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- 2021-04-19 发布
吉林省延边州2017届高三下学期高考仿真考试
数学（理）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则 （ ）
A． B． C． D．
2. 复数满足为虚数单位），则 （ ）
A． B． C． D．
3. 已知向量，且与的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
4. 等差数列的前项和为，且，则公差 （ ）
A． B． C. D．
5. 如图所示的程序框图，运行程序后，输出的结果为（ ）
A． B． C. D．
6. 某公司在2012-2016年的收入与支出情况如下表所示：
收入 （亿元）
支出 （亿元）
根据表中数据可得回归直线方程为，依此估计如果2017年该公司收入为亿元时的支出为 （ ）
A．亿元 B．亿元 C. 亿元 D．亿元
7. 已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C. D．
8. 若满足，且的最小值为，则的值为（ ）
A． B． C. D．
9. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C. D．
10. 设函数，若方程恰好有三个根，分别为，则的值为（ ）
A． B． C. D．
11. 如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，，若分别是棱上的点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C. D．
12. 设函数，若不等式在上有解，则实数的最小值为（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 若，则 ．
14. 设等比数列的前项和为，若，则 ．
15. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题: “今有人持金出五关，前二关而税一，次关而三税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤. 问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第关收税金，第关收税金为剩余金的，第关收税金为剩余金的，第关收税金为剩余金的，第关收税金为剩余金的关所收税金之和，恰好重斤. 问原本持金多少? ” 若将題中“关所收税金之和恰好重斤，问原本持金多少? ”改成““假设这个人原本持金为，按此規律通过第关” ，则第关需收税金为 ．
16. 已知抛物线是该抛物线上两点，且，则线段的中点离轴最近时点的纵坐标为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 设中的内角的边分别为 ，若.
（1）若,求的值；
（2）若,求的面积.
18. 如图，在三棱柱中，点在平面内的射影点为的中点 .
（1）求证: 平面；
（2）求二面角的正弦值.
19. 近几年电子商务蓬勃发展，在2017年的“年货节”期间，一网络购物平台推销了三种商品，某网购者决定抢购这三种商品，假设该名网购者都参与了三种商品的抢购，抢购成功与否相互独立，且不重复抢购同一种商品，对三种商品的抢购成功的概率分别为 ，已知三件商品都被抢购成功的概率为，至少有一件商品被抢购成功的概率为 .
（1）求的值；
（2）若购物平台准备对抢购成功的三件商品进行优惠减免活动，商品抢购成功减免百元，商品抢购成功减免百元，商品抢购成功减免百元，求该名网购者获得减免的总金额(单位:百元)的分布列和数学期望.
20. 已知椭圆的左、右焦点分别为，由椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成一个等边三角形，它的面积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知动点在椭圆上，点，直线交轴于点，点为点关于轴的对称点，直线交轴于点，若在轴上存在点，使得，求点的坐标.
21. 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，曲线相交于两点.
（1）求两点的极坐标；
（2）曲线与直线为参数) 分别相交于两点，求线段的长度.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）设函数，求的取值范围.
吉林省延边州2017届高三下学期高考仿真考试数学（理）
试题参考答案
一、选择题
1-5: DACBC 6-10:BDCCA 11-12：DB
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17. 解：(1),由正弦定理知即，当时，由余弦定理可得，即，解得.
(2)由得，又，由余弦定理可得，即，因为，所以，因此.
18. 解：(1)点在平面内的射影点为的中点，，
为的中点，平面平面.
(2) 建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，
，则，
，设平面的法向量为，则有
，不妨令，则，同理得平面的法向量为，设二面角的平面角为，，
.
19. 解：(1)由题意，得，因为，解得.
(2) 由题意，令网购者获得减免的总金额为随机变量（单位：百元），则的值可以为，而；；
，
所以分布列为：
于是有.
20. 解：(1)因为，所以，因此椭圆的方程为.
(2)设，由 三点共线得，整理得
；
同理，由 三点共线得 . 又因为，则，所以，即，又且，所以.
由于，所以，所以，点 的坐标为.
21. 解：(1)因为，所以切线方程为，
即.
(2)令，所以
，当时，因为，所以，所以是上的递增函数，又因为，所以关于的不等式，不能恒成立，当时，，令，得，所以当时，
；当时，，因此函数在上是增函数，在
上是减函数，故函数的最大值为，令，则
在上是减函数，因为，所以当时，，所以整数的最小值为.
22. 解：(1)由，得，所以，即，所以两点的极坐标为或.
(2)由曲线的极坐标方程得其直角坐标方程为，将直线代入,
整理得，即，所以.
23. 解：（1）当时，等价于，即，解得，所以解集为.
（2）当时，，所以当
时，等价于，① 当时，①等价于 ，无解 ；
当时，① 等价于 ，解得，所以的取值范围是.