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- 2021-04-19 发布
永春一中高三年10月份月考数学（文）科试卷（2018.10）
考试时间120分钟，试卷总分150分
第I卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知复数（i为虚数单位），则复数的虚部为（ ）
（A） （B） （C）1 （D）
（2）已知集合，，则（ ）
（A）R （B） （C） （D）
（3）下列命题中，真命题是（ ）
（A），使得 （B）
（C） （D）是的充分不必要条件
（4）已知，，，则的大小关系为( )
（A） （B） （C） （D）
（5）将函数的图象向右平移单位所得图象关于原点轴对称，则的一个可能取值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
（6）函数的图象大致为 ( )
（A） （B） （C） （D）
（7）已知变量x，y成负相关，由样本数据算得平均数，，则由该样本数据算得的线性回归方程可能是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（8）已知正项等比数列的前项和为，若，则的公比等于的（ ）
（A） （B） （C） （D）
（9）已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，其中一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（ ）
（A）2或 （B）2或 （C）2 （D）
（10）已知不等式组表示的区域为Ω，若存在点Ω，使得，则实数的最大值为（ ）
（A） （B）2 （C） （D）1
（11）如图，虚线小方格是边长为的正方形，粗实（虚）线
为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为
（ ）
（A） （B） （C） （D）
（12）等差数列满足，， 若数列的前n项和为，则（ ）
（A） （B）
（C） （D）
第II卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
（13）已知向量，，则向量在向量上的投影为 ．
（14）已知直线，直线，若，
则_____．
（15）若A、B是抛物线上关于直线对称的相异两点，则_____．
（16）若关于的方程在上有两个不同的解（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围是_____．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且.
（I）求角；
（II）若，点在线段上，，,求的面积.
（18）（本小题满分12分）
传统文化就是文明演化而汇集成的一种反映民族特质和风貌的民族文化，是民族历史上各种思想文化、观念形态的总体表征，教育部考试中心确定了新课改普通高考部分学科更注重传统文化考核。某校为了了解高二年级中国数学传统文化选修课的教学效果，进行了一次阶段检测，并从中随机抽取80名同学的成绩，然后就其成绩分为A、B、C、D、E五个等级进行数据统计如下：
成绩
A
B
C
D
E
人数
9
12
31
22
6
（Ⅰ）若该校高二年级共有1000名学生，试估计该校高二年级学生获得成绩为B的人数；
（Ⅱ）若等级A、B、C、D、E分别对应100分、80分、60分、40分、20分，学校要求“平均分达60分以上”为“教学达标”，试由样本估计该校高二年级此阶段教学是否达标？
（Ⅲ）在样本等级为A、B的学生中，按分层抽样抽取7人，再从中任意抽取2名，求恰好抽到1名成绩为A的概率。
（19）（本小题满分12分）
如图，正方体的棱长为，分别是的中点，点在棱上，（）.
（Ⅰ）三棱锥的体积分别为，
当为何值时， 最大？最大值为多少？
（Ⅱ）若平面，证明：平面⊥平面.
（20）（本小题满分12分）
已知长轴长为4的椭圆过点，点是椭圆的右焦点。
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）是否在轴上的存在定点，使得过的直线交椭圆于两点，点为点关于轴的对称点，且三点共线？若存在，求点坐标；若不存在，说明理由。
（21）（本小题满分12分）
已知函数在点处的切线过点．
（Ⅰ）求实数的值，并求出函数单调区间；
（Ⅱ）若整数使得在上恒成立，求的最大值．
请考生在第（22）（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为.
（Ⅰ）求的直角坐标方程，并说明的形状；
（Ⅱ）与相交于不同两点，线段中点为，点，若，求参数方程中的值.
（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（Ⅰ）若，解不等式；
（Ⅱ）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．
永春一中高三年10月份月考数学（文）科参考答案
一、选择题：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
A
D
B
C
B
C
C
A
B
D
A
二、填空题：
（13）；（14）；（15）；（16）
三、解答题：
（17）解：（Ⅰ）由正弦定理及得…2分
即，所以…………………4分
在中，，所以，所以……………………………6分
（Ⅱ）∵，，∴………7分
即，∴………………9分
解得：或（舍去）……………………………………………………10分
所以的面积……………………12分
（18）解：（Ⅰ）估计该校高二年级学生获得成绩为B的人数为…………3分
（Ⅱ）样本平均分为：
所以，由样本估计该校高二年级此阶段教学未达标。………………………………7分
（Ⅲ）按分层抽样抽取7人中，成绩为A的有3人，记为x、y、z，成绩为B的有4人；记为A、B、C、D。从在抽取2人的基本事件有，，，，，，，，，，，，，
，， ，，，，，，共21个…………10分
其中，恰好抽到1名成绩为A的基本事件有12个……………………………11分
所以，恰好抽到1名成绩为A的概率为………………………………12分
（19）解：（Ⅰ）由已知得，……………………………………1分
…………………………………………2分
………………………3分
∴………………………………………5分
∴当时，最大，最大值为…………………………………………6分
（Ⅱ）连结交于点，则为的中点，
∵平面，平面平面
∴，∴为中点………………………7分
连结，，则AC⊥BD，
∵为中点，∴，∴……8分
∵平面，平面，∴，
∵，∴平面，
又平面，∴…………………………………………………10分
同理，因为，所以平面…………………11分
∵平面，所以平面⊥平面……………………………12分
（20）解：（Ⅰ）由已知得，解得
∴椭圆方程为： ………………………………………………………4分
（Ⅱ）存在定点满足条件：设，直线方程为
联立消得………………………6分
设，，则
，………………………………………………8分
由三点共线有：………………………………9分
………………………………………………………10分
，………………………………………11分
存在定点满足条件…………………………………………………………12分
（21）解：（Ⅰ）的定义域为，………………………1分
∴处的切线斜率为……………………………………………2分
∴切线方程为即……………………3分
又∵切线过，∴，………………………………………………4分
因此的单调递减区间为，单调递增区间为…………………………6分
（Ⅱ）∵时，，∴等价于
令，则…………………………7分
令，则，
∴在单调递增…………………………………………………………………8分
∵，
∴存在，使得，即①………………………………9分
且时，，单调递减；时，，单调递增
∴……………………………………………………10分
由①可得……………………11分
故的最大值为7……………………………………………………………………………12分
（22）选修4-4：坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）由得，所以
所以的直角坐标方程为，即
表示以为圆心、为半径的圆……………………………………………………5分
（Ⅱ）将代入得
设对应的参数分别为，则，
因为，所以，所以
联立解得或…………………………………10分
（23）选修4-5：不等式选讲
解：（Ⅰ）当，由得，两边平方得
所以所求不等式的解集为……………………………………5分
（Ⅱ）由，得；即存在，使得成立
因为（当且仅当时，等号成立）
所以…………………………………………………………………………………10分