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- 2021-04-19 发布
2018年全国高考3+3分科综合卷（五）
数学（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3.已知命题：“，有成立”，则命题为（ ）
A．，有成立 B．，有成立
C．，有成立 D．，有成立
4.某研究机构在对具有线性相关的两个变量和进行统计分析时，得到如表数据．由表中数据求得关于的回归方程为，则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为（ ）
4
6
8
10
12
1
2
3
5
6
A． B． C． D．
5.设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6.执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的属于（ ）
A． B． C． D．
7.设，若，则（ ）
A． B． C． D．
8.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
9.在直四棱柱中，底面是边长为1的正方形，，、分别是、中点，则与所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
10.已知角始边与轴的非负半轴重合，与圆相交于点，终边与圆相交于点，点在轴上的射影为，的面积为，函数的图象大致是（ ）
11.正整数数列满足，已知，的前7项和的最大值为，把的所有可能取值按从小到大排成一个新数列，所有项和为，则（ ）
A．32 B．48 C．64 D．80
12.已知直线是曲线的一条切线，若函数，满足对任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.的展开式中的常数项是 ．
14.实数、满足条件则的最小值为 ．
15.在数列、中，是与的等差中项，，且对任意的都有，则的通项公式为 ．
16.若为双曲线：（，）右支上一点，，分别为双曲线
的左顶点和右焦点，且为等边三角形，双曲线与双曲线：（）的渐近线相同，则双曲线的虚轴长是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.如图，在平面四边形中，为上一点，，，，，，．
（1）求的值及的长；
（2）求四边形的面积．
18.如图所示，在直角梯形中，，，，，，底面，是的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）若，，求平面与平面所成角的正弦值．
19.某学校400名学生在一次百米赛跑测试中，成绩全部都在12秒到17秒之间，现抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，…，第五组，如图所示的是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（1）请估计该校400名学生中，成绩属于第三组的人数；
（2）请估计样本数据的中位数（精确到0.01）；
（3）若样本第一组中只有一名女生，其他都是男生，第五组则只有一名男生，其他都是女生，现从第一、第五组中各抽取2名同学组成一个特色组，设其中男同学的人数为，求的分布列和期望．
20.已知椭圆：过点，左、右焦点分别为，，且线段与轴的交点恰为线段的中点，为坐标原点．
（1）求椭圆的离心率；
（2）与直线斜率相同的直线与椭圆相交于、两点，求当的面积最大时直线的方程．
21.已知函数．
（1）试讨论有两个极值点，，且，求证：．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程是，将向上平移2个单位得到曲线．
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）直线的参数方程为（为参数），判断直线与曲线的位置关系．
23.选修4-5：不等式选讲
设函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围．
2018年全国高考3+3分科综合卷（五）数学（理科）答案
一、选择题
1-5: 6-10: 11、12：
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（1）在中，由余弦定理，得，
又已知，，，则，解得．
再由余弦定理，得．
所以．
因为，所以，
所以由诱导公式得．
所以在中，由，得，解得，
所以在中，由勾股定理，得．
（2）在中，由余弦定理，得，
的面积为；
的面积为；
的面积为；
所以四边形的面积为.
18.证明：（1）∵底面，∴，．
∵，∴，∴，连接，则．
∵，，∴四边形是正方形，
∴，
∵，，∴平面，
∵平面.
∴平面平面.
解：（2）建立以为坐标原点，，，分别为，，轴的空间直角坐标系，如图．
∵，，，
∴，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则可得令，则，，则，
由（1）知，，则，即，
∵，∴平面，
则是平面的一个法向量，
则，则，
即平面与平面所成角的正弦值是．
19.解：（1）由频率分布直方图可知，成绩属于第三组的概率为0.38，故可估计该校400名学生成绩属于第三组的共有（人）．
（2）由频率分布直方图易判断，样本数据的中位数落在第三组；设样本中位数为，根据中位数左右两边的小矩形面积之和相等可得，解得（秒）．
（3）第一组的人数为，其中男生2人，女生1人，第五组的人数为，其中1名男生，3名女生，故的可能取值为1,2,3，
，，
，
的分布列为
1
2
3
所以．
20.解：（1）∵椭圆过点，∴，①
连接，∵为线段的中点，为线段的中点，
∴，则，
∴，②
由①②得，，
∴椭圆的离心率为．
（2）由（1）知椭圆的方程为，直线的斜率．
不妨设直线的方程为，
联立椭圆与直线的方程得，
，解得．
设，，则，，
∴，点到的距离，
，
当且仅当时取等号，即，
∴直线的方程为．
21.解：（1）函数的定义域为，，
令，，
当时，解得，此时在上恒成立，
故可得在上恒成立，即当时，在上单调递增．
当时，解得或，
方程的两根为和，
当时，可知，，此时在上，在上单调递增；
当时，易知，，此时可得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
综上可知，当时，在上单调递增；
当时，在区间和区间上单调递增，在区间上单调递减．
（2），
，由题意，是方程的两个根，所以，①
，②
①②两式相加可得，③
①②两式相减可得，④
由③④两式消去可得，
所以，
设，因为，所以，所以，，
因此只需证明当时，不等式成立即可，即不等式成立．
设函数，由（1）可知，在上单调递增，故，即证得当时，，亦即证得，
所以，即证得．
22.解：（1）曲线的方程是，即，
将代入得，即．
的方程化为标准方程是，
将向上平移2个单位得到曲线：，展开为，
则曲线的极坐标方程为．
（2）由得，得，
故直线的普通方程是，
因为圆：的半径为，
圆心到直线，
所以直线与曲线相交．
23.解：（1），即，
即①或②或③
解①可得；解②可得；解③可得．
综上，不等式的解集为．
（2）等价于恒成立，
等价于恒成立，
而，
所以，得或，
解得或，
即实数的取值范围是．