【数学】2020届一轮复习人教B版（文）选修4-4第1讲坐标系作业 6页

‎[学生用书P347(单独成册)]‎ ‎1．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点．‎ ‎(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求点M，N的极坐标；‎ ‎(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．‎ 解：(1)由ρcos＝1，得ρ＝1，‎ 从而曲线C的直角坐标方程为x＋y＝1，‎ 即x＋y＝2.‎ θ＝0时，ρ＝2，所以M(2，0)．‎ θ＝时，ρ＝，所以N.‎ ‎(2)由(1)得点M的直角坐标为(2，0)，点N的直角坐标为.‎ 所以点P的直角坐标为，‎ 则点P的极坐标为，‎ 所以直线OP的极坐标方程为θ＝，ρ∈(－∞，＋∞)．‎ ‎2．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设⊙C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，点P为⊙C上一动点，点M的极坐标为，点Q为线段PM的中点．‎ ‎(1)求点Q的轨迹C1的方程；‎ ‎(2)试判定轨迹C1和⊙C的位置关系，并说明理由．‎ 解：(1)由⊙C的极坐标方程为ρ＝2sin θ得ρ2＝2ρsin θ，‎ 所以⊙C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，‎ 又点M的极坐标为，‎ 所以点M的直角坐标为(0，4)．‎ 设点P(x0，y0)，点Q(x，y)，‎ 则有x＋(y0－1)2＝1.(*)‎ 因为点Q为线段PM的中点，‎ 所以 代入(*)得轨迹C1的方程为 x2＋＝.‎ ‎(2)因为⊙C的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1，圆心为(0，1)，半径为1，‎ 而轨迹C1是圆心为，半径为的圆，‎ 所以两圆的圆心距为，等于两圆半径和，所以两圆外切．‎ ‎3．在极坐标系中，圆C是以点C为圆心，2为半径的圆．‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程；‎ ‎(2)求圆C被直线l：θ＝－(ρ∈R)所截得的弦长．‎ 解：法一：(1)设所求圆上任意一点M(ρ，θ)，如图，‎ 在Rt△OAM中，∠OMA＝90°，‎ ‎∠AOM＝2π－θ－，|OA|＝4.‎ 因为cos∠AOM＝，‎ 所以|OM|＝|OA|·cos∠AOM，‎ 即ρ＝4cos＝4cos，‎ 验证可知，极点O与A的极坐标也满足方程，‎ 故ρ＝4cos 为所求．‎ ‎(2)设l：θ＝－(ρ∈R)交圆C于点P，‎ 在Rt△OAP中，∠OPA＝90°，‎ 易得∠AOP＝，‎ 所以|OP|＝|OA|cos∠AOP＝2.‎ 法二：(1)圆C是将圆ρ＝4cos θ绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆，‎ 所以圆C的极坐标方程是ρ＝4cos.‎ ‎(2)将θ＝－代入圆C的极坐标方程ρ＝4cos，得ρ＝2，‎ 所以圆C被直线l：θ＝－(ρ∈R)所截得的弦长为2.‎ ‎4．在极坐标系中，曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ＝－2cos θ，ρcos＝1.‎ ‎(1)求曲线C1和C2的公共点的个数；‎ ‎(2)过极点作动直线与曲线C2相交于点Q，在OQ上取一点P，使|OP|·|OQ|＝2，求点P的轨迹，并指出轨迹是什么图形．‎ 解：(1)C1的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝1，它表示圆心为(－1，0)，半径为1的圆．C2的直角坐标方程为x－y－2＝0，所以曲线C2为直线，‎ 由于圆心到直线的距离为d＝＝>1，‎ 所以直线与圆相离，‎ 即曲线C1和C2没有公共点．‎ ‎(2)设Q(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，则，‎ 即①‎ 因为点Q(ρ0，θ0)在曲线C2上，‎ 所以ρ0cos＝1.②‎ 将①代入②，得cos＝1，‎ 即ρ＝2cos为点P的轨迹方程，化为直角坐标方程为＋＝1，因此点P的轨迹是以为圆心，1为半径的圆．‎ ‎1．已知曲线C1的极坐标方程为ρcos＝－1，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cos.以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．‎ ‎(1)求曲线C2的直角坐标方程； ‎ ‎(2)求曲线C2上的动点M到曲线C1的距离的最大值．‎ 解：(1)依题意得ρ＝2cos＝2，‎ 即ρ2＝2，‎ 可得x2＋y2－2x－2y＝0，‎ 故C2的直角坐标方程为＋(y－1)2＝2.‎ ‎(2)曲线C1的极坐标方程为 ρcos＝－1，‎ 即ρ＝－1，‎ 化为直角坐标方程为x＋y＋2＝0，‎ 由(1)知曲线C2是以(1，1)为圆心，为半径的圆，且圆心到直线C1的距离d＝＝>r＝，‎ 于是直线与圆相离，所以动点M到曲线C1的距离的最大值为.‎ ‎2．在直角坐标系xOy中，半圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求C的极坐标方程；‎ ‎(2)直线l的极坐标方程是ρ(sin θ＋cos θ)＝5，射线OM：θ＝与半圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．‎ 解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以半圆C的极坐标方程是ρ＝2cos θ，θ∈.‎ ‎(2)设(ρ1，θ1)为点P的极坐标，‎ 则有 解得 设(ρ2，θ2)为点Q的极坐标，‎ 则有 解得 由于θ1＝θ2，所以|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝4，‎ 所以线段PQ的长为4.‎ ‎3．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.‎ ‎(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；‎ ‎(2)直线l的方程为y＝(tan α)x，其中α为直线l的倾斜角，l与C交于A，B两点，|AB|＝，求tan α的值．‎ 解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.‎ ‎(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．‎ 设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得 ρ2＋12ρcos α＋11＝0.‎ 于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.‎ ‎|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝.‎ 由|AB|＝得cos2α＝，tan α＝±.‎ ‎4．在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝与曲线C2交于点D.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)已知极坐标系中两点A(ρ1，θ0)，B，若A、B都在曲线C1上，求＋的值．‎ 解：(1)因为C1的参数方程为 所以C1的普通方程为＋y2＝1.‎ 由题意知曲线C2的极坐标方程为ρ＝2a·cos θ(a为半径)，将D代入，‎ 得2＝2a×，‎ 所以a＝2，‎ 所以圆C2的圆心的直角坐标为(2，0)，半径为2，‎ 所以C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.‎ ‎(2)曲线C1的极坐标方程为＋ρ2sin2θ＝1，‎ 即ρ2＝.‎ 所以ρ＝，‎ ρ＝ ‎＝.‎ 所以＋＝＋＝.‎