2019-2020学年山东省青岛市西海岸新区、黄岛区七年级下学期期中数学试卷 （解析版） 18页

2019-2020 学年山东省青岛市黄岛区、西海岸新区七年级第二学期期中数学试卷 一、选择题（共 8 小题）. 1．计算（﹣a3）2 的结果是（ ） A．a5 B．﹣a5 C．a6 D．﹣a6 2．芯片是手机、电脑等高科技产品最核心的部件，更小的芯片意味着更高的性能．目前我国芯片的量 产工艺已达到 14 纳米，已知 14 纳米为 0.000000014 米，则 0.000000014 科学记数法表示为（ ） A．1.4×10﹣8 B．1.4×10﹣9 C．1.4×10﹣10 D．14×10﹣9 3．在实验课上，小亮利用同一块木板测得小车从不同高度（h）与下滑的时间（t）的关系如下表： 支撑物高 h（cm） 10 20 30 40 50 … 下滑时间 t（s） 3.25 3.01 2.81 2.66 2.56 … 以下结论错误的是（ ） A．当 h＝40 时，t 约 2.66 秒 B．随高度增加，下滑时间越来越短 C．估计当 h＝80cm 时，t 一定小于 2.56 秒 D．高度每增加了 10cm，时间就会减少 0.24 秒 4．下列各式中计算正确的是（ ） A．（a+b）（b﹣a）＝a2﹣b2 B．（﹣m﹣n）2＝m2+2mn+n2 C．2m3÷m3＝2m D．（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝﹣b2c2 5．如图，直线 AB∥CD，且 AC⊥AD，∠ACD＝58°，则∠BAD 的度数为（ ） A．29° B．30° C．32° D．58° 6．如图，下列不能判定 DF∥AC 的条件是（ ） A．∠A＝∠BDF B．∠2＝∠4 C．∠1＝∠3 D．∠A+∠ADF＝180° 7．把一张有一组对边平行的纸条，按如图所示的方式析叠，若∠EFB＝35°，则下列结论错误的是 （ ） A．∠C'EF＝35° B．∠AEC＝120° C．∠BGE＝70° D．∠BFD＝110° 8．如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时 间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度 h 与注水时间 t 之间的函数关系图象 可能是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（共 8 小题）. 9．计算：（π﹣3）0﹣（﹣ ）﹣2+（﹣1）2020＝ ． 10．有一个角的补角为 125°，则这个角的余角是 °． 11．am＝6，an＝3，则 am﹣2n＝ ． 12．已知实数 a，b 满足 a+b＝5，ab＝﹣3，则 a2+b2 的值为 ． 13．将一个等腰直角三角形的直角顶点和一个锐角顶点按如图方式分别放在直线 a，b 上，若 a∥b， ∠1＝24°，则∠2 的度数为 °． 14．如图，现有 A，C 两类正方形卡片和 B 类长方形卡片各若干张，用它们可以拼成一些新的长方形．如 果要拼成一个长为（3a+b），宽为（a+2b）的长方形，那么需要 B 类长方形卡片 张． 15．如图，已知 AB∥DE，∠ABC＝76°，∠CDE＝150°，则∠BCD 的度数为 °． 16．如图所示的图形都由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，若按此规律排列下去，则第 n 个图 形中有 个小圆圈． 三、作图题（本题满分 4 分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论. 17．如图，AB 是某条河上的一座桥，现要在河的下游点 C 处再建一座与 AB 平行的桥 CD，请用直尺 和圆规画出 CD 的方向． 四、解答题（本题满分 68 分） 18．（16 分）计算：（1）（﹣2a2b）2•ab2÷（﹣a3b）；（2）（x﹣1）（x+1）（x2+1）； （3）20202﹣2022×2018（用乘法公式计算）；（4）（a﹣b﹣3）（a﹣b+3）． 19．先化简，再求值[（x﹣2y）2﹣（x+y）（x﹣3y）]÷（﹣y），其中 x＝﹣1，y＝ ． 20．完成下面的证明． 已知：如图，∠BAC 与∠GCA 互补，∠1＝∠2， 求证：∠E＝∠F 证明：∵∠BAC 与∠GCA 互补 即∠BAC+∠GCA＝180°，（已知） ∴ ∥ （ ） ∴∠BAC＝∠ACD．（ ） 又∵∠1＝∠2，（已知） ∴∠BAC﹣∠1＝∠ACD﹣∠2，即∠EAC＝∠FCA．（等式的性质） ∴ ∥ （内错角相等，两直线平行） ∴∠E＝∠F．（ ） 21．（10 分）如图所示，在一个边长为 10cm 的正方形的四个角都剪去一个大小相等的小正方形，当 小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化． （1）在这个变化过程中，自变量．因变量各是什么？ （2）如果小正方形的边长为 xcm，图中阴影部分的面积 ycm2，请写出 y 与 x 的关系式； （3）当小正方形的边长由 1cm 变化到 3cm 时，阴影部分的面积发生了怎样的变化？ 22．（8 分）如图，∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°． （1）试判断 BF 与 DE 的位置关系，并说明理由； （2）若 BF⊥AC，∠2＝145°，求∠AFG 的度数． 23．（10 分）阅读理解： 下面的图象表示 2m 的个位数字随 m（m 为正整数）变化的规律．请解答下列问题： （1）根据图象回答下列问题： 当 m＝4n（n 为正整数）时，2m 的个位数字是 ； 当 m＝4n+1（n 为正整数）时，2m 的个位数字是 ； 当 m＝4n+2（n 为正整数）时，2m 的个位数字是 ； 当 m＝4n+3（n 为正整数）时，2m 的个位数字是 ； （2）求：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1 的个位数字． 解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1 ＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1 ＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1 ＝（24﹣1）（24+1）（28+1）+1 ＝（216﹣1）+1 ＝216． 因为 16＝4×4，所以由（1）得，216 的个位数字是 6，即（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1 的个 位数字是 6． 类比应用：（3）求：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）的个位数字． 24．（12 分）如图①，在长方形 ABCD 中，AB＝10cm，BC＝8cm，点 P 从 A 出发，沿 A→B→C→D 路线运动，到 D 停止；点 P 出发时的速度为每秒 1cm，a 秒时点 P 的速度变为每秒 bcm，图②是点 P 出发 x 秒后，△APD 的面积 S（cm2）与 x（s）的函数关系图象． （1）根据题目中提供的信息，求出图②中 a，b，c 的值； （2）设点 P 运动的路程为 y（cm）． ①7s 时，y 的值为 cm； ②请写出当点 P 改变速度后，y 与 x 的函数关系式； （3）当点 P 出发后几秒时，△APD 的面积 S 是长方形 ABCD 面积的 ？ 参考答案 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的． 1．计算（﹣a3）2 的结果是（ ） A．a5 B．﹣a5 C．a6 D．﹣a6 解：（﹣a3）2＝a6． 故选：C． 2．芯片是手机、电脑等高科技产品最核心的部件，更小的芯片意味着更高的性能．目前我国芯片的量 产工艺已达到 14 纳米，已知 14 纳米为 0.000000014 米，则 0.000000014 科学记数法表示为（ ） A．1.4×10﹣8 B．1.4×10﹣9 C．1.4×10﹣10 D．14×10﹣9 解：0.000000014＝1.4×10﹣8． 故选：A． 3．在实验课上，小亮利用同一块木板测得小车从不同高度（h）与下滑的时间（t）的关系如下表： 支撑物高 h（cm） 10 20 30 40 50 … 下滑时间 t（s） 3.25 3.01 2.81 2.66 2.56 … 以下结论错误的是（ ） A．当 h＝40 时，t 约 2.66 秒 B．随高度增加，下滑时间越来越短 C．估计当 h＝80cm 时，t 一定小于 2.56 秒 D．高度每增加了 10cm，时间就会减少 0.24 秒 解：当支撑物高度从 10cm 升高到 20cm，下滑时间的减少 0.24s， 从 20cm 升高到 30cm 时，下滑时间就减少 0.2s， 从 30cm 升高到 40cm 时，下滑时间就减少 0.15s， 从 40cm 升高到 50cm 时，下滑时间就减少 0.1s， 因此，“高度每增加了 10cm，时间就会减少 0.24 秒”是错误的， 故选：D． 4．下列各式中计算正确的是（ ） A．（a+b）（b﹣a）＝a2﹣b2 B．（﹣m﹣n）2＝m2+2mn+n2 C．2m3÷m3＝2m D．（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝﹣b2c2 解：∵（a+b）（b﹣a）＝b2﹣a2，故选项 A 错误； ∵（﹣m﹣n）2＝m2+2mn+n2，故选项 B 正确； ∵2m3÷m3＝2，故选项 C 错误； ∵（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝b4c4÷b2c2＝b2c2，故选项 D 错误； 故选：B． 5．如图，直线 AB∥CD，且 AC⊥AD，∠ACD＝58°，则∠BAD 的度数为（ ） A．29° B．30° C．32° D．58° 解：∵直线 AB∥CD，∠ACD＝58°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ACD＝180°﹣58°＝122°， ∵AC⊥AD， ∴∠CAD＝90°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝122°﹣90°＝32°． 故选：C． 6．如图，下列不能判定 DF∥AC 的条件是（ ） A．∠A＝∠BDF B．∠2＝∠4 C．∠1＝∠3 D．∠A+∠ADF＝180° 解：A．∠A＝∠BDF，由同位角相等，两直线平行，可判断 DF∥AC； B．∠2＝∠4，不能判断 DF∥AC； C．∠1＝∠3 由内错角相等，两直线平行，可判断 DF∥AC； D．∠A+∠ADF＝180°，由同旁内角互补，两直线平行，可判断 DF∥AC； 故选：B． 7．把一张有一组对边平行的纸条，按如图所示的方式析叠，若∠EFB＝35°，则下列结论错误的是 （ ） A．∠C'EF＝35° B．∠AEC＝120° C．∠BGE＝70° D．∠BFD＝110° 解：A．∵AE∥BF， ∴∠C'EF＝∠EFB＝35°（两直线平行，内错角相等）， 故 A 选项不符合题意； B．∵纸条按如图所示的方式析叠， ∴∠FEG＝∠C'EF＝35°， ∴∠AEC＝180°﹣∠FEG﹣∠C'EF＝180°﹣35°﹣35°＝110°， 故 B 选项符合题意； C．∵∠BGE＝∠FEG+∠EFB＝35°+35°＝70°， 故 C 选项不符合题意； D．∵AE∥BF， ∴∠EGF＝∠AEC＝110°（两直线平行，内错角相等）， ∵EC∥FD， ∴∠BFD＝∠EGF＝110°（两直线平行，内错角相等）， 故 D 选项不符合题意； 故选：B． 8．如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时 间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度 h 与注水时间 t 之间的函数关系图象 可能是（ ） A． B． C． D． 解：该蓄水池就是一个连通器．开始时注入甲池，乙池无水，当甲池中水位到达与乙池的连接处时， 乙池才开始注水，所以 A、B 不正确，此时甲池水位不变，所有水注入乙池，所以水位上升快．当 乙池水位到达连接处时，所注入的水使甲乙两个水池同时升高，所以升高速度变慢．在乙池水位超 过连通部分，甲和乙部分同时升高，但蓄水池底变小，此时比连通部分快． 故选：D． 二、填空题（本题满分 24 分，共有 8 道小题，每小题 3 分） 9．计算：（π﹣3）0﹣（﹣ ）﹣2+（﹣1）2020＝ ﹣7 ． 解：原式＝1﹣9+1 ＝﹣7． 故答案为：﹣7． 10．有一个角的补角为 125°，则这个角的余角是 35 °． 解：有一个角的补角为 125°，则这个角的余角为：125°﹣90°＝35° ． 故答案为：35°． 11．am＝6，an＝3，则 am﹣2n＝ ． 解：∵am＝6，an＝3， ∴am﹣2n＝am÷（an）2＝6÷32＝ ． 故答案为： ． 12．已知实数 a，b 满足 a+b＝5，ab＝﹣3，则 a2+b2 的值为 31 ． 解：∵a+b＝5，ab＝﹣3， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×（﹣3）＝31． 故答案为 31． 13．将一个等腰直角三角形的直角顶点和一个锐角顶点按如图方式分别放在直线 a，b 上，若 a∥b， ∠1＝24°，则∠2 的度数为 21 °． 解：∵AB∥CD， ∴∠ABD+∠CDB＝180°， ∴∠1+∠EBD+∠EDB+∠2＝180°， ∵∠EBD＝90°，∠EDB＝45°， ∴∠1+∠2＝45°， ∵∠1＝24°， ∴∠2＝21°， 故答案为 21． 14．如图，现有 A，C 两类正方形卡片和 B 类长方形卡片各若干张，用它们可以拼成一些新的长方形．如 果要拼成一个长为（3a+b），宽为（a+2b）的长方形，那么需要 B 类长方形卡片 7 张． 解：长为 3a+2b，宽为 a+b 的长方形的面积为： （3a+b）（a+2b）＝3a2+7ab+2b2， ∵A 类卡片的面积为 a2，B 类卡片的面积为 ab，C 类卡片的面积为 b2， ∴需要 A 类卡片 3 张，B 类卡片 7 张，C 类卡片 2 张， 故答案为：7． 15．如图，已知 AB∥DE，∠ABC＝76°，∠CDE＝150°，则∠BCD 的度数为 46 °． 解：过点 C 作 CF∥AB， ∵AB∥DE， ∴AB∥DE∥CF， ∴∠ABC＝∠BCE，∠CDE+∠DCF＝180°， ∵∠ABC＝76°，∠CDE＝150°， ∴∠BCF＝76°，∠DCF＝30°， ∴∠BCD＝46°， 故答案为：46． 16．如图所示的图形都由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，若按此规律排列下去，则第 n 个图 形中有 （n2+n+4） 个小圆圈． 解：观察图形的变化可知： 第 1 个图形中有小圆圈的个数：1×2+4＝6 个； 第 2 个图形中有小圆圈的个数：2×3+4＝10 个； 第 3 个图形中有小圆圈的个数：3×4+4＝16 个； … 则第 n 个图形中有小圆圈的个数为：n（n+1）+4＝n2+n+4． 故答案为：n2+n+4． 三、作图题（本题满分 4 分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论. 17．如图，AB 是某条河上的一座桥，现要在河的下游点 C 处再建一座与 AB 平行的桥 CD，请用直尺 和圆规画出 CD 的方向． 解：如图，线段 CD 即为所求． 四、解答题（本题满分 68 分） 18．（16 分）计算： （1）（﹣2a2b）2•ab2÷（﹣a3b）； （2）（x﹣1）（x+1）（x2+1）； （3）20202﹣2022×2018（用乘法公式计算）； （4）（a﹣b﹣3）（a﹣b+3）． 解：（1）（﹣2a2b）2•ab2÷（﹣a3b） ＝4a4b2•ab2÷（﹣a3b） ＝﹣4a2b3； （2）（x﹣1）（x+1）（x2+1） ＝（x2﹣1）（x2+1） ＝x4﹣1； （3）20202﹣2022×2018 ＝20202﹣（2020+2）×（2020﹣2） ＝20202﹣20202+4 ＝4； （4）（a﹣b﹣3）（a﹣b+3） ＝[（a﹣b）﹣3]×[（a﹣b）+3] ＝（a﹣b）2﹣9 ＝a2﹣2ab+b2﹣9． 19．先化简，再求值[（x﹣2y）2﹣（x+y）（x﹣3y）]÷（﹣y），其中 x＝﹣1，y＝ ． 解：[（x﹣2y）2﹣（x+y）（x﹣3y）]÷（﹣y） ＝[x2﹣4xy+4y2﹣x2+3xy﹣xy+3y2]÷（﹣y） ＝（﹣2xy+7y2）÷（﹣y） ＝2x﹣7y， 当 x＝﹣1，y＝ 时，原式＝﹣2﹣3.5＝﹣5.5． 20．完成下面的证明． 已知：如图，∠BAC 与∠GCA 互补，∠1＝∠2， 求证：∠E＝∠F 证明：∵∠BAC 与∠GCA 互补 即∠BAC+∠GCA＝180°，（已知） ∴ AB ∥ DG （ 同旁内角互补，两直线平行 ） ∴∠BAC＝∠ACD．（ 两直线平行，内错角相等 ） 又∵∠1＝∠2，（已知） ∴∠BAC﹣∠1＝∠ACD﹣∠2，即∠EAC＝∠FCA．（等式的性质） ∴ AE ∥ CF （内错角相等，两直线平行） ∴∠E＝∠F．（ 两直线平行，内错角相等 ） 【解答】证明：∵∠BAC 与∠GCA 互补 即∠BAC+∠GCA＝180°，（已知） ∴AB∥DG（同旁内角互补，两直线平行） ∴∠BAC＝∠ACD．（两直线平行，内错角相等） 又∵∠1＝∠2，（已知） ∴∠BAC﹣∠1＝∠ACD﹣∠2，即∠EAC＝∠FCA．（等式的性质） ∴AE∥CF（内错角相等，两直线平行） ∴∠E＝∠F．（两直线平行，内错角相等） 故答案为：AB、DG、同旁内角互补，两直线平行、AE、CF、两直线平行，内错角相等． 21．（10 分）如图所示，在一个边长为 10cm 的正方形的四个角都剪去一个大小相等的小正方形，当 小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化． （1）在这个变化过程中，自变量．因变量各是什么？ （2）如果小正方形的边长为 xcm，图中阴影部分的面积 ycm2，请写出 y 与 x 的关系式； （3）当小正方形的边长由 1cm 变化到 3cm 时，阴影部分的面积发生了怎样的变化？ 解：（1）自变量是小正方形的边长，因变量为阴影部分的面积； （2）y＝100﹣4x2； （3）当 x＝1 时，y＝100﹣4＝96， 当 x＝3 时，y＝100﹣4×32＝64， 96﹣64＝32（cm2） 所以当小正方形的边长由 1cm 变化到 3cm 时，阴影部分的面积减少 32cm2． 22．（8 分）如图，∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°． （1）试判断 BF 与 DE 的位置关系，并说明理由； （2）若 BF⊥AC，∠2＝145°，求∠AFG 的度数． 解：（1）BF∥DE．理由如下： ∵∠AGF＝∠ABC， ∴GF∥BC， ∴∠1＝∠3， ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠3+∠2＝180°， ∴BF∥DE； （2）∵∠1+∠2＝180°，∠2＝145°， ∴∠1＝35°， ∴∠AFG＝90°﹣35°＝55°． 23．（10 分）阅读理解： 下面的图象表示 2m 的个位数字随 m（m 为正整数）变化的规律．请解答下列问题： （1）根据图象回答下列问题： 当 m＝4n（n 为正整数）时，2m 的个位数字是 6 ； 当 m＝4n+1（n 为正整数）时，2m 的个位数字是 2 ； 当 m＝4n+2（n 为正整数）时，2m 的个位数字是 4 ； 当 m＝4n+3（n 为正整数）时，2m 的个位数字是 8 ； （2）求：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1 的个位数字． 解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1 ＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1 ＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1 ＝（24﹣1）（24+1）（28+1）+1 ＝（216﹣1）+1 ＝216． 因为 16＝4×4，所以由（1）得，216 的个位数字是 6，即（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1 的个 位数字是 6． 类比应用： （3）求：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）的个位数字． 解：故答案为：（1）6；2；4；8； （3）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1） ＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1） ＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1） ＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1） ＝（28﹣1）（28+1）（216+1）（232+1） ＝（216﹣1）（216+1）（232+1） ＝（232﹣1）（232+1） ＝264﹣1 因为 64＝4×16，所以 264 的个位数字是 6，所以 264﹣1 的个位数字是 5， 即（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）的个位数字是 5． 24．（12 分）如图①，在长方形 ABCD 中，AB＝10cm，BC＝8cm，点 P 从 A 出发，沿 A→B→C→D 路线运动，到 D 停止；点 P 出发时的速度为每秒 1cm，a 秒时点 P 的速度变为每秒 bcm，图②是点 P 出发 x 秒后，△APD 的面积 S（cm2）与 x（s）的函数关系图象． （1）根据题目中提供的信息，求出图②中 a，b，c 的值； （2）设点 P 运动的路程为 y（cm）． ①7s 时，y 的值为 8 cm； ②请写出当点 P 改变速度后，y 与 x 的函数关系式； （3）当点 P 出发后几秒时，△APD 的面积 S 是长方形 ABCD 面积的 ？ 【解答】解（1）当 P 在边 AB 上时，由图得知：S△APD＝ AD•AP＝ ×8×1×a＝24， ∴a＝6； ∴b＝ ＝2， ∴c＝8+ （10+8）＝17； （2）①由题意得：y＝6+2（x﹣6）＝2x﹣6（6≤x≤17）， 当 x＝7 时，y＝8， 故答案为 8； ②由①知，函数表达式为 y＝2x﹣6（6≤x≤17）； （3）当 P 在 AB 中点和 CD 中点时，S△APD＝ S 矩形 ABCD， 当 P 在 AB 中点时，P 出发 5 秒， 当 P 在 CD 中点时，代入（2）中 y＝2x﹣6， 即 23＝2x﹣6，解得 x＝ ， ∴P 出发 5 秒和 秒时，S△APD＝ S 矩形 ABCD．