2020-2021学年数学新教材人教B版必修第四册教案：第10章 10 9页

www.ks5u.com ‎10.1　复数及其几何意义 ‎10.1.1　‎复数的概念 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1.了解数集的扩充过程，了解引进复数的必要性．(重点)‎ ‎2．理解复数及其相关概念：实部、虚部、虚数、纯虚数等，明确复数的分类．(重点、难点)‎ ‎3．理解复数的代数表示法．(重点)‎ ‎4．掌握复数相等的充要条件，并能应用这一条件解决有关问题．(易混点)‎ 通过复数的概念学习，提升数学抽象素养.‎ ‎　‎ 第一次认真讨论复数的是文艺复兴时期意大利有名的数学“怪杰”卡丹，他是1545年开始讨论复数的，当时复数也被称为“诡辨量”．几乎过了100年笛卡尔才给出这种“虚幻之数”取了个名字——虚数．又过了140年，欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之中”，并用i(imaginary，即虚幻的缩写)来表示它的单位．后来德国数学家高斯给出了复数的定义，但他仍感到这种数虚无缥缈.1830年高斯详细论述了用直角坐标系上复平面上的点表示复数a＋bi，使复数有了立足之地，人们才最终承认了复数．到今天复数已经成为现代数学科技中普遍运用的数量工具之一．如复数在流体力学、热力学、机翼理论等领域都有广泛应用，它已渗透到代数学、数论、微分方程等数学分支，随着科学和技术的进步，复数理论已越来越显出它的重要性，在证明机翼上升力的基本定理中起了重要作用，并在解决堤坝渗水问题中显示了它的威力，也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据．‎ 思考：我们如何正确理解虚数单位i?‎ ‎1．复数的概念及分类 ‎(1)数系的扩充及对应的集合符号表示 →→→→ ‎　 ↓　　　↓　　　 ↓　　　↓　　 ↓‎ ‎　N―――→Z――→Q――――→R――――→C ‎[拓展]‎ 数系扩充时，一般要遵循以下原则：‎ ‎(1)增添新元素，新旧元素在一起构成新数集；‎ ‎(2)在新数集里，定义一些基本关系和运算，使原有的一些主要性质(如运算定律)依然适用；‎ ‎(3)旧元素作为新数集里的元素，原有的运算关系保持不变；‎ ‎(4)新的数集能够解决旧的数集不能解决的问题．‎ ‎(2)复数的有关概念 ‎(3)复数的分类 ‎②集合表示 ‎2．两个复数相等的充要条件 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中，任取两个复数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.‎ 思考：两个实数可以比较大小，复数集中不全是实数的两个数能否比较大小？为什么？‎ ‎[提示]　不能比较大小，如i和0.‎ 若i＞0，则i·i＞0·i，‎ 即－1＞0，不成立．‎ 若i＜0，则i·i＞0·i，‎ 即－1＞0，不成立．‎ ‎1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数． (　　)‎ ‎(2)若a为实数，则z＝a一定不是虚数． (　　)‎ ‎(3)bi是纯虚数． (　　)‎ ‎(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等． (　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√‎ ‎2．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为(　　)‎ A．－2 B． C．－ D．2‎ D　[复数2－bi的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－(－b)，∴b＝2.]‎ ‎3．如果(x＋y)i＝x－1，则实数x，y的值分别为________．‎ ‎1，－1　[∵(x＋y)i＝x－1，‎ ‎∴∴x＝1，y＝－1.]‎ ‎4．已知a是实数，i是虚数单位，若z＝a2－1＋(a＋1)i是纯虚数，则a＝________.‎ ‎1　[∵z＝a2－1＋(a＋1)i是纯虚数，‎ ‎∴解得a＝1.]‎ 复数的概念 ‎【例1】　(1)给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1的虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为(　　)‎ A．0 B．‎1 C．2 D．3‎ ‎(2)(一题两空)已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是a＝________，b＝________.‎ ‎(3)下列命题正确的是__________(填序号)．‎ ‎①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋2i的充要条件是x＝1，y＝2；‎ ‎②若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；‎ ‎③实数集的补集是虚数集．‎ ‎(1)B　(2)±　5　(3)③　[(1)对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－1＜0，所以①为假命题；‎ 对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，所以②为假命题；‎ 对于③，2i＝0＋2i，其实部是0，所以③为真命题．‎ ‎(2)由题意，得a2＝2，－(2－b)＝3，所以a＝±，b＝5.‎ ‎(3)①由于x，y都是复数，故x＋yi不一定是代数形式，因此不符合两个复数相等的充要条件，故①是假命题．‎ ‎②当a＝0时，ai＝0为实数，故②为假命题．‎ ‎③由复数集的分类知，③正确，是真命题．]‎ 判断与复数有关的命题是否正确的方法 ‎(1)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．‎ ‎(2)化代数式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部．‎ ‎1．对以下命题：‎ ‎①1＋i2＝0；‎ ‎②若a，b∈R，且a＞b，则a＋i＞b＋i；‎ ‎③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0；‎ ‎④两个虚数不能比较大小．‎ 其中，正确命题的个数是(　　)‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ B　[对于①，因为i2＝－1，所以1＋i2＝0.故①正确．‎ 对于②，两个虚数不能比较大小，故②错．‎ 对于③，当x＝1，y＝i时x2＋y2＝0成立，故③错．④正确．]‎ 复数的分类 ‎【例2】　(1)复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是(　　)‎ A．|a|＝|b| B．a<0且a＝－b C．a>0且a≠b D．a>0且a＝±b ‎(2)已知m∈R，复数z＝＋(m2＋‎2m－3)i，当m为何值时，‎ ‎①z为实数？②z为虚数？③z为纯虚数？‎ ‎[思路探究]　依据复数的分类列出方程(不等式)组求解．‎ ‎(1)D　[要使复数z为纯虚数，则∴a>0，a＝±b.故选D．]‎ ‎(2)[解]　①要使z为实数，需满足m2＋‎2m－3＝0，且有意义，即m－1≠0，解得m＝－3.‎ ‎②要使z为虚数，需满足m2＋‎2m－3≠0，且有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.‎ ‎③要使z为纯虚数，需满足＝0(m≠1)，且m2＋‎2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.‎ 若把本例(1)中的“纯虚数”改为“实数”，则结果如何？‎ ‎[解]　复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，‎ 即|a|＝－a，所以a≤0.‎ 含参数的复数问题解题技巧 ‎(1)判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数，首先，参数的取值要保证复数有意义，然后按复数表示实数、虚数、纯虚数等各类数的充要条件求解．‎ ‎(2)对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，既要从整体的角度去认识它，把复数z看成一个整体，又要从实部与虚部的角度分解成两部分去认识它．‎ ‎(3)形如bi的数不一定是纯虚数，只有限定条件b∈R且b≠0时，形如bi的数才是纯虚数．‎ 复数相等的充要条件 ‎[探究问题]‎ ‎1．a＝0是复数z＝a＋bi为纯虚数的充分条件吗？‎ ‎[提示]　因为当a＝0且b≠0时，z＝a＋bi才是纯虚数，所以a＝0是复数z＝a＋bi为纯虚数的必要不充分条件．‎ ‎2．3＋2i＞3＋i正确吗？‎ ‎[提示]　不正确，如果两个复数不全是实数，那么它们就不能比较大小．‎ ‎【例3】　(1)若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求实数x，y的值；‎ ‎(2)关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值．‎ ‎[思路探究]　根据复数相等的充要条件求解．‎ ‎[解]　(1)由复数相等的充要条件，‎ 得解得 ‎(2)设方程的实根为x＝m，‎ 则原方程可变为‎3m2‎－m－1＝(10－m－‎2m2‎)i，‎ 所以 解得或 所以实数a的值为11或－.‎ 复数相等问题的解题技巧 ‎(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．‎ ‎(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化的体现．‎ ‎2．已知x2＋y2－6＋(x－y－2)i＝0，求实数x，y的值．‎ ‎[解]　由复数相等的条件得方程组 由②得x＝y＋2，代入①得y2＋2y－1＝0.‎ 解得y1＝－1＋，y2＝－1－.‎ 所以x1＝y1＋2＝1＋，x2＝y2＋2＝1－.‎ 即或 知识：‎ ‎1．区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别．对于纯虚数bi(b≠0，b∈R)不要只记形式，要注意b≠0.‎ ‎2．应用两复数相等的充要条件时，首先要把等号左右两边的复数写成代数形式，即分离实部与虚部，然后列出方程(组)求解．‎ ‎3．若两个复数全是实数，则可以比较大小，反之，若两个复数能比较大小，则它们必是实数．‎ 方法：‎ 确定不同数集间的包含关系时，可借助维恩图进行数形结合．‎ ‎1．下列命题中是假命题的是(　　)‎ A．自然数集是非负整数集 B．实数集与复数集的交集为实数集 C．实数集与虚数集的交集是{0}‎ D．纯虚数集与实数集的交集为空集 C　[复数可分为实数和虚数两大部分，虚数中含有纯虚数，因此，实数集与虚数集没有公共元素，C是假命题．]‎ ‎2．设x∈R，i是虚数单位，则“x＝‎2”‎是“复数z＝(x2－4)＋(x＋2)i为纯虚数”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 C　[若复数z＝(x2－4)＋(x＋2)i(x∈R)为纯虚数，则解得x＝2.∴“x＝‎2”‎是“z是纯虚数”的充要条件．故选C．]‎ ‎3．下列命题：‎ ‎①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；‎ ‎②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则x＝±1；‎ ‎③两个复数不能比较大小．‎ 其中假命题的序号是__________．‎ ‎①②③　[当a＝－1时，(a＋1)i＝0，故①错误；若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则即x＝1，故②错；两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的，③中忽视了这一特殊情况，故③错．]‎ ‎4．若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i＜0，则实数m＝________.‎ ‎－3　[∵z＜0，∴∴m＝－3.]‎ ‎5．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋‎5m＋6)＋(m2－‎2m－15)i，‎ ‎(1)是实数？(2)是虚数？(3)是纯虚数？(4)是0?‎ ‎[解]　由m2＋‎5m＋6＝0得，m＝－2或m＝－3，由m2－‎2m－15＝0得m＝5或m＝－3.‎ ‎(1)当m2－‎2m－15＝0时，复数z为实数，∴m＝5或m＝－3.‎ ‎(2)当m2－‎2m－15≠0时，复数z为虚数，∴m≠5且m≠－3.‎ ‎(3)当时，复数z是纯虚数，∴m＝－2.‎ ‎(4)当时，复数z是0，∴m＝－3.‎