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- 2021-04-19 发布
莆田第六中2019-2020学年（上）高一期中考试
数学试卷A
（时间120分钟，满分150分）
一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确（每小题5分，共60分）．
1. 下列函数中，与函数为相同函数的是
A. B. C. D.
2.已知集合，集合，则
A. B. C. D.
3.A
已知函数是定义域为的偶函数，则的值
A．0 B． C． 1 D．
4. 三个数之间的大小关系是
A．. B． C． D．
5. 设函数与的图象交点为,则所在的区间是
A． B． C． D．
6. 函数的图像大致是 （ ）
7. 设，且，则
A． B．10 C．20 D．100
8. 已知函数，若在上单调递增，则实数
的取值范围为
A． B． C． D．
9. 设,若,则
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
10. 某商场对顾客实行购物优惠活动规定，一次购物付款总额：
（1）如果标价总额不超过200元，则不给予优惠；
（2）如果标价总额超过200元但不超过500元，则按标价总额给予9折优惠；
（3）如果标价总额超过500元，其500元内的按第（2）条给予优惠，超过500元的部分给予8折优惠.
某人两次去购物，分别付款180元和423元，假设他一次性购买上述两次同样的商品，则应付款
A. 550元 B. 560元 C. 570元 D. 580元
11.设表示三者中较小的一个，若函数，则当时， 的值域是
A. B. C. D.
12.设为大于1的常数，函数若关于的方程
恰有三个不同的实数解，则实数的取值范围是
A．0＜b≤1 B．0＜b＜1 C．0≤b≤1 D．b＞1．
二、填空题(共5小题，每小题5分，共20分)
13．函数 的定义域是 ．
14．已知函数与的图象关于直线对称，则的单调递增区间为 ．
15．当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”．2019年7月6日，第43届世界遗产大会宣布，中国良渚古城遗址成功申遗，获准列入世界遗产名录．目前中国世界遗产总数已达55处，位居世界第一．今年暑期，某中学的“考古学”兴趣小组对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料(草裹泥)上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的54%，利用参考数据：，请你推断上述所提取的草茎遗存物距今大约有 年（精确到1年）．
16．给出下列结论：
①，的值域是；
②幂函数图象一定不过第四象限；
③函数的图象过定点（1,0 )；
④若，则的取值范围是；
⑤若 (,),则.
其中正确的序号是 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
（1）计算：lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2；
（2）已知（且），若，求的值．
18．（本小题满分12分）
已知函数的图象过点．
（1）求实数的值，并求的定义域和值域；
（2）解不等式．
19．（本小题满分12分）
已知函数是偶函数．
(1)求的值；
(2)若方程有解，求的取值范围．
20．（本小题满分12分）
设函数，
(1)用定义证明：函数是R上的增函数；
(2)证明：对任意的实数t，都有；
(3)求值：．
21．（本小题满分12分）
某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时，两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）
（1）分别写出两种产品的收益与投资的函数关系．
（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？
０.125
１
０
０
１
０.５
22．（本小题满分12分）
已知函数 ，是定义在上的奇函数.
（1）求实数的值；
（2）判断函数在上的单调性；
（3）若且，求实数的取值范围。
莆田第六中2019—2020学年（上）高一期中考试
数学试卷(A)参考答案
一．选择题：
1－5DBBDA 6－10DACCC 11－12CA
二、填空题
13．（3,4]，14． ，15． 4966，16． ②④⑤.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
解：（1）lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2
＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52
＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5 ……3分
＝(1＋1)lg 2＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2. ……5分
（2），=2，……6分
又，即，……7分
……9分
则=9．……10分
18．（本小题满分12分）
解：（1）由题意得，所以，……1分
所以，
由得或，
则的定义域为，……4分
因为，所以的值域为．……6分
（2）不等式，
所以即……10分
得
所以不等式的解集为……12分
19．（本小题满分12分）
解:(1)由函数f(x)是偶函数可知，f(－x)＝f(x)，
∴log4(4x＋1)＋2kx＝log4(4－x＋1)－2kx，…1分
即log4＝－4kx，∴log44x＝－4kx，…4分
∴x＝－4kx，即(1＋4k)x＝0，对一切x∈R恒成立，
∴k＝－．……6分
(2)由m＝f(x)＝log4(4x＋1)－x＝log4＝log4(2x＋), …9分
∵2x>0,∴2x＋≥2,∴m≥log42＝．
故要使方程f(x)＝m有解，m的取值范围为[，＋∞)．……12分
20．（本小题满分12分）
解：（1）证明：设任意，
则………4分
∴在R上是增函数 ………………6分
（2）对任意t,
∴对于任意t,f(t)+f(1-t)=1 …………………10分
（3）∵由（2）得f(t)+f(1-t)=1
∴……12分
21．（本小题满分12分）
解：（1）设，……2分
所以，
则，……5分
（2）设投股票类产品万元，则资债券类投资为万元，
依题意得：，
即 ……8分
令，则，
当，则，即时，，
所以投股票类产品4万元，投资资债券类16万元时，
获得最大收益，其最大收益是3万元. ……12分
22．（本小题满分12分）
解：（1）因为是在上的奇函数，所以，即，
所以，
则，
即对定义域中的都成立，所以，
又，所以；……………………4分
（2）所以，
设，……………………5分
设，则………………6分
，
. ………………………………………7分
当时，，即.
当时，在上是减函数. ……………………………………8分
当时，，即.
当时，在上是增函数. ………………………9分
（3）由得，
函数是奇函数，
， ………………………10分
由（2）得在上是增函数
的取值范围是 …………………………12分