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- 2021-04-19 发布
____第19课__导数的基本运算____
1. 能根据导数定义求简单函数(如：y＝c，y＝x2，y＝，y＝等)的导数．
2. 熟记基本初等函数的导数公式；理解导数的四则运算法则；能利用导数公式表的导数公式和导数四则运算法则求简单函数的导数
1. 阅读：选修11第80～85 页．
2. 解悟：①熟记教材第81页中的两个表格中常见函数和基本初等函数的求导公式；②教材第83页的函数的和、差、积、商求导法则你记住了吗？有没有特别留意积、商求导法则中的表达式的结构特征？③重点理解教材第83页的例2和例3，并体会解题过程中使用的法则依据，例3(2)，你还能想出其他的解法吗？并总结对一个函数求导的关键是什么？
3. 践习：在教材空白处，完成第82页练习第2、7题，第84～85页练习第4、5题，习题第5、8、14题，第98页习题第1、3、4、7题.
基础诊断
1. (1) (2x)′＝__2xln2__；
(2) ()′＝__x－__；
(3) (3sinx)′＝__3cosx__；
(4) (ln2x)′＝____．
2. 已知函数f(x)＝cosx则f(π)＋f′＝__－__．
解析：由题意得，f′(x)＝－cosx－sinx，所以f′＝－ cos－sin＝－，f(π)＝×cosπ＝－，所以f(π)＋f′＝－－＝－.
3. 若函数f(x)＝，则f′(2)＝__0__．
解析：由题意得，f′(x)＝，当x＝2时，f′(2)＝0.
4. 曲线y＝x3－2x＋4在点(1，3)处的切线的倾斜角为____．
解析：因为(1，3)在曲线y＝x3－2x＋4上，y′＝3x2－2，所以在点(1，3)处的切线的斜率k＝3×1－2＝1.设切线的倾斜角为α，所以tanα＝1，所以α＝，故所求的倾斜角为.
范例导航
考向❶ 利用导数公式和四则运算法则求简单函数的导数
例1 求下列函数的导数．
(1) f(x)＝log2x＋x2；
(2) f(x)＝；
(3) f(x)＝x－3＋1(x>0)；
(4) y＝xlnx＋1；
(5) f(x)＝ex·lnx；
(6) f(x)＝(x2－9).
解析： (1) f′(x)＝＋2x
(2) f′(x)＝
(3) f′(x)＝1－(x>0)
(4) y′＝lnx＋1
(5) y′＝ex
(6) f′(x)＝3x2－－12
下列函数求导运算错误的个数为__3__．
①(3x)′＝3xlog3e; ②(log2x)′＝；
③′＝cos； ④′＝x.
解析：①(3x)′＝3xln3，故①错误；②(log2x)′＝，故②正确，③′＝0，故③错误；④′＝－，故④错误．
所以运算错误的个数为3.
考向❷ 导数的运算与导数几何意义的应用
例2 设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c(其中a>0)，曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(1) 求b，c的值；
(2) 当a＝4时，求过点(0，c)与曲线y＝f(x)相切的直线方程．
解析：(1) 由题意得，f′(x)＝x2－ax＋b.
因为曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1，
所以解得
(2) 由(1)知b＝0，c＝1.
又因为a＝4,
所以f(x)＝x3－2x2＋1，则f′(x)＝x2－4x.
设切点M(m，m3－2m2＋1)，
所以k＝f′(m)＝m2－4m，则切线方程为y－m3＋2m2－1＝(m2－4m)(x－m)，将点(0，1)代入得1－m3＋2m2－1＝(m2－4m)(0－m)，解得m＝0或m＝3，
所以过点(0，1)与曲线y＝f(x)相切的直线方程为y＝1或3x＋y－1＝0.
对于例2中的f(x)，若过点(0，2)可作曲线y＝f(x)的三条不同的切线，求实数a的取值范围.
解析：设切点为(t，f(t))．过点(0，2)可作曲线y＝f(x)的三条不同的切线，等价于方程f(t)－2＝f′(t)(t－0)有三个相异的实根，
即等价于方程t3－t2＋1＝0有三个相异的实根．
设g(t)＝t3－t2＋1，
则由g′(t)＝2t2－at>0得t<0或t>；
由g′(t)＝2t2－at<0得 02时满足题意，
故实数a的取值范围是(2，＋∞).
考向❸ 导数运算的灵活应用
例3 已知f1(x)＝sin x＋cos x，f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn(x)＝f′n－1(x)，n∈N*，n≥2，求f1＋f2＋…＋f2 014的值．
解析：因为f1(x)＝sinx＋cosx，
所以f2(x)＝f′1(x)＝cosx－sinx，
f3(x)＝f′2(x)＝－sinx－cosx＝－f1(x)，
f4(x)＝f′3(x)＝－cosx＋sinx＝－f2(x)，
即f1(x)＋f2(x)＋f3(x)＋f4(x)＝0.
又因为f5(x)＝f′4(x)＝sinx＋cosx＝f1(x)，
所以fn(x)是周期为4的周期函数，则f1＋f2＋…＋f2 014＝f1＋f2＝1＋0＋0－1＝0.
自测反馈
1. 已知曲线y＝x2－2x＋1，则在点(1，0)处的切线方程为__y＝0__．
解析：由题意得，点(1，0)在曲线y＝x2－2x＋1上，所以切点为(1，0)．因为y′＝2x－2，当x＝1时，y′＝0，所以切线的斜率为0，所以切线方程为y＝0.
2. 若直线y＝x＋a与曲线y＝lnx相切，则a的值为__－1__．
解析：设切点为(x0，x0＋a)，y＝lnx的导数为y′＝，所以＝1，即x0＝1，所以切点为(1，1＋a)．又因为切点也在曲线y＝lnx上，所以1＋a＝ln1，解得a＝－1，故a的值为－1.
3. 曲线y＝－在点M处的切线的斜率为____．
解析：由题意知，点M在曲线y＝－上，所以切点为.因为y′＝，当x＝时，y′＝＝，所以曲线y＝－在点M处的切线的斜率为.
4. 曲线f(x)＝ex－xf(0)＋x2在点(1，f(1))处的切线方程为__y＝ex－__．
解析：由题意得，f′(x)＝ex－f(0)＋x，所以
即所以原函数的表达式可化为f(x)＝ex－x＋x2，所以f(1)＝e－，所以所求切线的方程为y－＝e(x－1)，即y＝ex－
1. 准确应用求导公式和根据函数结构选择合适的求导法则是正确求导的前提．
2. 直线和函数类曲线的相切问题需要明确：“在点P处”的曲线切线方程，一定是以点P为切点，“过点P处”的曲线切线方程，不论点P是否在曲线上，点P都不一定是切点．
3. 你还有哪些体悟，写下来：