- 2.11 MB
- 2021-04-19 发布
道县、东安、江华、蓝山、宁远2020届高三12月联考试题
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先确定集合中的元素，然后求交集．
【详解】由得，解得，即，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握交集概念是解题基础．在解分式不等式时要注意分母不为0．
2.设为第三象限角，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由同角关系求得，再由正弦的二倍角公式变形后求值．
【详解】∵设为第三象限角，，∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查正弦的二倍角公式．在用同角间的三角函数关系求值时一定要确定角的范围，从而确定函数值的正负．
3.某几何体的三视图如图所示，则该三视图的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由三视图还原出原几何体，再由球的体积公式和圆锥体积公式计算．
【详解】
由三视图知，该几何体是半球中间挖去一个圆锥（圆锥底面就是半球的底面）．由三视图知，∴．
故选：B．
【点睛】本题考查三视图，考查由三视图还原几何体．都是球和圆锥的体积公式．解题关键是由三视图还原出几何体．
4. 以下说法错误的是（ ）
A. 命题“若则x=1”的逆否命题为“若1,则”．
B. “”是“”的充分不必要条件．
C. 若为假命题,则均为假命题．
D. 若命题p:R,使得则R,则．
【答案】C
【解析】
若为假命题,则只需至少有一个为假命题即可.
5.若复数（）是纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】
化简复数，由它是纯虚数，求得，从而确定对应的点的坐标．
【详解】是纯虚数，则，，
，对应点为，在第二象限．
故选：B．
【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的概念与几何意义．本题属于基础题．
6.湖面上飘着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下一个半径为，深的空穴，则取出该球前，球面上的点到冰面的最大距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：设球半径为，则,解得：
所以球面上的点到冰面的最大距离为
故选B.
考点：空间几何体的结构特征.
7.设函数，且其图像关于直线对称，则（ ）
A. 的最小正周期为，且在上为增函数
B. 的最小正周期为，且在上为增函数
C. 的最小正周期为，且在上为减函数
D. 的最小正周期为，且在上为减函数
【答案】C
【解析】
试题分析：，∵函数图像关于直线对称，
∴函数为偶函数，∴，∴，∴，
∵，∴，∴函数在上为减函数.
考点：1.三角函数式的化简；2.三角函数的奇偶性；3.三角函数的周期；4.三角函数的单调性.
8.若定义在R上的偶函数满足，且当时，f(x)=x,则函数y=f(x)- 的零点个数是（ ）
A. 6个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
【答案】B
【解析】
因为偶函数满足，所以的周期为2，当时，，所以当时，，函数的零点等价于函数与的交点个数，在同一坐标系中，画出的图象与
的图象，如上图所示，显然的图象与的图象有4个交点．选B.
点睛：本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，是中档题．根据函数零点和方程的关系进行转化是解答本题的关键．
9.设，满足约束条件，则取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
作出可行域，，利用的几何意义求解．
【详解】作出可行域，如图内部（含边界），
，表示与可行域内点连线的斜率，
，，由图中知，∴．
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，考查简单的非线性规划问题，解题关键是作出可行域，正确理解代数式的几何意义．
10.若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分段函数单调递减，要求每一段都递减的，且各段之间的函数值存在大小关系．
详解】由题意，解得．
故选：D．
【点睛】本题考查函数的单调性，分段函数在整个定义域是单调，则每一段上的单调性一致，每段顶点处的函数值也满足一定的大小关系（根据增减而定）．
11.的内角，，的对边分别为，，，且，，为的外心，则（ ）
A. B. C. D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】
取的中点，可得，这样，然后都用表示后运算即可．
【详解】取的中点，连接，∵是外心，∴，，
．
故选：B．
【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是取的中点，把转化为，再选取为基底，用基底进行运算．
12.已知函数，，若存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先构造函数,再将存在性问题转化为对应函数最值问题，通过求最值得实数的取值范围.
【详解】令，则存在，使得,即的最大值，因为在上单调递减，在上单调递增，所以最大值为,因此，选C.
【点睛】利用导数解决数学问题，往往需要需要构造辅助函数.构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知等差数列，的前项和分别为，，若，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用等差数列的性质可把项的比转化为前项和的比．
【详解】∵数列，都是等差数列，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查等差数列的性质：等差数列中，．
由此有．
14. 观察分析下表中数据：
猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是 ．
【答案】F+V﹣E=2
【解析】
试题解析：由表格可知：三棱柱：；五棱锥，，立方体，，
猜想一般凸多面体中，面数、顶点数、棱数：F、V、E所满足的等式是：．
故答案为．
考点： 欧拉定理．
15.已知函数，若使得，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】
满足题意时应有：f（x）在的最小值不小于g（x）在x2∈[2，3]的最小值，
由对勾函数的性质可知函数 在区间上单调递减，
f（x）在 的最小值为f（1）=5，
当x2∈[2，3]时，g（x）=2x+a为增函数，
g（x）在x2∈[2，3]的最小值为g（2）=a+4，
据此可得：5⩾a+4，解得：a⩽1，
实数a的取值范围是（﹣∞，1]，
故结果为：．
点睛：这是典型的双变元问题，首先将问题转化为在所给定义域上f（x）的最小值不小于g（x）的最小值，然后分别利用函数的单调性求得最值，最后求解不等式即可求得最终结果．本题考查了恒成立问题，对勾函数的单调性，指数函数的单调性，转化的思想等，属于常考的典型题目．
16.以双曲线：（，）的右焦点为圆心，为半径的圆与的一条渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率为______.
【答案】
【解析】
【分析】
求出圆心到渐近线的距离，用勾股定理表示出弦长，由弦长为可得的关系，变形后可求得离心率．
【详解】渐近线取即，圆心到它的距离为，
∴，又，∴，．
故答案为：．
【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查渐近线，离心率，考查直线与圆相交弦长问题．解题关键是用表示出弦长．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17.在中，角A，B,C的对边分别是a,b,c,已知
（1）求的周长
（2）求值：的值
【答案】（1）5
（2）
【解析】
【分析】
(1)先根据余弦定理求出c，进而可求出三角形周长．
（2）根据两角差的余弦公式，需要求出角A、C的正余弦．在第（1）问的基础上，可以进一步求出角A的余弦，然后再借助同角的三角函数关系式求出A、C的正弦．问题得
【详解】解：（1） ,
所以周长为5
（2）由题可得，由正弦定理 ,解得
18.已知是由正数组成的数列，其前项和与之间满足：．
（1）求数列的通项；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）; （2） .
【解析】
试题分析：（1）将原式两边平方得到 ，当时，根据 解出首项，再令 ，构造，两式相减，利用公式 ，变形为 ，所以数列是等差数列，求得通项；（2），根据错位相减法求和.
试题解析：（1）
两式相减有,化简有，
（2）
【点睛】一般数列求和的方法为：（1）分组转化法，一般适用于等差数列加等比数列，（2）裂项相消法求和，，,等的形式，（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列乘以等比数列，（4）倒序相加法求和，一般距首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和和倒着写和，两式两式相加除以2得到数列求和,(5)或是具有某些规律求和.
19.如图，在梯形中，，四边形为矩形，平面平面，.
（1）求证：平面；
（2）点在线段上运动，设平面与平面所成二面角为，试求的取值范围.
【答案】(1)详见解析；(2).
【解析】
【分析】
(1)由题意结合勾股定理和余弦定理可证得BC⊥AC，结合面面垂直的性质定理可得BC⊥平面ACFE.
(2)以CA,CB,CF所在的直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,由题意可得平面MAB的一个法向量n1=(1,,-λ)，平面FCB的一个法向量n2=(1,0,0)，则 cosθ=，结合三角函数的性质可得cosθ∈[,].
【详解】(1)在梯形ABCD中,∵AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,
∴AB=2,∴AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos 60°=3,
∴AB2=AC2+BC2,∴BC⊥AC.
又平面ACFE⊥平面ABCD,平面ACFE∩平面ABCD=AC,BC⊂平面ABCD,
∴BC⊥平面ACFE.
(2)由(1)知,可分别以CA,CB,CF所在的直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
令FM=λ(0≤λ≤),则C(0,0,0),A(,0,0),B(0,1,0),M(λ,0,1),
∴=(-,1,0),=(λ,-1,1).
设n1=(x,y,z)为平面MAB的法向量,
由,得,
取x=1,则n1=(1,,-λ)为平面MAB的一个法向量,
易知n2=(1,0,0)是平面FCB的一个法向量,
∴ cosθ= .
∵0≤λ≤, ∴当λ=0时,cosθ有最小值, 当λ=时,cosθ有最大值,∴cosθ∈[,].
【点睛】本题主要考查面面垂直的性质定理及其应用，空间直角坐标系的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
20.如图，分别过椭圆左、右焦点的动直线相交于点，与椭圆分别交于与不同四点，直线的斜率满足．已知当与轴重合时，，.
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点坐标并求出此定值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2），和.
【解析】
试题分析：（1）当与轴重合时，垂直于轴，得,得,从而得椭圆的方程；（2）由题目分析如果存两定点，则点的轨迹是椭圆或者双曲线 ，所以把坐标化，可得点的轨迹是椭圆，从而求得定点和点.
试题解析：当与轴重合时，, 即,所以垂直于轴，得，，, 得,椭圆的方程为.
焦点坐标分别为, 当直线或斜率不存在时，点坐标为或;
当直线斜率存在时，设斜率分别为, 设由, 得：
, 所以:，, 则：
. 同理：, 因为
, 所以, 即, 由题意知, 所以
， 设，则，即，由当直线或斜率不存在时，点坐标为或也满足此方程，所以点在椭圆上.存在点和点，使得为定值，定值为.
考点：圆锥曲线的定义，性质，方程.
【方法点晴】本题是对圆锥曲线的综合应用进行考查，第一问通过两个特殊位置，得到基本量，，得,,从而得椭圆的方程，第二问由题目分析如果存两定点，则点的轨迹是椭圆或者双曲线 ，本题的关键是从这个角度出发，把坐标化，求得点的轨迹方程是椭圆，从而求得存在两定点和点.
21.已知函数：
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若对于任意的，，若函数在区间上有最值，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）对求导，，分，两种情况写出函数的单调区间；
（Ⅱ）对函数求导得，根据在区间上有最值，得到在区间上总不是单调函数，从而得到，另由对任意，，（a）恒成立，分离参数即可求得实数的取值范围．
【详解】解：（Ⅰ）由已知得的定义域为，且，
当时，的单调增区间为，减区间为；
当时，的单调增区间为，无减区间；
（Ⅱ），，
在区间上有最值，
在区间上总不是单调函数，
又
由题意知：对任意，，（a）恒成立，，因为，，所以，
对任意，，（3）恒成立，
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值问题，体现了对分类讨论和化归转化数学思想的考查，特别是问题的设置很好的考查学生对题意的理解与转化，创造性的分析问题、解决问题的能力和计算能力．
22.在平面直角坐标系中，已知曲线：（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线：.
（1）写出直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；
（2）在曲线上取一点，使点到直线的距离最大，求最大距离及此时点的坐标.
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】
（1）由消参后可得曲线的普通方程，由可把极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）点坐标为表示为，求出到直线距离，然后再用三角函数知识求最大值．
【详解】（1）由得曲线的普通方程为，
由得的直角坐标方程为，
（2）设，，则
当时，最大，时，，，
∴，．
【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查点到直线的距离公式和两角差的正弦公式及正弦函数的取值．考查的知识点较多，但都是最基础的知识，本题属于中档题．
23.已知函数，.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）按绝对值定义去绝对值符号后再解不等式；
（2）按绝对值定义去绝对值符号后得分段函数，求得其最小值，由最小值可解得范围.
【详解】（1）①当时，解得
②当时，解得
③当时，解得
∴不等式的解集为
（2）①当时，；
②当时，；
③当时，；
所以的最小值为，∴.
【点睛】本题考查含绝对值不等式的问题，含绝对值不等式可按绝对值定义去掉绝对值符号，化为分段函数，再分类求解．不等式恒成立问题可转化为求函数的最值．