2，－2)．‎ ‎∴点A到直线l的距离d＝＝.]‎ ‎5．(2015·江苏高考)已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin－4＝0，求圆C的半径．‎ ‎[解]　以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy 圆C的极坐标方程可化为ρ2＋2ρ－4＝0，‎ 化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.‎ 则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，‎ 即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，‎ 所以圆C的半径为.‎ 平面直角坐标系中的伸缩变换 ‎　将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.‎ ‎(1)求曲线C的方程；‎ ‎(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程. 【导学号：62172374】‎ ‎[解]　(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得 由x＋y＝1得x2＋2＝1，‎ 故曲线C的方程为x2＋＝1.‎ ‎(2)由解得或 不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线斜率为k＝，‎ 于是所求直线方程为y－1＝，‎ 化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，‎ 故所求直线的极坐标方程为ρ＝.‎ ‎[规律方法]　1.解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P(x，y)与变换后的点P′(x′，‎ y′)的坐标关系，利用方程思想求解．‎ ‎2．求交点坐标，得直线方程，最后化为极坐标方程，其实质是将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入转化．‎ ‎[变式训练1]　在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ： ‎(1)求点A经过φ变换所得点A′的坐标；‎ ‎(2)求直线l：y＝6x经过φ变换后所得直线l′的方程．‎ ‎[解]　(1)设点A′(x′，y′)，由伸缩变换 φ：得 ‎∴x′＝×3＝1，y′＝＝－1.‎ ‎∴点A′的坐标为(1，－1)．‎ ‎(2)设P′(x′，y′)是直线l′上任意一点．‎ 由伸缩变换φ：得 代入y＝6x，得2y′＝6·＝2x′，‎ ‎∴y′＝x′为所求直线l′的方程.‎ 极坐标与直角坐标的互化 ‎　在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求C1，C2的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积. 【导学号：62172375】‎ ‎[解]　(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.‎ ‎(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得 ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.‎ 故ρ1－ρ2＝，即MN＝.‎ 由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为.‎ ‎[迁移探究1]　若本例条件不变，求直线C1与C2的交点的极坐标．‎ ‎[解]　联立方程 解得θ＝且ρ＝－2.‎ 所以交点的极坐标为.‎ ‎[迁移探究2]　本例条件不变，求圆C2关于极点的对称圆的方程．‎ ‎[解]　因为点(ρ，θ)与点(－ρ，θ)关于极点对称，‎ 设点(ρ，θ)为对称圆上任意一点，则(－ρ，θ)在圆C2上，‎ 所以(－ρ)2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0.‎ 故所求圆C2关于极点的对称圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y＋4＝0.‎ ‎[规律方法]　1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是灵活应用互化公式：x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)．‎ ‎2．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等方法．‎ ‎[变式训练2]　在极坐标系中，已知极坐标方程C1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0，C2：ρ＝2cos θ.‎ ‎(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；‎ ‎(2)若曲线C1，C2交于A，B两点，求两交点间的距离．‎ ‎[解]　(1)由C1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0，‎ ‎∴x－y－1＝0，表示一条直线．‎ 由C2：ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，‎ ‎∴x2＋y2＝2x，则(x－1)2＋y2＝1.‎ ‎∴C2是圆心为(1,0)，半径r＝1的圆．‎ ‎(2)由(1)知点(1,0)在直线x－y－1＝0上，‎ 因此直线C1过圆C2的圆心．‎ ‎∴两交点A，B的连线段是圆C2的直径．‎ 因此两交点A，B间的距离AB＝2r＝2.‎ 直线与圆的极坐标方程的应用 ‎　(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.‎ ‎(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.‎ ‎[解]　(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．‎ 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.‎ ‎(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组 若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，‎ 由已知tan θ＝2，得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，‎ 从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.‎ 当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上．‎ 所以a＝1.‎ ‎[规律方法]　1.第(1)问将曲线C1的参数方程先化为普通方程，再化为极坐标方程，考查学生的化归与转化能力．第(2)问中关键是理解极坐标方程，有意识地将问题简单化，进而求解．‎ ‎2．由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标方程解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．‎ ‎[变式训练3]　(2017·苏北四市期末)在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ2－8ρsin＋13＝0，已知A，B，P为圆C上一点，求△PAB面积的最小值．‎ ‎[解]　圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋4x－4y＋13＝0，即(x＋2)2＋(y－2)2＝3.‎ 又A(0，－1)，B(0，－3)，所以AB＝2.‎ P到直线AB距离的最小值为2－＝，‎ 所以△PAB面积的最小值为×2×＝.‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1．曲线的极坐标方程与直角坐标方程互化：对于简单的我们可以直接代入公式ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，ρ2＝x2＋y2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以ρ等．‎ ‎2．确定极坐标方程的四要素：‎ 极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．平面上点的直角坐标的表示形式是唯一的，但点的极坐标的表示形式不唯一．极坐标与P点之间不是一一对应的，所以我们又规定ρ≥0,0≤θ＜2π，来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点．‎ ‎2．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，应注意两点：‎ ‎(1)注意ρ，θ的取值范围及其影响．‎ ‎(2)重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用．‎ 课时分层训练(十六)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ ‎1．(2017·镇江模拟)在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ的圆心到直线2ρsin＝1的距离. 【导学号：62172376】‎ ‎[解]　将圆ρ＝2cos θ化为普通方程为x2＋y2－2x＝0，‎ 圆心为(1,0)，‎ 又2ρsin＝1，即2ρ＝1，‎ 所以直线的普通方程为x＋y－1＝0，‎ 故所求的圆心到直线的距离d＝.‎ ‎2．(2017·南通调研一)在极坐标系中，已知点A，圆C的方程为ρ＝4sin θ(圆心为点C)，求直线AC的极坐标方程．‎ ‎[解]　以极点为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.‎ 圆C的平面直角坐标方程为x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝8，圆心C(0,2)．‎ A的直角坐标为(，)．‎ 直线AC的斜率kAC＝＝－1‎ 所以，直线AC的直角坐标方程为y＝－x＋2，极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝2，即ρsin(θ＋)＝2.‎ ‎3．(1)曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．‎ ‎(2)求在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ垂直于极轴的两条切线方程. ‎ ‎【导学号：62172377】‎ ‎[解]　(1)将x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ代入x2＋y2－2x＝0，得ρ2－2ρcos θ＝0，整理得ρ＝2cos θ.‎ ‎(2)由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，其垂直于x轴的两条切线方程为x＝0和x ‎＝2，相应的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2.‎ ‎4．在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．‎ ‎[解]　在ρsin＝－中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C的圆心坐标为(1,0)．如图所示，因为圆C经过点P，所以圆C的半径 PC＝＝1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin＝.‎ ‎(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．‎ ‎[解]　(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，‎ 圆O的直角坐标方程为x2＋y2＝x＋y，‎ 即x2＋y2－x－y＝0，‎ 直线l：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，‎ 则直线l的直角坐标方程为y－x＝1，即x－y＋1＝0.‎ ‎(2)由得 故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.‎ ‎2．在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为ρsin＝1，圆C的圆心的极坐标是C，圆的半径为1.‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程；‎ ‎(2)求直线l被圆C所截得的弦长．‎ ‎[解]　(1)设O为极点，OD为圆C的直径，A(ρ，θ)为圆C上的一个动点，则∠AOD＝－θ或∠AOD＝θ－，‎ OA＝ODcos或OA＝ODcos，‎ ‎∴圆C的极坐标方程为ρ＝2cos.‎ ‎(2)由ρsin＝1，得ρ(sin θ＋cos θ)＝1，‎ ‎∴直线l的直角坐标方程为x＋y－＝0，‎ 又圆心C的直角坐标为，满足直线l的方程，‎ ‎∴直线l过圆C的圆心，‎ 故直线被圆所截得的弦长为直径2.‎ ‎3．在极坐标系中，P是曲线C1：ρ＝12sin θ上的动点，Q是曲线C2：ρ＝12cos上的动点，求PQ的最大值．‎ ‎[解]　对曲线C1的极坐标方程进行转化：‎ ‎∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，∴x2＋y2－12y＝0，‎ 即x2＋(y－6)2＝36.‎ 对曲线C2的极坐标方程进行转化：‎ ‎∵ρ＝12cos，‎ ‎∴ρ2＝12ρ ‎∴x2＋y2－6x－6y＝0，‎ ‎∴(x－3)2＋(y－3)2＝36，‎ ‎∴PQmax＝6＋6＋＋32＝18.‎ ‎4．在直角坐标系xOy中，以O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为C与x轴、y 轴的交点．‎ ‎(1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；‎ ‎(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．‎ ‎[解]　(1)由ρcos＝1 ‎ 得ρ＝1.‎ 从而C的直角坐标方程为x＋y＝1，即x＋y＝2.‎ 当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．‎ 当θ＝时，ρ＝，‎ 所以N.‎ ‎(2)M点的直角坐标为(2,0)．‎ N点的直角坐标为.‎ 所以P点的直角坐标为.‎ 则P点的极坐标为 所以直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．‎