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- 2021-04-19 发布
湖南省衡阳市第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试
数学（文）试题
命题：彭玉锋 审核：欧小春
考试时量：120分钟 考试总分：150分
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 A＝{x|x－1＞0}，B＝{x|2－x＜0}，则下列结论正确的是
A．A∩B＝A B．A∪B＝B
C．“x∈A”是“x∈B”的充分条件 D．“x∈A”是“x∈B”的必要条件
2．已知复数z＝，则下列结论正确的是
A．z 的虚部为i B．|z|＝2 C．z2为纯虚数 D．z 的共轭复数＝－1＋i
3．已知，为单位向量，且⊥(＋2)，则向量与的夹角为
A．30° B．60° C．120° D．150°
4．执行右边的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足
A．y＝2x
B．y＝3x
C．y＝4x
D．y＝5x
5．已知f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x≥0 时，f(x)＝x2－x，则不等式f(x＋2)＜6 的解集是
A．{x|－5＜x＜1} B．{x|－4＜x＜0}
C． {x|－1＜x＜5} D．{x|0＜x＜4}
6．函数f(x)＝2x＋的图象大致为
A B C D
7．设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n 项和为 Sn，则下列结论正确的是
A．Sn＝4－3an B ．Sn＝3－2an C．Sn＝3an－2 D ．Sn＝2an－1
8．若变量x，y满足约束条件则2x＋y的最大值是( )
A．2 B．4 C．7 D．8
9．若奇函数f(x)(x∈R)满足f(x＋4)＝，，且当x∈[0，2]时，f(x)＝则f()＋f()＝
A． B．－ C． D．
10．若两个正实数x，y满足＋＝1，并且x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－2)∪[4，＋∞) B．(－∞，－4]∪[2，＋∞)
C．(－2，4) D．(－4，2)
11．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|≤)的部分图象如图所示，则下列判断错误的是
A．ω＝2
B．f()＝1
C．函数f(x)的图象关于(－，0)对称
D．函数f(x)的图象向左平移个单位后得到y＝Asinωx的图象
12．设平行于 x 轴的直线 l 分别与函数y＝2x和y＝2的图象相交于点 A，B，若函数y＝2x的图象上存在点C，使得△ABC 为等边三角形，则这样的直线l
A．不存在 B．有且只有一条 C．至少有两条 D．有无数条
二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.把各题答案的最简形式写在题中的横线上.
13．已知函数f(x)＝则f(f())＝________．
14．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________．
15．在△ABC中，a＝3，b＝3，A＝，则C＝________．
16．已知函数f(x)＝，若在区间[－2，2]内随机选取一个实数a，则方程[f(x)]2＋a f(x)－1＝0有且只有两个不同实根的概率为________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．(本小题满分12分)已知数列{an}是等差数列，a1＝2，且a2，a3，a4＋1成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.
18．(本小题满分12分)对某班50名学生本周使用手机的时间长进行不记名问卷调查，得到的数据如下表：
时间长(小时)
[0，5)
[5，10)
[10，15)
[15，20)
[20，25)
女生人数
4
11
3
2
0
男生人数
3
17
6
3
1
(1)求这50名学生本周使用手机的平均时间长；
(2)时间长为[0，5)的7名同学中，从中抽取两名，求其中恰有一个女生的概率；
(3)若时间长为[0，10)被认定“不依赖手机”，[10，25]被认定“依赖手机”，根据以上数据完成下面的2×2列联表：
不依赖手机
依赖手机
总计
女生
男生
总计
能否在犯错概率不超过0.15的前提下，认为学生的性别与依赖手机有关系？
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
(参考公式：K2＝，n＝a＋b＋c＋d)
19．(本小题满分12分) 如图，在四棱锥P—ABCD中，PC＝AD＝CD＝AB＝2，AB∥DC，AD⊥CD，PC⊥平面ABCD．
(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)若M为线段PA的中点，且过C，D，M三点的平面与线段PB交于点N，确定点N的位置，说明理由；并求三棱锥A—CMN的高．
20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，动点M(x，y)( x≥0)到点F(1，0)的距离与y轴的距离之差为1．
(1)求点M 的轨迹C的方程；
(2)若Q(－4，2)，过点N(4，0)作任意一条直线交曲线C于A，B两点，试证明kQA＋kQB是一个定值．
21．(本小题满分12分) 已知函数f(x)＝x2ln x－a(x2－1)，a∈R.
(1)当a＝－1时，求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若当x≥1时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．
请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22．(本小题满分10分)选修 4－4：坐标系与参数方程
以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin θ，在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为(t为参数)．
(1)求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；
(2)已知直线l交曲线C于A，B两点，求A，B两点的距离．
23．(本小题满分 10 分)选修 4－5：不等式选讲
已知函数 f(x)＝|x＋2|＋|x－1|．
(1)求证：f(x)≥3；
(2)求不等式f(x)≥x2的解集．