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- 2021-04-19 发布
江苏省海安高级中学2018-2019学年高二6月月考数学试卷
一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x＋y的值为 ▲ ．
2．已知等差数列{an}是递增数列，且公差为d，若a1，a2，a3，a4，a5的方差为8，则d＝ ▲ ．
3．从－＝1(其中m，n∈{－1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为 ▲ ．
4．给出一个算法的流程图，若a＝sin θ，b＝cos θ，c＝tan θ，其中θ∈，则输出结果是 ▲ ．
S←1
I←3
While S≤200
S←S×I
I←I＋2
End While
Print I
（第4题图） （第5题图）
5．执行如上图所示的伪代码，输出的结果是 ▲ ．
6．已知i是虚数单位，复数的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为 ▲ ．
7．复数z满足(1＋i)z＝|2i|(i为虚数单位)，则z＝ ▲ ．
8．口袋内装有一些大小相同的红球、黄球和蓝球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出黄球的概率是0.28.若红球有21个，则蓝球有 ▲ 个．
9．若tan α＋＝，α∈，则sin＝ ▲ ．
10．若实数成等差数列，点P(－1，0)在动直线ax＋by＋c＝0上的射影为点M，点N(3，3)，则线段MN长度的最大值为 ▲ ．
11．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋与直线y＝x相切于点A(1,1)，若对任意x∈[1,9]，不等式f(x－t)≤x恒成立，则所有满足条件的实数t组成的集合为 ▲ ．
12．已知是公差不为0的等差数列，是等比数列，且，，，，若存在常数对任意正整数都有，则 ▲ ．
13．设实数，若仅有一个常数使得对于任意的，都有满足方程，则实数的值为 ▲ ．
14．在中，，角的平分线与边上的中线交于点，，则的值= ▲ ．
二．解答题：本大题共6小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分14分）
已知函数
（1）求函数的单调递增区间；
（2）内角的对边分别为，若，，，且，试求角和角.
16．（本题满分14分）
如图，已知四棱柱P—ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，M是AD的中点，N是PC的中点．
（1）求证：MN∥平面PAB；
（2） 若平面PMC⊥平面PAD，求证：CM⊥AD.
(第16题图)
17．（本题满分14分）
（文科选做）如图，在平面直角坐标系中，过椭圆：的左顶点作直线
，与椭圆和轴正半轴分别交于点，．
（1）若，求直线的斜率；
（2）过原点作直线的平行线，与椭圆交于点，求证：为定值．
第17题 文科选做图）
（理科选做）已知正六棱锥的底面边长为，高为．现从该棱锥的个顶点中随机选取个点构成三角形，设随机变量表示所得三角形的面积.
（1）求概率的值；
（2）求的分布列，并求其数学期望．
（第17题 理科选做图）
18．（本题满分16分）
某工厂拟制造一个如图所示的容积为36π m3的有盖圆锥形容器．
(1)若该容器的底面半径为6 m，求该容器的表面积；
(2)当容器的高为多少米时，制造该容器的侧面用料最省？
（第18题图）
19．（本题满分16分）
已知数列{an}的首项a1＝a，Sn是数列{an}的前n项和，且满足：S＝3n2an＋S，an≠0，n≥2，n∈N*．
（1）若数列{an}是等差数列，求a的值；
（2）确定a的取值集合M，使aM时，数列{an}是递增数列．
20．（本题满分16分）
（文科选做）已知函数．
（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；
（2）当时，求证：；
（3）设函数，其中为实常数，试讨论函数的零点个数，并证明你的结论．
（理科选做）请先阅读：在cos2x＝2cos2x－1（xÎR）的两边求导，得：（cos2x）¢＝（2cos2x
－1）¢，由求导法则，得（－sin2x）·2＝4cosx·（－sinx），化简得等式：sin2x＝
2cosx·sinx．
（1）利用上题的想法（或其他方法），
结合等式（1＋x）n＝（xÎR，整数n≥2），
证明：n[（1＋x）n-1－1]＝．
（2）对于正整数n≥3，求证：
（i）＝0；
（ii）＝0；
（iii）．
数学附加题
21.【选做题】本题包括A、B、两小题，每小题10分，共20
分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
A. 选修4-2 矩阵与变换
在直角坐标平面内，每个点绕原点按逆时针方向旋转45°的变换R所对应的矩阵为M，每个点横、纵坐标分别变为原来的倍的变换T所对应的矩阵为N.
(1) 求矩阵M的逆矩阵M－1；
(2) 求曲线xy＝1先在变换R作用下，然后在变换T作用下得到的曲线方程．
B. 选修4-4 坐标系与参数方程
在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，直线l的参数方程为(t为参数)．
(1) 求曲线C的直角坐标方程；
(2) 若点P在曲线C上，且P到直线l的距离为1，求满足这样条件的点P的个数．
【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
22. 从函数角度看，可以看成是以为自变量的函数，其定义域是
（1）证明：
（2）试利用（1）的结论来证明：当为偶数时，
的展开式最中间一项的二项式系数最大；当为奇数时，的展开式最中间两项的二项式系数相等且最大
23．在集合中，任取个元素构成集合. 若的所有元素之和为偶数，则称为的偶子集，其个数记为；若的所有元素之和为奇数，则称为的奇子集，其个数记为. 令
（1）当时，求的值；
（2）求.
一．填空题
1．【答案】8
2．【答案】2
3．【答案】
4．【答案】cos θ
5．【答案】11
6．【答案】－3
7．【答案】1－i
8．【答案】15
9．【答案】－
10．【答案】
11．【答案】3
12．【答案】6
13．【答案】{4}
14．【答案】
二．解答题
15.
16. 证明：(1) 取PB中点E，连EA，EN，△PBC中，EN∥BC且EN＝BC，又AM＝AD
，AD∥BC，AD＝BC，(3分)
得EN∥AM，EN＝AM，四边形ENMA是平行四边形，(5分)
得MN∥AE，MN⊄平面PAB，AE⊂平面PAB，
∴ MN∥平面PAB(7分)
(2) 过点A作PM的垂线，垂足为H，
∵ 平面PMC⊥平面PAD，平面PMC∩平面PAD＝PM，AH⊥PM，AH⊂平面PAD，
∴ AH⊥平面PMC，
∴ AH⊥CM.(10分)
∵ PA⊥平面ABCD，CM⊂平面ABCD，∴ PA⊥CM.(12分)
∵ PA∩AH＝A，PA，AH⊂平面PAD，CM⊥平面PAD，
∵ AD⊂平面PAD，∴ CM⊥AD.(14分)
17.
解：（1）依题意，椭圆的左顶点，
设直线的斜率为，点的横坐标为，
则直线的方程为．① …… 2分
又椭圆：， ②
由①②得，，
则，从而． …… 5分
因为，所以．
所以，解得（负值已舍）． …… 8分
（2）设点的横坐标为．结合（1）知，直线的方程为．③
由②③得，． …… 10分
从而 …… 12分
，即证． …… 14分
18.【答案】(1) .
(2)分布列见解析，.
【解析】分析：（1）从个顶点中随机选取个点构成三角形，共有种取法，其中面积的三角形有个，由古典概型概率公式可得结果；(2)的可能取值，根据古典概型概率公式可求得随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得其数学期望．
详解：（1）从个顶点中随机选取个点构成三角形，
共有种取法，其中的三角形如，
这类三角形共有个
因此.
（2）由题意，的可能取值为
其中的三角形如，这类三角形共有个；
其中的三角形有两类，，如（个），（个），共有个；
其中的三角形如，这类三角形共有个；
其中的三角形如，这类三角形共有个；
其中的三角形如，这类三角形共有个；
因此
所以随机变量的概率分布列为：
[来源:Z_xx_k.Com]
所求数学期望
.
19.设圆锥形容器的底面半径为r m，高为h m，母线为l m，侧面积为S m2，容积为V m3，则V＝36π.
(1) 由r＝6，V＝πr2h＝36π，得h＝3，(1分)
所以S＝πrl＝πr＝6π＝18π，(2分)
又底面积为πr2＝36π(m2)，(3分)
故该容器的表面积为(18π＋36π)＝18(2＋)π m2.(4分)
答：该容器的表面积为18(2＋)π m2.(5分)
(2) 因为V＝πr2h＝36π，得r2＝＝，其中h>0.
所以S＝πrl＝πr＝π＝π·＝π＝π.(8分)
记f(h)＝＋h，令f′(h)＝－＋1＝＝0，得h＝6.(10分)
当h∈(0，6)时，f′(h)<0，f(h)在(0，6)上单调递减；
当h∈(6，＋∞)时，f′(h)>0，f(h)在(6，＋∞)上单调递增．(12分)
所以当h＝6时，f(h)最小，此时S最小．(13分)
答：当容器的高为6 m时，制造容器的侧面用料最省．(14分)
20.
解：（1）在S＝3n2an＋S中分别令n＝2，n＝3，及a1＝a得
(a＋a2)2＝12a2＋a2，(a＋a2＋a3)2＝27a3＋(a＋a2)2，
因为an≠0，所以a2＝12－2a，a3＝3＋2a． …………………2分
因为数列{an}是等差数列，所以a1＋a3＝2a2，即2(12－2a)＝a＋3＋2a，解得a＝3．……4分
经检验a＝3时，an＝3n，Sn＝，Sn－1＝满足S＝3n2an＋S．
（2）由S＝3n2an＋S，得S－S＝3n2an，即(Sn＋Sn－1)(Sn－Sn－1)＝3n2an，
即(Sn＋Sn－1)an＝3n2an，因为an≠0，所以Sn＋Sn－1＝3n2，(n≥2)，① ……………6分
所以Sn＋1＋Sn＝3(n＋1)2，②
②－①，得an＋1＋an＝6n＋3，(n≥2)．③ ………………8分
所以an＋2＋an＋1＝6n＋9，④
④－③，得an＋2－an＝6，(n≥2)
即数列a2，a4，a6，…，及数列a3，a5，a7，…都是公差为6的等差数列， ………10分
因为a2＝12－2a，a3＝3＋2a．
所以an＝ …………………12分
要使数列{an}是递增数列，须有
a1＜a2，且当n为大于或等于3的奇数时，an＜an＋1，且当n为偶数时，an＜an＋1，
即a＜12－2a，
3n＋2a－6＜3(n＋1)－2a＋6(n为大于或等于3的奇数)，
3n－2a＋6＜3(n＋1)＋2a－6(n为偶数)，
解得＜a＜．
所以M＝(，)，当aM时，数列{an}是递增数列． ………………16分
21
（1）解：． 因为切线过原点，
所以 ，解得：．
（2）证明：设，则．
令，解得．
在上变化时，的变化情况如下表
所以 当时，取得最小值．
所以 当时，，即．
（3）解：等价于，等价于．注意．
令，所以．
（I）当时， ，所以无零点，即F(x)定义域内无零点．
（II）当时，（i）当时，，单调递增；
因为在上单调递增，而，
又，所以．
又因为，其中，取，表示的整数部分．所以，，由此．
由零点存在定理知，在上存在唯一零点．
（ii）当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以当时，有极小值也是最小值，．
①当，即时，在上不存在零点；
②当，即时，在上存在惟一零点2；………12分
③当，即时，由有，
而，所以在上存在惟一零点；
又因为，．
令，其中，，，，
所以，因此在上单调递增，从而，
所以在上单调递增，因此，
故在上单调递增，所以．
由上得，由零点存在定理知，在上存在惟一零点，即在上存在唯一零点．
综上所述：当时，函数F(x)的零点个数为0；
当时，函数F(x)的零点个数为1；
当时，函数F(x)的零点个数为2；
当时，函数F(x)的零点个数为3．
23．【答案】（1），，，（2）
【解析】
试题分析：（1）第一小问是具体理解及时定义：当时，集合为，当时，偶子集有，奇子集有，，；同理可得，，（2）从具体到一般，是归纳：当为奇数时，偶子集的个数等于奇子集的个数，；当为偶数时，偶子集的个数，奇子集的个数，
涉及两个组合数相乘：构造二项展开式，比较对应项的系数
试题解析：解（1）当时，集合为，
当时，偶子集有，奇子集有，，；
当时，偶子集有，奇子集有，
，；
当时，偶子集有，奇子集有，
，；
（2）当为奇数时，偶子集的个数，
奇子集的个数，
所以．
当为偶数时，偶子集的个数，
奇子集的个数，
所以
．
一方面，
所以中的系数为
；
另一方面，，中的系数为，
故 ．
综上，
考点：二项展开式的应用