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- 2021-04-19 发布
临泽一中 2019-2020 学年上学期 9 月月考试卷
高二理科数学
（考试时间：120 分钟试卷满分：150 分）
测试范围：人教必修 5 第一、二章。。
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知数列{a }的前n 项和为 S ，若 S = n2 + 2n 时，则a + a =
n n n 4 5
A．11 B． 20
C． 33 D． 35
1. 在△ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，若c2 = a2 + b2 +
3ab ，则C =
p p
A. B．
6 3
C． 2p D． 5p
3 6
2. 在△ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，若b =
3a ， cos B =- 4 ，则sin A =
5
A. 3 5
C． 3 3
3. 在数列{a }中， a
= -2, a
= 1-
1 ，则a 的值为
B． 3 2
D. 3 6
n 1 n+1
n
2018
a
A．−2 B． 1
3
C． 1
2
D． 3
2
4. 公比不为 1 的等比数列{a }的前n 项和为 S ，且-2a ， - 1 a
， a 成等差数列，若a = 1，则 S =
n n 1
2 2 3 1 4
A．−5 B．0 C．5 D．7
5. 在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且b2 + c2 = a2 + bc. 若sin B ×sin C = sin2 A ， 则△ABC 的形状是
A. 等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形 7．已知等比数列{an }的前k 项和为12 ，前2k 项和为48 ，则前4k 项和为
A． 324 B． 480
C．108 D．156
8. 在△ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若c2 = (a - b)2 + 4 ， C = p ，则△ABC 的
3
面积为
3
A． 3 B．
2
3
C． 3 D． 2
1
9. 已知等差数列{a }的前n 项和为 S ， a = 5 ， S = 20 ，则数列{ } 的前1000 项和为
n
A． 1000
1001
C． 250
501
n 4 5
B． 999
2002
D． 999
1000
anan+1
．
2
10 △ABC 中，三个内角 A, B, C 的对边分别为a, b, c ，若sinA, sinB, sinC 成等差数列，且tanC = 2 ，
则 b =
a
A. 10
9
B. 14
9
C. 5
3
D. 3
2
6
11. 一艘游轮航行到 A 处时看灯塔 B 在 A 的北偏东75° ，距离为12 海里，灯塔 C 在 A 的北偏西30° ，
距离为12 3 海里，该游轮由 A 沿正北方向继续航行到 D 处时再看灯塔 B 在其南偏东60° 方向，则此时灯塔 C 位于游轮的
A．正西方向 B．南偏西75° 方向
C．南偏西60° 方向 D．南偏西45°方向
12 ．已知数列 {a } 满足 a = 1 ，
(2n -1)a
= (2n +1)a
+1 ， b
= (2n -1)an+1 - (2n +1)an ，
n 1 n+1
n n 4n2 -1
Tn = b1 + b2 +×××+ bn ，若m > Tn 恒成立，则m 的最小值为
A．0 B． 1
2
C．1 D．2
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．在△ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 B = p ，a + c =
3
3b ， 则 a = ．
c
14．已知数列{a } 的通项公式为 a = 2n2 -13n ，则| a - a | + | a - a | + | a - a | + + | a - a |=
n n 1 2 2 3 3 4 9 10
．
15. 设△ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ，如果(a + b + c)(b + c - a) = 3bc ，且
a = 3 ，那么△ABC 外接圆的半径为 ．
n
16. 在数列{a }中，如果对任意 n Î N* 都有 an+2 - an+1 = k （ k 为常数），则称{a } 为等差比数列， k 称
an+1 - an
为公差比．现给出下列命题：
①等差比数列的公差比一定不为0 ；
②等差数列一定是等差比数列；
③若a = -3n + 2 ，则数列{a }是等差比数列；
n n
④若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比． 其中正确的命题的序号为 ．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分 10 分）
在△ABC 中， a, b, c 分别为角 A, B, C 所对的边，已知c = 3， C = π ， sinB = 2sinA.
3
（1） 求a, b 的值；
（2） 求△ABC 的面积．
18．（本小题满分 12 分）
在等差数列{an }中， a1 = 1, a4 = 7 .
（1） 求数列{an }的通项公式；
（2） 若b1 = 2 ，数列{bn - an } 是公比为 2 的等比数列，求数列{bn } 的前n 项和 Sn .
19．（本小题满分 12 分）
在△ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，已知sin A =
（1） 若 B = p ，求tan A 的值；
4
（2） 若△ABC 的面积为b2 tan B ，求证： △ABC 为钝角三角形．
3 sin C ．
20．（本小题满分 12 分）
设等差数列{a }的前n 项和为 S ，已知a + a = 19 ， S = 78 ，数列{b } 满足b = 2an ．
n n 2 17 12 n n
1
（1） 求数列{ }的前n 项和 P ；
a3n-1a3n+2
（2） 若数列{bn } 的前 p 项和Tp = S20 + 44 ，求 p 的值．
21．（本小题满分 12 分）
在△ABC 中，已知 A = p ， cos B = 3 ， AC = 8 ．
4 5
（1） 求△ABC 的面积；
（2） 设线段 AB 的中点为 D ，求CD 的长．
+ nb = 1
n
6
22．（本小题满分 12 分）
在数列{a }，{b }中，已知a = 1，a
= 1 a
，且b + 2b +
n(n +1)(4n -1) ，n Î N* ．
n n 1
n+1 2 n 1 2
（1） 求数列{an }和{bn}的通项公式；
（2） 求数列{anbn }的前n 项和Tn ．
高二理科数学·参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
D
A
D
A
C
B
B
C
A
C
B
1
13．
2
或 2 14． 101 15．1 16．①③④
17．（本小题满分 10 分）
【解析】（1）因为sin B = 2 sin A ,所以由正弦定理可得 b=2a (2 分)
由余弦定理c2 = a2 + b2 − 2ab cos C ,得 9=a2 + 4a2 − 2a2 ,
解得a2 = 3 （4 分）
所以a = √3 ,2a = 2√3 (6 分)
（2）∆ABC 的面积S = 1 ab sin C = 1 × √3 × 2√3 × √3 = 3√3 (10 分)
2 2 2 2
18．（本小题满分 12 分）
【解析】（1）设等差数列{an}的公差为 d
∵a4 = a1 + 3d = 7, a1 = 1
∴ d=2 , （2 分）
∴ an =1+2（n-1）=2n-1 ． （6 分 ）
（2）由题意知b1 − a1 = 1
∴ bn − an = 1 × 2n−1 = 2n−1
∴ bn = an + 2n−1 (8 分 )
∴ sn = b1 + b2 + ⋯ + bn = (a1 + a2 + ⋯ + an) + (20 + 21 + ⋯ + 2n−1)
+
n(a1+an)
=
2
1×(1−22)
1−2
=n2 + 2n − 1 (12 分 ) 19．（本小题满分 12 分）
【答案】（1）−3 − √6 （2）证明见解析
【解析】（1）因为sin A = √3 sin C 所以由正弦定理可得a = √3c （1 分）
π
因为B =
4
所以由余弦定理可得cos B = a2+c2—b2 = 4c2−b2 = √2 （3 分）
所 以 b2 = (4 − √6)c2
2ac
2√3c2 2
所 以 cos A = b2+c2−a2 = 1+(4−√6)−3 = 2−√6
（5 分）
2bc
2√4−√6
2√4−√6
所以 sin A = √6 所以 tan A = √6 = −3 − √6 （6 分）
2√4−√6
（2）因为△ABC 的面积为b2tan B
2−√6
1 2 2b2
所以 acsin B = b tan B 即cos B =
（7 分）
2 ac
所以由余弦定理可得cos B = a2+c2−b2 = 2b2 即a2 + c2 = 5b2
2ac ac
由（1）知a = √3c , 所以4c2 = 5b2 , 即b = 2
√5
c （9 分 ）
显然a >