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- 2021-04-19 发布
第3节 数列的综合
题型76 等差数列与等比数列的综合
1. （2013江苏19）设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和.记，，其中为实数.
（1）若，且成等比数列，证明：（）；
（2）若是等差数列，证明：.
1.分析 （1）利用将表示出来，然后根据成等比数列，得到与的关
系，可验证；（2）先由成等差数列，得到关于的等式，求得的值后
再代入验证.
解析 （1）由，得.
又因为成等比数列，所以，即，化简得因为，所以.因此，对于所有的，有.从而对于所有的，有.
（2）设数列的公差是，则，即，代入的表达式，整理得，对于所有的，有
.
令，则对于所有的，有. （*）在（*）式中分别取得
，
从而有
由②③得，代入方程①，得，从而，即
.若，则由，得，与题设矛盾，所以.又因为，所以.
2．(2013福建文17）已知等差数列的公差，前项和为.
（1）若成等比数列，求；
（2）若，求的取值范围.
2.分析（1）利用等比中项求解；（2）利用通项公式与求和公式将不等式转化为含有首项的
不等式求解.
解析（1）因为数列的公差，且成等比数列，所以，即，解得.
（2）因为数列的公差，且，所以，即，解得.
3. (2013天津文19）已知首项为的等比数列的前项和为， 且成等差数列.
（1）求数列的通项公式;
（2）证明.
3.分析 （1）利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；（2）求出前项
和，根据函数的单调性证明.
解析 （1）设等比数列的公比为.
因为成等差数列，所以即可得于是又因为所以等比数列的通项公式为
（2）
当为奇数时，随的增大而减小，所以
当为偶数时，随的增大而减小，所以
故对于有
4.（2013湖北文19）已知是等比数列的前项和，，，成等差数列，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在正整数，使得？若存在，求出符合条件的所有的集合；若不存在，说明理由．
4.分析 首先由成等差数列，且，求得和公比，进而得通
项公式；然后根据等比数列的前项和公式列出关于的不等式，通过解不等式进而做出
判断.
解析 （1）设等比数列的公比为，则.
由题意得即解得
故数列的通项公式为.
（2）由（1）有.假设存在，使得，则，即.
当为偶数时，，上式不成立；
当为奇数时，，即，即.
综上，存在符合条件的正整数，且所有这样的的集合为.
5.（2014天津文5）设是首项为，公差为的等差数列，为其前项和，若成等比数列，则=（ ）.
A. B. C. D .
6.（2014新课标Ⅱ文5）等差数列的公差为，若成等比数列，则的前项和（ ）.
A. B. C. D.
7.（2014北京文15）（本小题满分13分）已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列.
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和.
7. 解析 （I）设等差数列的公差为，由题意得.所以.设等比数列的公比为，由题意得，解得.所以.从而.
（II）由（I）知.数列的前项和为，数列的前项和为.所以数列的前项和为.
评注 本题主要考查等差数列与等比数列通项同时及前项和公式，考查数列综合应用.属基础题.
8．（2014湖北文19）（本小题满分12分）
已知等差数列满足：，且，，成等比数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记为数列的前项和，是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.
9.（2014重庆文16）（本小题满分13分.（I）小问6分，（II）小问5分）
已知是首项为1，公差为2的等差数列，表示的前项和.
（I）求及；
（II）设是首项为2的等比数列，公比满足，求的通
项公式及其前项和.
10.（2016北京文15）已知是等差数列，是等比数列，且，，，.
（1）求的通项公式；
（2）设 ，求数列的前项和.
10.解析 （1）等比数列的公比，所以，.
设等差数列的公差为.因为，，
所以，即.所以.
（2）由（1）知，，.因此.
从而数列的前项和
.
11.（2016全国乙文17）已知是公差为3的等差数列，数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）求的前n项和.
11.解析 （1）由题意令中，即，
解得，故.
（2）由（1）得，即，
故是以为首项，为公比的等比数列，即，
所以的前项和为.
12.（2016四川文19）已知数列的首项为，为数列的前项和，，其中，.
（1）若，，成等差数列，求数列的通项公式；
（2）设双曲线的离心率为，且，求.
12.解析 （1）由已知，，，
两式相减得到，.
又由，得到，故对所有都成立.
所以数列是首项为，公比为的等比数列.从而.
由，，成等差数列，可得，所以，故.
所以.
（2）由（1）可知，.
所以双曲线的离心率.
由，解得.
所以
13.（2016天津文18）已知是等比数列，前项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）若对任意的，是和的等差中项，求数列的前项和.
13.解析 （1）数列的公比为，由已知有，解得.
又由知，所以，解得，所以.
（2）由题意得，即数列是首项为，公差为的等差数列.设数列的前项和为，
则.
14.（2017天津文18）已知为等差数列，前项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，,，.
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
14.解析 （1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由已知，，得，而，所以.又因为，解得，所以.由，可得 ①
由，可得 ②
联立式①②，解得，，由此可得.
所以的通项公式为，的通项公式为.
（2）设数列的前项和为，由，有，
，
上述两式相减，得
，得.
所以数列的前项和为.
题型77 数列与函数、不等式的综合
1.（2014四川文19）(本小题满分12分)
设等差数列的公差为，点在函数的图像上.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若，函数的图像在点处的切线在轴上的截距为，求数列的前项和.
2.（2015陕西文21）设
（1）求.
（2）证明：在内有且仅有一个零点（记为），且.
2.解析 (1)由题设，
所以，
所以，由错位相减法求得：
，
所以；
(2)因为，，
所以在内至少存在一个零点.
又，所以在内单调递增，
因此，在内有且只有一个零点，由于，
所以，由此可得，
故，所以.
3.（2016上海文14）无穷数列由个不同的数组成，为的前项和，若对任意，，则的最大值为 .
3.解析 由题意或，或，依此类推，
又与具备等价性，因此不妨考虑设，
若，则；若，则.
按照这种逻辑，可以出现序列，或者序列
因此最大化处理可以出现，所以最大值为.
4.（2016上海文22）对于无穷数列与，记，，若同时满足条件：
①，均单调递增；
②且，则称与是无穷互补数列.
（1）若，，判断与是否为无穷互补数列，并说明理由；
（2）若=且与是无穷互补数列，求数列的前项的和；
（3）若与是无穷互补数列，为等差数列且，求与的通项
公式.
4.解析 （1）易知，，
而，，所以，从而与不是无穷互补数列.
（2）由题意，因为，所以.
数列的前项的和为.
（3）设的公差为，，则.由，得或.
若，则，，与“与是无穷互补数列”矛盾，
因为此时不是无穷数列；若，则，，.
综上所述，，.
5.（2016江苏20）记.对数列和的子集，若，定义；若，定义.假如：时，.现设是公比为的等比数列，且当时，.
（1）求数列的通项公式；
（2）对任意正整数，若，求证：；
（3）设，，，求证：.
5. 解析 （1）当时，，因此，
从而，.
（2）.
（3）下面分三种情况给予证明.
①若是的子集，则.
②若是的子集，则.
③若不是的子集，且不是的子集.
令，，则，，.
于是，，进而由得.
设为中的最大数，为中的最大数，则，，.
由（2）知，.于是，所以，即.又，故.
从而 ，
故，所以，即.
综合①②③得，.
6.（2017浙江22）已知数列满足：，.证明：当时.
（1）；
（2）；
（3）.
6.解析 （1）用数学归纳法证明：.
当时，，假设时，，
那么时，若，则，矛盾，故.
因此，所以.
因此.
（2）由，得.
记函数.
，
知函数在上单调递增，所以，
因此，即.
（3）因为，得，以此类推，，所以，故.
由（2）知，，即，
所以，故.
综上，.
题型80 数列的应用题——暂无