山东省济南外国语学校2019-2020学年高一4月月考数学试题 15页

济南外国语学校2019-2020学年高一4月月考 数学 一、单选题（只有一个选项正确，共计 8 个小题，每题 5 分，共计 40 分)‎ ‎5‎ ‎1．复数 ‎‎ i - 2‎ ‎的共轭复数是( )‎ A． 2 + i ‎B． 2 - i ‎C． -2 + i ‎D． -2 - i ‎【答案】C ‎【详解】‎ ‎5‎ 因为 i - 2‎ ‎‎ = -2 - i ，所以复数 ‎‎ ‎5‎ i - 2‎ ‎‎ 的共轭复数是 -2 + i ，选 C.‎ ‎2．某单位有职工 100 人，不到 35 岁的有 45 人，35 岁到 49 岁的有 25 人，剩下的为 50‎ 岁以上（包括 50 岁）的人，用分层抽样的方法从中抽取 20 人，各年龄段分别抽取的人 数为（ ）‎ A．7，5，8 B．9，5，‎6 ‎C．7，5，9 D．8，5，7‎ ‎【答案】B ‎【详解】 由于样本容量与总体中的个体数的比值为 ‎‎ ‎20 = 1 ，故各年龄段抽取的人数依次为 ‎100 5‎ ‎45´ 1 = 9 ， 25´ 1 = 5 ， 20 - 9 - 5 = 6 .故选：B ‎5 5‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分层抽样方法,关键要理解分层抽样的原则,‎ ‎3．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常 用区间[0,10] 内的一个数来表示，该数越接近10 表示满意度越高.现随机抽取10 位北京市民，他们的幸福感指数为 3，4，5，5，6，7，7，8，9，10.则这组数据的 75% 分位 数是（ ）‎ A．7 B． ‎7.5 ‎C．8 D． 8.5‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ 由题意，这 10 个人的幸福指数已经从小到大排列， 因为 75% ´10 = 7.5 ，‎ 所以这 10 个人的 75% 分位数是从小到大排列后第 8 个人的幸福指数，即 8.‎ 故选：C ‎【点睛】 本题主要考查分位数的概念和计算，属于基础题.‎ ‎4．一个袋子中有 4 个红球，2 个白球，若从中任取 2 个球，则这 2 个球中有白球的概 率是 ( )‎ ‎4 3‎ A． B．‎ ‎5 5‎ ‎2 1‎ C． D．‎ ‎5 3‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ 解：一个袋子中有 4 个红球，2 个白球，将 4 红球编号为 1，2，3，4；2 个白球编号为 ‎5，6．从中任取 2 个球，基本事件为：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，‎ ‎3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}， 共 15 个，而且这些基本事件的出现是等可能的．用 A 表示“两个球中有白球”这一事件， 则 A 包含的基本事件有：{1，5}，{1，6}，{2，5}，{2，6}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，‎ ‎{4，6}，{5，6}共 9 个，这 2 个球中有白球的概率是 p = 9 = 3 ．‎ 故选 B．‎ ‎【点睛】‎ ‎15 5‎ 本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基 础题． ‎ ‎5．某工厂对一批产品进行了抽样检测.此图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克） 数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96， 98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于 ‎100 克的 个数是 36，则样本中净重大于或等于 ‎98 克并且小于 ‎104 克的产品的个数是( ).‎ A．90 B．‎75 ‎C．60 D．45‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 样本中产品净重小于 ‎100 克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.3，频数为 36，‎ ‎∴样本总数为 .‎ ‎∵样本中净重大于或等于 ‎98 克并且小于 ‎104 克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2‎ ‎＝0.75，‎ ‎∴样本中净重大于或等于 ‎98 克并且小于 ‎104 克的产品的个数为 120×0.75＝90.‎ 考点：频率分布直方图.‎ ‎6．某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有 6 名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外 的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后，现场嘉宾的评分情 况如下表，场内外共有数万名观众参与了评分，组织方将观众评分按照 [70,80) ，‎ [80,90) ， [90,100] 分组，绘成频率分布直方图如下：‎ 嘉宾 A B C D E F 评分 ‎96‎ ‎95‎ ‎96‎ ‎89‎ ‎97‎ ‎98‎ ‎ ‎ 嘉宾评分的平均数为 x ，场内外的观众评分的平均数为 x ，所有嘉宾与场内外的观众 ‎1 2‎ 评分的平均数为 x ，则下列选项正确的是（ ）‎ ‎ ‎ A． x = x1 + x2‎ ‎2‎ ‎B． x > x1 + x2‎ ‎2‎ ‎C． x < x1 + x2‎ ‎2‎ ‎ ‎ D． x > x ‎> x > x1 + x2‎ ‎1 2 2‎ ‎【答案】C ‎【详解】 由表格中的数据可知， x1 = ‎‎ ‎96 + 95 + 96 + 89 + 97 + 98‎ ‎6‎ ‎‎ » 95.17 ，‎ 由频率分布直方图可知， x2 = 75´ 0.2 + 85´ 0.3 + 95´ 0.5 = 88 ，则 x1 > x2 ，‎ 由于场外有数万名观众，所以， x ‎‎ ‎ ‎ < x < x1 + x2 < x .‎ ‎2 2 1‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】 本题考查平均数的大小比较，涉及平均数公式以及频率分布直方图中平均数的计算，考 查计算能力，属于基础题.‎ ‎7．在 1，2，3，4 四个数中随机地抽取一个数记为 a，再在剩余的三个数中随机地抽取 a 一个数记为 b，则“‎ b ‎不是整数”的概率为（ ）‎ ‎1 1‎ A． B．‎ ‎3 4‎ ‎2 3‎ C． D．‎ ‎3 4‎ ‎【答案】C ‎【详解】 由题意知基本事件总数为 12.‎ a 1 1 1 2‎ ‎“ 不是整数”包含的基本事件有 ， ， ，‎ b 2 3 4 3‎ ‎2 3 3 4‎ ‎， ， ， ，‎ ‎4 2 4 3‎ ‎‎ ‎，共 8 个.‎ ‎∴“ a 不是整数”的概率 P = 8 = 2 .故选:C.‎ b 12 3‎ ‎【点睛】 本题考查古典概型,关键要准确列出基本事件,属于基础题.‎ ‎8．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土 克水，水克火，火克金”，从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质 不相克的概率为 ‎3 2‎ A． B．‎ ‎10 5‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ ‎‎ ‎1 3‎ C． D．‎ ‎2 5‎ 从五种物质中随机抽取两种，所有抽法共有 10 种，而相克的有 5 种情况，‎ ‎5 1 1 1‎ 则抽取的两种物质相克的概率是 ‎= ，故抽取两种物质不相克的概率是1- = ，‎ 故选 C.‎ ‎【点睛】‎ ‎10 2 2 2‎ 本题主要考查了古典概型及其概率的计算公式的应用，以及相互对立事件的应用，其中 解答正确理解题意，合理利用对立事件的概率求解是解答的关键，着重考查了运算与求 解能力，属于基础题.‎ 二、多选题（共 4 个小题，每题 5 分，全部答对得 5 分，不全但对得 3 分）‎ ‎9．（多选题）已知集合 M = {m m = in , n Î N} ，其中 i 为虚数单位，则下列元素属于 集合 M 的是（ ）‎ A． (1- i)(1+ i) ‎【答案】BC ‎‎ ‎1- i B．‎ ‎1+ i ‎‎ ‎1 + i C．‎ ‎1 - i ‎‎ D． (1- i )2‎ ‎【详解】‎ 根据题意， M = {m m = in , n Î N }中，‎ n = 4k (k Î N ) 时， in = 1；‎ n = 4k +1(k Î N )时， in = i ；‎ n = 4k + 2(k Î N ) 时， in = -1；‎ n = 4k + 3(k Î N ) 时， in = -i ，‎ M = {-1,1, i, -i} .‎ 选项 A 中， (1- i)(1+ i) = 2 Ï M ；‎ 选项 B 中，‎ 选项 C 中，‎ ‎1- i 1+ i ‎1+ i 1- i ‎(1- i )2‎ = = -i Î M ；‎ (1+ i ) (1- i ) (1+ i)2‎ = = i Î M ；‎ (1- i)(1+ i) 选项 D 中， (1- i )2 = -2i Ï M .‎ 故选：BC.‎ ‎【点睛】 此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解. ‎ ‎10．抛掷一枚骰子 1 次,记“向上的点数是 4,5,‎6”‎为事件 A,“向上的点数是 1,‎2”‎为事件 B,“向上的点数是 1,2,‎3”‎为事件 C,“向上的点数是 1,2,3,‎4”‎为事件 D,则下列关于事件 A， B，C，D 判断正确的有（ ）‎ A．A 与 B 是互斥事件但不是对立事件 B．A 与 C 是互斥事件也是对立事件 C．A 与 D 是互斥事件 D．C 与 D 不是对立事件也不是互斥事件 ‎【答案】ABD ‎【详解】‎ 抛掷一枚骰子 1 次,记“向上的点数是 4,5,‎6”‎为事件 A,“向上的点数是 1,‎2”‎为事件 B, “向上的点数是 1,2,‎3”‎为事件 C,“向上的点数是 1,2,3,‎4”‎为事件 D,‎ 在 A 中,A 与 B 不能同时发生,但能同时不发生,是互斥事件但不是对立事件,故 A 正确； 在 B 中,A 与 C 是对立事件,故 B 正确；‎ 在 C 中,A 与 D 能同时发生,不是互斥事件,故 C 错误；‎ 在 D 中,C 与 D 能同时发生,不是对立事件也不是互斥事件,故 D 正确. 故选：ABD.‎ ‎【点睛】 本题主要考查了互斥与对立事件的判定,属于基础题.‎ ‎11．如图所示的曲线图是 ‎2020 年 1 月 25 日至 ‎2020 年 2 月 12 日陕西省及西安市新冠肺 炎累计确诊病例的曲线图，则下列判断正确的是（ ）‎ ‎1‎ A．‎1 月 3‎1 日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了 ‎3‎ B．‎1 月 2‎5 日至 ‎2 月 1‎2 日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势 C．‎2 月 ‎2 日后到 ‎2 月 1‎0 日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了 97 例 D．‎2 月 ‎8 日到 ‎2 月 1‎0 日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于 ‎2 月 ‎6 日到 2 月 8‎ 日的增长率 ‎【答案】ABC ‎【详解】‎ ‎1 月 3‎‎1 日陕西省新冠肺炎累计确诊病例共有 87 例，其中西安 32 例，所以西安所占比 ‎32 1‎ 例为 > ，故 A 正确；‎ ‎87 3‎ 由曲线图可知，‎1 月 2‎5 日至 ‎2 月 1‎2 日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增 趋势，故 B 正确；‎ ‎2 月 ‎‎2 日后到 ‎2 月 1‎0 日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了 213 -116 = 97 例，故 C 正确；‎ ‎2 月 ‎‎8 日到 ‎2 月 1‎0 日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了 ‎88 - 74 7‎ ‎‎ ‎98 - 88 = 5 ，‎2 月 ‎6 日到 2‎ ‎88 44‎ ‎7 5‎ 月 8 日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了 故选：ABC ‎【点睛】‎ ‎= ，显然 ‎74 37‎ ‎> ，故 D 错误.‎ ‎37 44‎ 此题考查曲线图，根据图象特征判断选项说法是否正确，关键在于识图，弄清图中的数 据变化.‎ ‎12．（多选）以下对各事件发生的概率判断正确的是（ ）.‎ ‎1‎ A．甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是 ‎3‎ B．每个大于 2 的偶数都可以表示为两个素数的和，例如 8 = 3 + 5 ，在不超过 14 的素 ‎1‎ 数中随机选取两个不同的数，其和等于 14 的概率为 ‎15‎ C．将一个质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字 l，2，3，4，5，6）先后抛 ‎5‎ 掷 2 次，观察向上的点数，则点数之和是 6 的概率是 ‎36‎ ‎1‎ D．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是 ‎2‎ ‎【答案】BCD ‎【详解】‎ 对于 A，画树形图如下：‎ 从树形图可以看出，所有可能出现的结果共有 9 种，这些结果出现的可能性相等，P（甲 ‎1 1 2‎ 获胜） = ，P（乙获胜） = ，故玩一局甲不输的概率是 ，故 A 错误；‎ ‎3 3 3‎ 对于 B，不超过 14 的素数有 2，3，5，7，11，13 共 6 个，从这 6 个素数中任取 2 个， 有 2 与 3，2 与 5，2 与 7，2 与 11，2 与 13，3 与 5，3 与 7，3 与 11，3 与 13，5 与 7， 5 与 11，5 与 13，7 与 11，7 与 13，11 与 13 共 15 种结果，其中和等于 14 的只有一组 ‎1‎ ‎3 与 11，所以在不超过 14 的素数中随机选取两个不同的数，其和等于 14 的概率为 ，‎ ‎15‎ 故 B 正确；‎ 对于 C，基本事件总共有 6´ 6 = 36 种情况，其中点数之和是 6 的有（1，5），（2，4），（3，3），‎ ‎（4，2），（5，1），共 5 种情况，则所求概率是 5‎ ‎36‎ ‎‎ ‎，故 C 正确；‎ 对于 D，记三件正品为 A1 ， A2 ， A3 ，一件次品为 B，任取两件产品的所有可能为 A‎1 A2 ，‎ A‎1 A3 ，A1B ，A‎2 A3 ，A2 B ，A3 B ，共 6 种，其中两件都是正品的有 A‎1 A2 ，A‎1 A3 ，A‎2 A3 ，‎ ‎3 1‎ 共 3 种，则所求概率为 P = = ，故 D 正确.故选 BCD.‎ ‎6 2‎ 三、填空题（4 个小题，每题 5 分）‎ ‎13．有一批产品,其中一等品 10 件,二等品 25 件,次品 5 件,现用分层随机抽样的方法从这 批产品中抽出 8 件进行质量分析,则抽取的一等品有 件.‎ ‎【答案】2‎ ‎【详解】 抽取的一等品的件数为 ‎‎ ‎8‎ ‎10 + 25 + 5‎ ‎‎ ´10 = 2 .‎ ‎14．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜， 决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队 主场取胜的概率为 0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 4∶1 获胜的概率是 ．‎ ‎【答案】0.18‎ ‎【详解】‎ 前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以 4 :1获胜的概率是 ‎0.63 ´ 0.5 ´ 0.5 ´ 2 = 0.108,‎ 前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以 4 :1获胜的概率是 ‎0.4 ´ 0.62 ´ 0.52 ´ 2 = 0.072,‎ 综上所述，甲队以 4 :1获胜的概率是 q = 0.108 + 0.072 = 0.18.‎ ‎【点睛】 由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二 是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以 4 :1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够 准确计算．‎ ‎15．现有 7 名数理化成绩优秀者，分别用 A1 ， A2 ， A3 ， B1 ， B2 ， C1 ， C2 表示，其 中 A1 ， A2 ， A3 的数学成绩优秀， B1 ， B2 的物理成绩优秀， C1 ， C2 的化学成绩优秀.‎ 从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各 1 名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则 A1‎ 和 B1 不全被选中的概率为 .‎ ‎5‎ ‎【答案】‎ ‎6‎ ‎【详解】‎ 从这 7 人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各 1 名， 所有可能的结果组成的 12 个样本点为 ( A1 , B1 , C1 ) ，‎ ( A1, B1, C2 ) ， ( A1, B2 , C1 ) ， ( A1, B2 , C2 ) ， ( A2 , B1, C1 ) ，‎ ( A2 , B1, C2 ) ， ( A2 , B2 , C1 ) ， ( A2 , B2 ,C2 )， ( A3 , B1,C1 )，‎ ( A3 , B1, C2 ) ， ( A3 , B2 , C1 ) ， ( A3 , B2 ,C2 ) .‎ ‎“ A1 和 B1 全被选中”有 2 个样本点 ( A1 , B1 , C1 ) ， ( A1, B1, C2 ) ，‎ ‎10 5‎ ‎“ A1 和 B1 不全被选中”为事件 N 共有 10 个样本点，概率为 ‎5‎ ‎= .‎ ‎12 6‎ 故答案为: .‎ ‎6‎ ‎【点睛】‎ 本题考查古典概型的概率，列举样本点是解题的关键. 16．一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为 a，b，c，当且仅当有两个 数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如 213，134 等），若 a, b, c Î{1，2，3，4} ， 且 a，b，c 互不相同，则这个三位数为”有缘数”的概率是 ．‎ ‎1‎ ‎【答案】‎ ‎2‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由 1，2，3 组成的三位自然数为 123，132，213，231，312，321，共 6 个； 同理由 1，2，4 组成的三位自然数共 6 个；‎ 由 1，3，4 组成的三位自然数也是 6 个； 由 2，3，4 组成的三位自然数也是 6 个． 所以共有 6＋6＋6＋6＝24 个．‎ 由 1，2，3 组成的三位自然数，共 6 个”有缘数”． 由 1，3，4 组成的三位自然数，共 6 个”有缘数”．‎ ‎12 1‎ 所以三位数为”有缘数”的概率 P = = ．‎ ‎24 2‎ 四、解答题（共计 70 分）‎ ‎17．（本小题 10 分）已知复数 z = 1+ mi （ i 是虚数单位， m Î R ），且 z × (3 + i) 为纯虚 数（ z 是 z 的共轭复数）．‎ m + 2i ‎（1）设复数 z1 = ‎1- i ‎，求 z1 ；‎ a - i2017‎ ‎（2）设复数 z2 = ，且复数 z2 所对应的点在第一象限，求实数 a 的取值范围．‎ z ‎【答案】（1） z = ‎26 ；（2） a > 1‎ ‎1 2 3‎ ‎【详解】‎ ‎∵ z = 1+ mi ，∴ z = 1- mi .∴ z × (3 + i) = (1- mi)(3 + i) = (3 + m) + (1- ‎3m)i .‎ 又∵ z × (3 + i) 为纯虚数，∴‎ ‎ì3 + m = 0‎ í ，解得 m = -3 ．∴ z = 1 - 3i .‎ î1- ‎3m ¹ 0‎ ‎（1） z1 = ‎-3 + 2i 1- i ‎= - 5 - 1 i ，∴ z = ；‎ ‎26‎ ‎2 2 1 2‎ a - i ‎（2）∵ z = 1 - 3i ，∴ z2 = = ‎1- 3i ‎(a + 3) + (‎3a -1)i ‎，‎ ‎10‎ 又∵复数 z2 所对应的点在第一象限，‎ ìa + 3 > 0‎ ‎∴ í î‎3a -1 > 0‎ ‎1‎ ‎，解得： a > ．‎ ‎3‎ ‎【点睛】‎ 如果 Z 是复平面内表示复数 z = a + bi (a, b Î R) 的点，则①当 a > 0 ， b > 0 时，点 Z 位于第一象限；当 a < 0 ， b > 0 时，点 Z 位于第二象限；当 a < 0 ， b < 0 时，点 Z 位于 第三象限；当 a > 0 ，b < 0 时，点 Z 位于第四象限;②当 b > 0 时，点 Z 位于实轴上方的 半平面内；当 b < 0 时，点 Z 位于实轴下方的半平面内．‎ ‎18．（本小题 12 分）在某次数学考试中，小江的成绩在 90 分以上的概率是 0.25，在 [80, 90] 的概率是 0.48，在 [70,80) 的概率是 0.11，在 [60, 70) 的概率是 0.09，在 60 分 以下的概率是 0.07.计算：‎ ‎（1）小江在此次数学考试中取得 80 分及以上的概率；‎ ‎（2）小江考试及格（成绩不低于 60 分）的概率.‎ ‎【答案】（1） 0.73 ；（2） 0.93 .‎ ‎【详解】‎ ‎（1）分别记小江的成绩在 90 分以上，在[80, 90] ，[70,80]，[60, 70]为事件 B ， C ，‎ D ， E ，这四个事件彼此互斥.‎ 小江的成绩在 80 分及以上的概率 P ( B È C ) = P ( B ) + P (C ) = 0.25 + 0.48 = 0.73 .‎ ‎（2）方法一：小江考试及格（成绩不低于 60 分）的概率 P ( B∪C∪D∪E ) = P ( B) + P (C ) + P ( D) + P ( E ) = 0.25 + 0.48 + 0.11+ 0.09 = 0.93.‎ 方法二：小江考试不及格（成绩在 60 分以下）的概率是 0.07，根据对立事件的概率公 式，得小江考试及格（成绩不低于 60 分）的概率是1- 0.07 = 0.93.‎ 分组 频数 频率 ‎[10,15)‎ ‎10‎ ‎0.25‎ ‎[15,20)‎ ‎24‎ n ‎[20,25)‎ m p ‎[25,30]‎ ‎2‎ ‎0.05‎ 合计 M ‎1‎ ‎19．（本小题 12 分）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取 M 名 学生作为样本，得到这 M 名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率 的统计表和频率分布直方图.‎ ‎(1)求出表中 M，p 及图中 a 的值；‎ ‎(2)若该校高三学生有 240 人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15) 内的人数；‎ ‎(3)估计这次学生参加社区服务人数的众数、中位数以及平均数．‎ ‎【答案】见解析 ‎10‎ ‎【解析】(1)由分组[10,15)内的频数是 10，频率是 0.25，知 M ‎‎ ‎＝0.25，所以 m 4‎ M＝40.因为频数之和为 40，所以 10＋24＋m＋2＝40，解得 m＝4，p＝‎ M ‎= ＝0.10.‎ ‎40‎ 因为 a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以 a＝‎ ‎24‎ ‎40´ 5‎ ‎＝0.12.‎ ‎(2)因为该校高三学生有 240 人，在[10,15)内的频率是 0.25，‎ 所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为 60.‎ ‎15 + 20 24‎ ‎(3)估计这次学生参加社区服务人数的众数是 ‎2‎ ‎0.5 - 0.25‎ ‎＝17.5.因为 n＝ ＝‎ ‎40‎ ‎0.6，所以样本中位数是 15＋‎ ‎≈17.1，估计这次学生参加社区服务人 a 数的中位数是 17.1.样本平均人数是 12.5×0.25＋17.5×0.6＋22.5×0.1＋ 27.5×0.05＝17.25，估计这次学生参加社区服务人数的平均数是 17.25. 考点：中位数、众数、平均数.‎ ‎20．（本小题 12 分）2019 年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、 继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某 单位老、中、青员工分别有 72,108,120 人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员 工中抽取 25 人调查专项附加扣除的享受情况.‎ ‎（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？‎ ‎（Ⅱ）抽取的 25 人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有 6 人，分别记为 A, B, C, D, E, F .享受情况如下表，其中“ d ”表示享受，“×”表示不享受.现从这 6 人中 随机抽取 2 人接受采访.‎ 员工 项目 A B C D E F 子女教育 ‎○‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎○‎ 继续教育 ‎×‎ ‎×‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎○‎ ‎○‎ 大病医疗 ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎×‎ 住房贷款利息 ‎○‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎○‎ ‎○‎ 住房租金 ‎×‎ ‎×‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ 赡养老人 ‎○‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎○‎ ‎（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；‎ ‎（ii）设 M 为事件“抽取的 2 人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件 M 发生 的概率.‎ ‎【答案】（I）6 人，9 人，10 人；‎ ‎11‎ ‎（II）（i）见解析；（ii） .‎ ‎15‎ ‎【详解】‎ ‎（I）由已知，老、中、青员工人数之比为 6 : 9 :10 ，‎ 由于采取分层抽样的方法从中抽取 25 位员工， 因此应从老、中、青员工中分别抽取 6 人，9 人，10 人.‎ ‎（II）（i）从已知的 6 人中随机抽取 2 人的所有可能结果为 {A, B},{A, C}, {A, D}, {A, E }, {A, F } ,{B, C},{B, D},{B, E},{B, F} ,‎ {C, D},{C, E},{C, F} , {D, E},{D, F},{E, F} ,共 15 种；‎ ‎（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为 {A, B},{A, D},{A, E},{A, F} ,{B, D},{B, E},{B, F} , {C, E},{C, F},‎ {D, F},{E, F} ,共 11 种，‎ ‎11‎ 所以，事件 M 发生的概率 P(M ) = .‎ ‎15‎ ‎【点睛】 本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型即其概 率计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.‎ ‎21．（本小题 12 分）在一个选拔项目中，每个选手都需要进行 4 轮考核，每轮设有一个 问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、‎ ‎5 4‎ 三、四轮问题的概率分别为 、‎ ‎6 5‎ ‎3 1‎ ‎、 、 ，且各轮问题能否正确回答互不影响．‎ ‎4 3‎ ‎（Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；‎ ‎（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率；‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）‎ ‎【详解】‎ ‎1 1‎ ‎；（Ⅱ）‎ ‎6 2‎ ‎（Ⅰ）设事件 Ai (i = 1, 2, 3, 4) 表示“该选手能正确回答第 i 轮问题” ．‎ ‎5 4 3 1‎ 由已知 P( A1 ) = 6 ， P( A2 ) = 5 ， P( A3 ) = 4 ， P( A4 ) = 3 ．‎ ‎（Ⅰ）设事件 B 表示“该选手进入第三轮被淘汰”，则 P(B) = P( A A A ) = 5 ´ 4 ´ (1- 3) = 1‎ ‎1 2 3‎ ‎‎ ‎ ‎ ‎6 5 4 6‎ ‎（Ⅱ）设事件 C 表示“该选手至多进入第三轮考核”，则 P(C) = P( A + A A ‎+ A A A ) = 1 + 5 ´ 1 + 5 ´ 4 ´ (1- 3) = 1‎ ‎1 1 2 1 2 3‎ ‎‎ ‎ ‎ ‎6 6 5 6 5 4 2‎ ‎22．（本小题 12 分）十九大提出，坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村 脱贫,坚持扶贫同扶智相结合，帮助贫困村种植蜜柚，并利用电商进行销售，为了更好 地销售，现从该村的蜜柚树上随机摘下了100 个蜜柚进行测重，其质量分别在 ‎[1500,1750) ， [1750, 2000) ， [2000, 2250) , [2250, 2500) ,[2500, 2750) ，‎ ‎[2750, 3000] (单位:克)中，其频率分布直方图如图所示，‎ ‎（Ⅰ）已经按分层抽样的方法从质量落在 [1500,1750) ，[2000, 2250) 的蜜柚中抽取了 5 个，现从这 5 个蜜柚中随机抽取 2 个．求这 2 个蜜柚质量均小于 ‎2000 克的概率:‎ ‎（Ⅱ）以各组数据的中间值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该贫困村 的蜜柚树上大约还有 5000 个蜜柚等待出售，某电商提出了两种收购方案: 方案一:所有蜜柚均以 30 元/千克收购；‎ 方案二:低于 ‎2250 克的蜜柚以 60 元/个收购，高于或等于 ‎2250 克的以 80 元/个收购. 请你通过计算为该村选择收益最好的方案.‎ ‎1‎ ‎【答案】（Ⅰ）‎ ‎10‎ ‎【详解】‎ ‎；（Ⅱ）选择方案二.‎ ‎（Ⅰ）质量落在[1500,1750) 和[2000, 2250)中的频率分别是 0.1 和 0.15 ,分层抽样的方 法抽取 5 个蜜柚，则[1500,1750) 中抽取 2 个， [2000, 2250)中抽取 3 个， 2 个蜜柚质 量均小于 2000 的概率为 1 ；‎ ‎10‎ ‎（Ⅱ）根据频率得 5000 个蜜柚在各层的频数分别为 500,500，750,2000,1000,250‎ 方案一收益为:‎ ‎30 ´ (1.625´ 500 +1.875´ 500 + 2.125´ 750 + 2.375´ 2000 + 2.625´1000 +‎ ‎2.875´ 250) = 343125 (元)‎ 方案二收益为:‎ ‎(500 + 500 + ‎750) ´ 60 + (2000 +1000 + 250)´80‎ ‎‎ = 365000 (元)‎ Q365000 > 343125 ，选择方案二.‎ ‎【点睛】 本题考查频率分布直方图的应用和古典概型的计算.‎