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- 2021-04-19 发布
安徽省黄山市2017届高三第二次模拟考试
数学（文）试题
参考公式：如果事件、互斥, 那么
如果事件、互斥独立, 那么
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2. 复数，若，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．
3. 在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？ ” (加增的顺序为从塔顶到塔底). 答案应为 （ ）
A． B． C． D．
4.已知函数，其中，从中随机抽取个，则它在上是减函数的概率为 （ ）
A． B． C. D．
5. 在中，，给出满足条件，就能得到动点的轨迹方程
下表给出了一些条件及方程：
条件
方程
① 周长为
②面积为
③中，
则满足条件①，②，③的轨迹方程依次为（ ）
A． B． C. D．
6.已知的取值范围是，执行下面的程序框图，则输出的的概率为（ ）
A． B． C. D．
7. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C. D．
8.若圆上只有一点到双曲线的一条渐近线的距离为，则该双曲线离心率为 （ ）
A． B． C. D．
9. 已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C. D．
10.已知满足约束条件,若目标函数的最大值为，则（ ）
A．有最小值 B．有最大值
C. 有最小值 D．有最大值
11. 函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C. D．
12. 将函数的图象向左平移个单位，得函数的图象(如图) ，点分别是函数图象上轴两侧相邻的最高点和最低点，设，则的值为（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知，则在方向上的投影为 ．
14.已知抛物线，点，点在抛物线上，当点到抛物线准线的距离与点到点的距离之和最小时，延长交抛物线于点，则的面积为 ．
15.已知两个等高的几何体在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等. 椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体. 如图（1）将底面直径皆为，高皆为的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上. 以平行于平面的平面于距平面任意高处可横截得到及两截面，可以证明总成立. 则短轴长为，长轴为的椭球体的体积为 ．
16.对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列的前项和等于 ．
三、解答题
（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 中，角所对的边分别为，向量 ，且的值为.
（1）求的大小；
（2）若 ，求的面积.
18. 如图，四棱锥中，底面是矩形，平面底面，且是边长为的等边三角形，在上，且面.
（1）求证: 是的中点；
（2）求多面体的体积.
19. 全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2016年8月某日起连续天监测空气质量指数，数据统计如下：
空气质量指数
空气质量等级
空气优
空气良
轻度污染
中度污染
重度污染
天数
（1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出的值，并完成頻率分布直方图：
（2）由頻率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数；
（3）在空气质量指数分别为和的监测数据中，用分层抽样的方法抽取天，从中任意选取天，求事件“两天空气都为良”发生的概率.
20. 设分别是椭圆的左、右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于两点，到直线的距离为，连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为，当最大时，求直线的方程.
21.已知函数.
（1）若时，讨论函数的单调性；
（2）若，过作切线，已知切线的斜率为，求证：.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程为，过点的直线交曲线于两点.
（1）将曲线的极坐标方程的化为普通方程；
（2）求的取值范围.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）解不等式；
（2）若存在实数，使不等式能成立，求实数的最小值.
安徽省黄山市2017届高三第二次模拟考试
数学（文）试题参考答案
一、选择题
1-5:BDDBA 6-10: BCACA 11-12：CD
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17. 解：(1),
.
(2),由得，
.
18. 解：(1)证明：连交于，连是矩形，是中点.又面，且是面与面的交线，是的中点.
(2)取中点，连.则，由面底面，得面，，.
19. 解：(1),
.
(2)平均数 ，中位数.
(3) 在空气质量指数为和的监测天数中分别抽取天和天，在所抽収的天中，将空气质量指数为的天分别记为；将空气质量指数为的天记为，从中任取天的基本事件分别为：共种，其中
事件“两天空气都为良”包含的基本事件为共种，所以事件“两天都为良”发生的概率是.
20. 解：(1)设坐标为，坐标为，则直线的方程为，即
；又，
椭圆的方程为.
(2)易知直线的斜率不为，可设直线的方程为，则圆心到直线的距离为，
所以，得，，（当且仅当，即时，等号成立），所以直线方程为或.
21. 解：(1) 由已知得：. ①若，当或时，；当时，，所以的单调递增区间为；单调递减区间为. ②若，故的单调递减区间为；③若，当或时，；当时，；所以的单调递增区间为；单调递减区间为.
综上，当时，单调递增区间为；单调递减区间为，.
当时，的单调递减区间为；当时，单调递增区间为
；单调递减区间为,.
(2),设切点，斜率为 ① 所以切线方程为 ，将代入得： ② 由 ① 知代入②得：
，令,则恒成立，
在单增，且，，令，则，则
在递减，且.
22. 解：(1)由得，得曲线的普通方程为.
(2)由题意知，直线的参数方程为为参数），将代入得，设对应的参数分别为，则，的取值范围为
.
23. 解：（1）由题意不等式可化为，当时，，
解得，即；当时，，解得，即；当时，，解得，即，综上所述，不等式的解集为或.
（2）由不等式可得，
，故实数的最小值是.