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- 2021-04-19 发布
课时作业5 函数的单调性与最值
[基础达标]
一、选择题
1．f(x)＝在( )
A．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数
B．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数
C．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数
D．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数
解析：f(x)的定义域为{x|x≠1}．又f(x)＝＝－1，根据函数y＝－的单调性及有关性质，可知f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上为增函数．
答案：C
2．下列函数中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有>0”的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝－3x＋1
C．f(x)＝x2＋4x＋3 D．f(x)＝x＋
解析：对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有>0，
则f(x)在(0，＋∞)上单调增，
A中，f(x)＝在(0，＋∞)上单调减，
B中，f(x)＝－3x＋1在(0，＋∞)上单调减，
C中，f(x)＝x2＋4x＋3在(0，＋∞)上单调增，
D中，f(x)＝x＋在(0，＋∞)上先减后增．
答案：C
3．[2019·河北定州期末]若函数f(x)＝ax2＋x＋a＋1在(－2，＋∞)上是单调递增函数，则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：当a＝0时，f(x)＝x＋1在(－2，＋∞)上是单调递增函数．
5
当a≠0时，解得00且a≠1)，若f(0)<0，则此函数的单调递增区间是( )
A．(－∞，－1] B．[－1，＋∞)
C．[－1,1) D．(－3，－1]
解析：令g(x)＝－x2－2x＋3，由题意知g(x)>0，可得－3f(2t－4)，则t的取值范围是________．
解析：如图，画出函数f(x)＝的大致图象，可知函数f(x)是增函数，若f(t＋1)>f(2t－4)，则只需要t＋1>2t－4，解得t<5.
答案：(－∞，5)
7．已知函数f(x)＝x|2x－a|(a>0)在区间[2,4]上单调递减，则实数a的值是________．
5
解析：f(x)＝x|2x－a|＝(a>0)，作出函数图象(图略)可得该函数的递减区间是，所以解得a＝8.
答案：8
8．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，则函数f(x)＝min{4x＋1，x＋4，－x＋8}的最大值是________．
解析：在同一坐标系中分别作出函数y＝4x＋1，y＝x＋4，y＝－x＋8的图象后，取位于下方的部分得函数f(x)＝min{4x＋1，x＋4，－x＋8}的图象，如图所示，
由图象可知，函数f(x)在x＝2时取得最大值6.
答案：6
三、解答题
9．求证：函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．
证明：对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x10，x1＋x2<0，xx>0.
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)0，x2＋x1>0，xx>0.
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数．
10．已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)．
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
5
(2)若f(x)在上的值域是，求a的值．
解析：(1)证明：任取x1>x2>0，
则f(x1)－f(x2)＝－－＋＝，
∵x1>x2>0.
∴x1－x2>0，x1x2>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(2)由(1)可知，f(x)在上为增函数，
∴
解得a＝.
[能力挑战]
11．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.
(1)求f(1)的值；
(2)证明：f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数；
(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．
解析：(1)令x1＝x2>0，
代入得f(1)＝f(x1)－f(x2)＝0，
故f(1)＝0.
(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，
且x1>x2，则>1.
由于当x>1时，f(x)<0，
所以f()<0，
即f(x1)－f(x2)<0，
因此f(x1)