2017-2018学年山东省德州市高二上学期期末考试数学（理）试题 解析版 15页

‎2017-2018学年山东省德州市高二上学期期末考试数学（理）试题 解析版 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1. 已知命题，则为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】全称命题的否定是特称命题，所以命题“”，的否定为“”故选B.‎ ‎2. 抛物线的焦点坐标是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】已知抛物线，则抛物线的标准方程为，所以焦点坐标为，故选D.‎ ‎3. 过点且与直线平行的直线方程是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设过点且与直线平行的直线方程为，因为经过，所求方程为，故选C.‎ ‎4. 若变量满足约束条件，则的最大值为 （ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 画出约束条件表示的可行域（如图），，平移直线，由图可知，当直线经过点时，最大，且最大值为，故选C.‎ ‎5. 如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据（单位：），可知此几何体的体积是 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ‎ 由三视图可知，该几何体是底面为边长为的正方形，高为的四棱锥，如图，‎ 其体积为，故选B.‎ ‎6. 圆与圆的位置关系为（ ）‎ A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离 ‎【答案】A ‎【解析】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，圆心距为（等于两圆半径的差），圆与圆的位置关系是内切，故选A.‎ ‎7. “”是“方程表示双曲线”的 （ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】若方程表示双曲线，则，解得，则的范围小于，所以“”是方程表示双曲线的充分不必要条件，故选A.‎ ‎8. 过点引直线与曲线相交于两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】当面积取最大值时，曲线相交于两点，为坐标原点，圆心，半径，是等腰直角三角形，，圆心到直线的距离为，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，不合题意；当直线的斜率存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离为，解得 ‎，，故选B.‎ ‎9. 设是两条不同直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）‎ A. 且，则 B. 且，则 C. ，则 D. ，则 ‎【答案】B ‎【解析】对于A.直线可能平行、相交、异面，不正确；‎ 对于B.由面面垂直的性质可得，正确；‎ 对于C.没有，不正确；‎ 对于D.没有说明是两条相交直线，不对 故选B.‎ ‎10. 设分别是双曲线的左、右焦点．圆与双曲线的右支交于点，且，则双曲线离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】是双曲线的左、右焦点，圆与双曲线的右支交于点，所以， ， ，，，故选D.‎ ‎【 方法点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据双曲线的定义以及勾股定理关于焦半径和焦距的关系．从而找出之间的关系，求出离心率．‎ ‎11. 在正方体中，分别是中点，则与所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】在正方体中，分别是中点， 的中点为，连接，则是平行四边形，与所成的为，设，‎ ‎，在中，由余弦定理可得，，与所成角的余弦值为，故选C.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查异面直线所成的角立，属于难题. 求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质及三角函数知识求解.‎ ‎12. 已知，抛物线的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点中，若，则三角形面积为（ ）‎ A. B. C. 4 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】抛物线的焦点，设在准线上的射影为，由抛物线的定义知，由可得，则，，又，即有，求得，则三角形的面积为，故选A.‎ ‎【 方法点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，以及三角形面积公式，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.‎ 第Ⅱ卷 非选择题（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 在空间直角坐标系中，正方体的顶点的坐标为，其中心的坐标为，则该正方体的棱长等于__________．‎ ‎【答案】‎ ‎14. 某隧道的拱线设计半个椭圆的形状，最大拱高为6米（如图所示），路面设计是双向车道，车道总宽为米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽至少应是__________米．‎ ‎【答案】32‎ ‎【解析】设椭圆方程为，当点在椭圆上时，，解得车辆高度不超过米，，即拱宽至少，故答案为.‎ ‎15. 已知是球的球面上两点，为该球面上的动点．若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 如图所示，当点位于垂直于面的直径的端点时，三棱锥体积最大，设球的半径为，，解得，则球的表面积为，体积为，故答案为.‎ ‎16. 已知圆，圆，若圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，使得，则实数的最大值与最小值之和为__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】 ，在圆上，，即，即，解得，即的最大值为，的最小值为，实数的最大值与的最小值的和为，故答案为.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系及解析几何求最值问题，属于难题.解决解析几何的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知圆，直线．‎ ‎（1）当为何值时，直线与圆相切；‎ ‎（2）当直线与圆相交于两点，且时，求直线的方程．‎ ‎【答案】(1) (2) 或 ‎【解析】试题分析：(1)将圆的方程化成标准方程为，‎ 则此圆的圆心为，半径为，根据圆心到圆心的距离等于半径列方程可求的值；（2）由，根据点到直线距离公式以及勾股定理列方程求出的值，从而可得直线的方程．‎ 试题解析：将圆的方程化成标准方程为，‎ 则此圆的圆心为，半径为．‎ ‎（1）若直线与圆相切，则有，解得；‎ ‎（2）过圆心作，则根据题意和圆的性质，‎ 得，解得或，故所求直线方程为或．‎ ‎18. 如图，已知所在的平面，是的直径，是上一点，且是中点，为中点．‎ ‎（1）求证：面；‎ ‎（2）求证：面；‎ ‎（3）求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】(1)见解析(2) 见解析（3）‎ ‎ ‎ 试题解析：（1）证明：在三角形中，是中点，为中点，‎ ‎∴，平面平面，∴面；‎ ‎（2）证明：∵面，平面，∴，‎ 又∵是的直径，∴，‎ 又，∴面，‎ ‎∵，∴面；‎ ‎（3）∵，∴，‎ 在中，∵，∴，‎ ‎∴．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、利用等积变换求三棱锥体积，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.‎ ‎19. 已知命题直线和直线垂直；命题三条直线将平面划分为六部分．若为真命题，求实数的取值集合．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：真：，，∴或；真：如果这三条直线将平面划分为六部分包括两种情况能够成立，一是过另外两条直线的交点，做出交点坐标代入直线方程，‎ 得到的值，二是这条直线与另外两条直线中的一条平行，求出或或，真，可得至少有一个为真，从而可得的取值集合为.‎ 试题解析：真：，，∴或，‎ 真：∵与不平行，‎ 则与平行或与平行或三条直线交于一点，‎ 若与平行，由得，‎ 若与平行，由得，‎ 若三条直线交于一点，由，得，‎ 代入得，‎ ‎∴真，或或，‎ ‎∵真，∴至少有一个为真，‎ ‎∴的取值集合为．‎ ‎20. 已知四棱锥，四边形是正方形，．‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若为的中点，求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】(1)见解析(2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）由可得，即，由为正方形，可得，从而得平面，由面面垂直的判定定理可得平面平面；（2）设的中点为，∵，∴，面面垂直的性质可得平面 ‎，在平面内，过作直线，则两两垂直，以为坐标原点，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，分别根据向量垂直数量积为零列方程组求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.‎ 试题解析：（1）∵，‎ ‎∴，即，‎ 又∵为正方形，∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴平面，∵平面，∴平面平面；‎ ‎（2）‎ 设的中点为，∵，∴，‎ 由（1）可知平面平面，且平面平面，‎ ‎∴平面，‎ 在平面内，过作直线，则两两垂直．‎ 以为坐标原点，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，‎ 则，‎ ‎∴，‎ 设平面的法向量为，‎ 则，，即，取，‎ 设平面的法向量为，‎ 则，，即，取，‎ ‎，由图可知，二面角的余弦值为．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查面面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.‎ ‎21. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为2．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）若直线与圆切于点，与抛物线切于点，求的面积．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）在抛物线上，∴，由抛物线焦半径公式可得，解得，所以抛物线的方程为；（2）设直线方程为：，根据与圆相切，直线与抛物线相切，列方程组可求得解得或，根据勾股定理求出弦长，利用点到直线距离公式求出三角形的高，从而可得的面积.‎ 试题解析：（1）∵在抛物线上，∴，‎ 由题意可知，，解得，‎ 所以抛物线的方程为；‎ ‎（2）设直线方程为：，∵与圆相切，‎ ‎∴，整理得，①‎ 依题意直线与抛物线相切，‎ 由得 （*）‎ ‎ ②‎ 由①②解得或，‎ 此时方程（*）化为，解得，∴点，‎ ‎∴，‎ 直线为：或，‎ 到的距离为，‎ ‎∴．‎ ‎22. 椭圆的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于两点，当直线与轴平行时，直线被椭圆截得的线段长为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）在轴上是否存在异于点的定点，使得直线变化时，总有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】(1) (2) 存在定点满足题意 ‎【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率是，直线被椭圆截得的线段长为列方程组求出，从而可得椭圆的标准方程；（2）设直线方程为，由得，，根据韦达定理及斜率公式可得，令，可得符合题意.‎ 试题解析：（1）∵，∴，‎ 椭圆方程化为：，由题意知，椭圆过点，‎ ‎∴，解得，‎ 所以椭圆的方程为：；‎ ‎（2）当直线斜率存在时，设直线方程：，‎ 由得，，‎ 设，‎ 假设存在定点符合题意，∵，∴，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∵上式对任意实数恒等于零，∴，即，∴，‎ 当直线斜率不存在时，两点分别为椭圆的上下顶点，‎ 显然此时，综上，存在定点满足题意．‎ ‎ ‎ ‎ ‎