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- 2021-04-19 发布
屯溪一中2017-2018学年度高二下学期
期中数学试题（文科）
(满分150分，考试时间120分钟)
第I卷 （选择题 满分60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.不等式的解集是 （ ）
A． B．
C. D．
2．设命题，则为 （ ）
A． B．
C． D．
3.下列各式的运算结果为纯虚数的是 （ ）
A． B．
C． D．
4.我们把平面几何里相似的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就称它们是相似体。给出下面的几何体：
①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥，
则一定是相似体的个数是 （ ）
A.4 B.2
C.3 D.1
5.“”是“，是真命题”的 （ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．即不充分也不必要条件
6.焦点在轴，且焦点到准线的距离为2的抛物线方程为 （ ）
A． B．
C． D．
7. 运行下列程序，若输入的的值分别为70,30，则输入的的值为 （ ）
A．61 B．68
C．75 D．82
8.设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，
则下列结论中一定成立的是 （ ）
A．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
D．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
9．椭圆的一条弦被平分,那么这条弦所在的直线方程是 （ ）
A． B．
C． D．
10.若函数在上可导，则 （ ）
A． B.
C． D.
11.双曲线的左右焦点分别为、，渐近线分别为，点在第一象限内且在上，若，则双曲线的离心率为 （ ）
A． B．
C． D．
12.已知，且，现给出如下结论：①；②；③；④其中正确结论的序号为 （ ）
A． ②③ B．①④
C．①③ D．②④
第II卷（非选择题 满分90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
13. 设复数满足，则=
14. 函数的单调递减区间为
15. 设点分别为椭圆的右焦点和上顶点， 为坐标原点，且的周长为，则实数的值为
16.如图所示是一个有层的六边形点阵，它的中心是一个点，算作第1层，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，第层每边有个点，则这个点阵共有_________个点.
三.解答题（本大题共6题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答应写在答题卡的指定区域内。）
17．（本小题满分10分）已知函数
（1）解不等式
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
18. （本小题满分12分）
命题：方程表示双曲线，
命题：函数的定义域为，
若命题为真命题，为假命题，求实数的取值范围。
.
19.（本小题满分12分）在某次国家领导人会议上，我国领导发表了题为《坚定信心，共谋发展》的重要讲话，引起世界各国的关注，为了了解关注程度，某机构选取了“70后”和“80后”两个年龄段作为调查对象，进行了问卷调查，共调查了120名“80后”，80名“70后”，其中调查的“80后”有40名不关注，其余的全部关注，调查的“70后”有10人不关注，其余的全部关注.
（1）根据以上数据完成下列2×2列联表
关注
不关注
合计
“70后”
“80后”
合计
（2）根据2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.001的前期下，认为“关注与年龄段有关”？请说明理由
参考公式：
附表：
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
20. （本小题满分12分）某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:
①；
②；
③；
④；
⑤；
(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;
(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.
21.（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点是椭圆上的一个动点，的周长为6，且存在点使得为正三角形。
（1） 求椭圆的方程；
（2） 若是椭圆上不重合的四个点，与相交于点，且，若的斜率为，求四边形的面积。
22．（本小题满分12分）已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数.当时，若在区间上存在，使得成立，求实数的取值范围.（为自然对数的底数）
屯溪一中2017-2018学年度高二下学期
期中数学试题（文科）答案
(满分150分，考试时间120分钟)
第I卷 （选择题 满分60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.不等式的解集是 （ B ）
A． B．
C. D．
2．设命题，则为 （ C ）
A． B．
C． D．
3.下列各式的运算结果为纯虚数的是 （ B ）
A． B．
C． D．
4.我们把平面几何里相似的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就称它们是相似体。给出下面的几何体：
①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱； ⑤两个正四棱锥，
则一定是相似体的个数是 （ B ）
A.4 B.2
C.3 D.1
5. “”是“，是真命题”的 （ A ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．即不充分也不必要条件
6.焦点在轴，且焦点到准线的距离为2的抛物线方程为 （ D ）
A． B．
C． D．
7. 运行下列程序，若输入的的值分别为70,30，则输入的的值为 （ C ）
A．61 B．68
C．75 D． 82
8. 设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，
则下列结论中一定成立的是 （ C ）
A．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
D．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
9．椭圆的一条弦被平分,那么这条弦所在的直线方程是 （ D ）
A． B．
C． D．
10.若函数在上可导，则 （ A ）
A． B．
C． D．
11.双曲线的左右焦点分别为、，渐近线为，点在第一象限内且在上，若，则双曲线的离心率为 （ B ）
A． B．
C． D．
12.已知，且，现给出如下结论：①；②；③；④其中正确结论的序号为 （ A ）
A． ②③ B．①④
C．①③ D．②④
第II卷（非选择题 满分90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 设复数满足，则= 1
14. 函数的单调递减区间为
15. 设点分别为椭圆的右焦点和上顶点， 为坐标原点，且的周长为，则实数的值为 2
16.如图所示是一个有层的六边形点阵，它的中心是一个点，算作第1层，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，第层每边有个点，则这个点阵共有_________个点.
三.解答题（本大题共6题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答应写在答题卡的指定区域内。）
17．（本小题满分10分）已知函数
（1）解不等式
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）不等式等价于
或或，解得或
则不等式的解集为 ----------（5分）
（2）
∵关于的不等式恒成立，∴，
故实数的取值范围为 ----------（10分）
18. （本小题满分12分）命题：方程方程表示双曲线，
命题：函数的定义域为，
若命题为真命题，为假命题，求实数的取值范围。
解：：由，得 ----------（2分）
：令由对恒成立
（1）当时，∴符合题意
（2）当时，，解得
∴ ----------（7分）
又∵命题为真命题，命题为假命题，
∴命题一真一假 ----------（8分）
∴或
∴或 ----------（12分）
19.（本小题满分12分）在某次国家领导人会议上，我国领导发表了题为《坚定信心，共谋发展》的重要讲话，引起世界各国的关注，为了了解关注程度，某机构选取了“70后”和“80后”两个年龄段作为调查对象，进行了问卷调查，共调查了120名“80后”，80名“70后”，其中调查的“80后”有40名不关注，其余的全部关注，调查的“70后”有10人不关注，其余的全部关注.
（1）根据以上数据完成下列2×2列联表
关注
不关注
合计
“70后”
“80后”
合计
（2）根据2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.001的前期下，认为“关注与年龄段有关”？请说明理由
参考公式：
附表：
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
解：（1）2×2列联表：
关注
不关注
合计
“70后”
80
40
120
“80”
70
10
80
合计
50
50
200
----------（5分）
（2）根据列联表计算 ----------（9分）
对照观测值得，能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“关注”与“不关注”与年龄有关. ----------（12分）
20. （本小题满分12分）某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:
①；
②；
③；
④；
⑤；
(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;
(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.
解：（1）选择②式，计算如下
= ----------（4分）
（2）三角恒等式 ----------（7分）
证明如下：
=
=
=
===. ----------（12分）
21.（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点是椭圆上的一个动点，的周长为6，且存在点使得为正三角形。
（1） 求椭圆的方程；
（2） 若、、、是椭圆上不重合的四个点，与相交于点，且。若的斜率为，求四边形的面积。
解：（1）设为椭圆的半焦距，依题意，有：解得，
∴
故椭圆的方程为：. ----------（4分）
（2）解：,又，则.
，
∴ ----------（7分）
∴ ----------（10分）
∴
故四边形的面积为. ----------（12分）
22．（本小题满分12分）已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数.当时，若在区间上存在，使得成立，求实数的取值范围.（为自然对数的底数）.
解：（1）函数的定义域为， ----------（1分）
当时，在内恒成立，所以函数在内为增函数；
当时，由，得，由得
∴函数在内为减函数，在内为增函数。 ----------（5分）
（2）令
则
欲使在区间上存在，使得，
只需在区间上的最小值小于零。
当，即时，在上单调递减，则的最小值为
∴.解得.∵，；
当，即时，在上单调递增，则的最小值为
∴，解得，∴；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，则的最小值为，∵
∴
∴，此时不成立
综上所述，实数的取值范围为. ----------（12分）