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- 2021-04-19 发布
高三年级12月月考数学（文科）试题
一、选择题(本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的)
1.设，集合，集合，则等于（ ）
A. B. C. D.
2.已知，其中为虚数单位，则 （ ）
A. B. 1 C. 2 D. 3
3.设变量满足约束条件，则的最大值为 （ ）
A. B.2 C.3 D.4
4.已知向量a，b, c.若为实数，(a+b) // c,则 （ ）
A. B. C. D.
5.函数的零点所在的区间为 （ ）
A． B． C． D．
6.圆x2+y2−2x−8y+13=0的圆心到直线ax+y−1=0的距离为1，则 （ ）
A. − B.− C. D.2
7.在等比数列中，已知，则（ ）
A.3 B. -3 C. 5 D.
8.函数的图像在点处的切线斜率的最小值是（ ）
A.1 B. C.2 D.
9.已知则等于( )
A. B. C. D.
10.函数的图象大致是（ ）
11.已知定义在上的奇函数满足：且时，，则 （ ）
A. B. C. D.
12.已知正三角形ABC的边长为，平面ABC内的动点P，M满足，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.已知数列中，，（），则数列的前9项和等于 。
14.已知点,,,,则向量在向量方向上的投影是
15.设的内角A，B，C的对边分别为,且,则c=________.
16.长方体的各个顶点都在体积为的球O 的球面上，其中，则四棱锥O-ABCD 的体积的最大值为 ．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.（本小题满分12分）已知直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直.
（1） 求直线的方程；
（2）若圆C的圆心为点(3,0)，直线被该圆所截得的弦长为，求圆C的标准方程.
18.（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且。
（I）证明：sinAsinB=sinC；
（II）若，求tanB。
19.（本小题满分12分）已知数列是递增的等比数列，且
（1）求数列的通项公式；
（2）设为数列的前n项和，，求数列的前n项和。
20.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，∥，，,平面平面，为等腰直角三角形，.
（1）证明：；
（2）若三棱锥的体积为，求的面积.
21.（本小题满分12分）
已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若恒成立，求的值.
22.[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线．
（1）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求，的极坐标方程；
（2）射线与异于极点的交点为，与的交点为，求.
23．[选修4－5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知函数．
（1）若，求的取值范围；
（2）若存在，使得成立，求的取值范围．
高三年级12月月考数学（文科）试题答案
1-5 ABCBC 6-10 AACCD 11-12 AB
13. 27 14.
15. 4 16.2
17.（本小题满分12分）已知直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直.
（1） 求直线的方程；
（2）若圆C的圆心为点(3,0)，直线被该圆所截得的弦长为，求圆C的标准方程.
解：（1）由已知得:, 解得两直线交点为,
设直线的斜率为，与垂直，
过点，的方程即.
（2） 设圆的半径为，依题意，圆心到直线的距离为
则由垂径定理得，∴
∴圆的标准方程为.
18.（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且。
（I）证明：sinAsinB=sinC；
（II）若，求tanB。
（Ⅰ）根据正弦定理，可设
则a=ksin A，b=ksin B，c=ksinC.
代入中，有
，可变形得
sin A sin B=sin Acos B=sin (A+B).
在△ABC中，由A+B+C=π，有sin (A+B)=sin (π–C)=sin C，
所以sin A sin B=sin C.
（Ⅱ）由已知，b2+c2–a2=bc，根据余弦定理，有
.
所以sin A=.
由（Ⅰ），sin Asin B=sin Acos B +cos Asin B，
所以sin B=cos B+sin B，
故tan B==4.
19.（本小题满分12分）已知数列是递增的等比数列，且
（1）求数列的通项公式；
（2）设为数列的前n项和，，求数列的前n项和。
（1）设等比数列的公比为，
所以有，。
联立两式可得或者。
又因为数列为递增数列，所以。
数列的通项公式为。
（2）根据等比数列的求和公式，有。
所以数列的通项公式为，所以。
20.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，∥，，,平面平面，为等腰直角三角形，.
（1）证明：；
（2）若三棱锥的体积为，求的面积.
解：（1）因为平面平面，平面平面=，
所以平面.又∥，平面.平面，
又为等腰直角三角形，，有
平面，又平面…………6分
（2）设，则，过作于，则.
又平面平面，平面平面=平面.
又.
中，.中，. …………12分
21.（本小题满分12分）
已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若恒成立，求的值.
（1）依题意，，
令，解得，故，·········2分
故当时，函数单调递减，当时，函数单调递增；
故函数的单调减区间为，单调增区间为．·········4分
（2），其中，
由题意知在上恒成立，，
由（1）可知，∴，······8分
∴，记，则，令，得．·······9分
当变化时，，的变化情况列表如下：
+
0
-
极大值
∴，故，当且仅当时取等号，
又，从而得到．·········12分
22.[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线．
（1）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求，的极坐标方程；
（2）射线与异于极点的交点为，与的交点为，求.
（1）曲线：（为参数）化为普通方程为，
所以曲线的极坐标方程为，···········3分
曲线的极坐标方程为．···········5分
（2）射线与曲线的交点的极径为，···········7分
射线与曲线的交点的极径满足，
解得，···········9分
所以．···········10分
23．[选修4－5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知函数．
（1）若，求的取值范围；
（2）若存在，使得成立，求的取值范围．
（1）由得，
∴，或，或，······3分
解得．···········5分
（2）当时，，·········6分
∴存在，使得即成立，
∴存在，使得成立，···········8分
∴，∴．···········10分