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- 2021-04-19 发布
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北京师大附中2017-2018学年下学期高二年级期中考试数学试卷（文科）
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人
得分
一、单选题
1．设集合，集合，则集合等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
选A
2．已知函数的图象关于对称，且在上单调递增，设，，，则的大小关系为 ( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】分析：首先根据题意知函数图像关于对称，即可知，再结合在上单调递增，得出，即可得出答案.
详解：因为函数图像关于对称，所以，又在上单调递增，所以，即，故选B.
点睛：这是一道关于函数的对称性和函数的单调性应用的题目，解题的关键是熟练掌握函数的对称性和单调性.
3．3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】试题分析：选项B是偶函数，选项C、D是偶函数，故选A．
考点：函数的奇偶性．
视频
4．设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为 ( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意知2b=2,2c=2,
∴b=1,c=,a2=c2-b2=2,a=,
∴渐近线方程为y=±x=±x=±x.故选C.
视频
5．设全集U是实数集R，与都是U的子集（如右图所示），则阴影部分所表示的集合为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：，阴影部分为
考点：集合的交并补运算
6．“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若，则，从而有。若，则，即，可得，此时不一定成立。所以“”是“”的充分不必要条件，故选A
7．当时，关于函数，下列叙述正确的是( )
A. 函数f(x)有最小值2 B. 函数f(x)有最大值2
C. 函数f(x)有最小值3 D. 函数f(x)有最大值3
【答案】C
【解析】分析：根据题中的条件，可得，之后应用基本不等式可求得结果.
详解：因为，所以，所以 ，当且仅当，即时取等号，所以函数有最小值3，故选C.
点睛：该题考查的是有关应用基本不等式求最值的问题，在求解的过程中，需要抓住题的条件，得到，从而将函数解析式凑成积为定值的两个式子的和的形式，之后应用基本不等式求得其最小值，注意等号成立的条件.
8．定义在区间[a，b]上的连续函数y=f(x)，如果，使得，则称为区间[a，b]上的“中值点”，下列函数：
①； ②； ③； ④中，在区间[O，1]上“中值点”多于一个的函数序号为( )
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①④
【答案】D
【解析】分析：根据题意，“中值点”的几何意义是在区间上存在点，使得函数在该点的切线的斜率等于区间的两个端点连线的斜率值，分别画出四个函数的图像，如图，由此定义再结合函数的图像与性质，对于四个选项逐个加以判断，即得正确答案.
详解：据题意，“中值点”的几何意义是在区间
上存在点，使得函数在该点的切线的斜率等于区间的两个端点连线的斜率值，如图，
对于①，根据题意，在区间上的任何一点都是“中值点”，故①正确；
对于②，根据“中值点”函数的定义，抛物线在区间只存在一个“中值点”，故②不正确；
对于③，在区间只存在一个“中值点”，故③不正确；
对于④，根据对称性，函数在区间存在两个“中值点”，故④正确，故答案是①④.
点睛：该题考查的是有关新定义的问题，需要从题中读出对应的条件的关键点，之后结合所给的定义，结合图像，得到结果，从而选出正确的选项.
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
9．已知复数为纯虚数，则实数__________．
【答案】2
【解析】由题复数为纯虚数，则有
10．若，则的解集为__________．
【答案】
【解析】分析：首先对函数进行求导，即，令其大于零，由此对该不等式进行求解；由于，可将其转化为一元二次不等式，通过解不等式即可求得x的取值范围，从而完成解答.
详解：，即，注意到函数的定义域是，所以不等式可以转化为，即，从而解得，所以的解集为.
点睛：本题是一道关于导数运算的题目，掌握函数的求导方法以及相应的求导公式，还有解不等式的方法是解题的关键，要时刻关注函数的定义域.
11．已知函数若，则实数＝ .
【答案】2
【解析】试题分析：由，则，所以，解得.
考点：分段函数的解析式及应用.
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12．已知，则的最小值是__________．
【答案】
【解析】分析：利用题设中的等式，把的表达式转化成，展开后，利用基本不等式求得y的最小值.
详解：因为，所以，所以（当且仅当时等号成立），则的最小值是，总上所述，答案为.
点睛：该题考查的是有关两个正数的整式形式和为定值的情况下求其分式形式和的最值的问题，在求解的过程中，注意相乘，之后应用基本不等式求最值即可，在做乘积运算的时候要注意乘1是不变的，如果不是1，要做除法运算.
13．已知函数的导函数的图像如图所示，给出以下结论：
①函数在（-2，-1）和(1，2)是单调递增函数；
②函数在x=0处取得极大值f(0)；
③函数在x=-1处取得极大值，在x=1处取得极小值；
④函数f(x)在(-2，0)上是单调递增函数，在(0，2)上是单调递减函数．
则正确命题的序号是___________．（填上所有正确命题的序号）
【答案】②④
【解析】分析：由图像可以看出在，在上，所以在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，从而得到正确的结论.
详解：由图像可以看出在，在上，所以在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，故①错，②④正确，③错，故正确命题的序号为②④.
点睛：该题考查的是通关观察的图像，来分析得出的性质，利用导数大于零函数单调增，导数小于零，函数单调减，从而得到相应的极值点，得到结果.
14．如图，矩形ABCD与矩形ADEF所在的平面互相垂直，将△DEF沿FD翻折，翻折后的点E（记为点P）恰好落在BC上，设AB=1，FA =x(x>1)，AD=y．则当x=时，y有最小值___________．
【答案】2
【解析】分析：由已知得，，，从而，，，进而得到，由此利用换元法以及二次函数的性质求出结果.
详解：因为矩形与矩形所在的平面互相垂直，，所以，，，在中，，在中，，在中，，因为
，整理得，令，则，则当，即时，取得最小值2，故答案为2.
点睛：该题考查的是有关多边形翻折后所对应的线段的长度问题，在解题的过程中，需要认真分析几何图形，弄清翻折前后对应的不变量，以及对应的线段之间的关系，利用函数，从而求得结果.
评卷人
得分
三、解答题
15．己知函数．
( I)求函数f(x)的极值；
(II)求函数f(x)在[0,2]上的最大值。
【答案】（I）极大值，极小值；（II）最大值
【解析】分析：( I) 求导数得到函数的单调性，然后可得极值．(II)结合函数的单调性求得在区间[0,2]上的极值和端点处的函数值可得结论．
详解：( I)∵，
∴，
∴当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增.
∴当时，有极大值，且极大值为；
当时，有极小值，且极小值为．
（II）由( I)知，在上单调递减，在上单调递增，
又
∴在[0,2]最大值为．
点睛：求函数的极值时首先要判断出函数的单调性，结合单调性可得到函数的极值；求最值时也要在函数单调性的基础上，通过求出函数的极值和区间的端点值，比较大小后可得所求．
16．已知集合A是函数的定义域，集合B是不等式的解集，．
（I）若，求a的取值范围；
（II）若是q的充分不必要条件，求a的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】分析：（1）分别求函数的定义域和不等式的解集，从而确定集合A,B，由，得到区间端点值之间的关系，解不等式组得到的取值范围；
（2）求出对应的的取值范围，由是的充分不必要条件得到对应的集合之间的关系，由区间端点值的关系列不等式组求解的取值范围.
详解：（1）由题意得．
若，则必须满足，解得．
∴a的取值范围为．
（2）易得．
∵是q的充分不必要条件，
∴是的真子集，则，
解得，
∴a的取值范围是．
点睛：该题所涉及的考点有交集及其运算，充分不必要条件，复合命题的真假，解题的关键是先确定集合中的元素，再者就是两集合交集为空集时对应参数的取值范围，可以借助于数轴来完成.
17．设F为抛物线的焦点，A、B是抛物线C上的两个动点，O为坐标原点．
(I)若直线AB经过焦点F，且斜率为2，求线段AB的长度|AB|；
(II)当OA⊥OB时，求证：直线AB经过定点M(4，0)．
【答案】（Ⅰ）5；（Ⅱ）直线AB经过定点M（4,0）
【解析】分析：（I）由题意得到直线AB的方程，代入抛物线方程后，结合根据系数的关系和弦长公式可得所求．（II）设直线AB的方程为，代入抛物线方程消去x后得到二次方程，由OA⊥OB及根与系数的关系可得，从而证得直线过定点．
详解：（I）由题意得F（1,0），则直线AB的方程为．
由，消去y整理得．
其中△=5>0．
设点，
则，
所以．
（II）方法一：因为A，B是抛物线C上的两点，
所以设，
由OA⊥OB得，
所以．
所以
因为，
所以∥，
即直线AB经过定点M（4,0）．
方法二：设直线AB的方程为，
由消去x整理得，
∵直线AB与抛物线交于两点，
∴．
设，
则．
∵OA⊥OB，
∴
，
∴，
解得，
∴直线AB的方程为，
∴直线AB经过定点M（4,0）．
点睛：（1）求弦长时注意公式的运用，解题时要注意整体代换方法的利用，以减少运算量．
（2）解决直线过定点问题时，可假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点．
18．已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E，F分别是PB,PD的中点．
（I）求证：PB∥平面FAC；
（II）求三棱锥P-EAD的体积；
（III）求证：平面EAD⊥平面FAC．
【答案】（1）见解析（2）（3）见解析
【解析】分析：（1）连接BD，与AC交于点O，连接OF，推导出OF∥PB，由此能证明PB//平面FAC；
（2）由PA⊥平面ABCD，知为棱锥的高，由，知，由此能求出结果；
（3）推导出，从而平面，进而平面，由此能证明平面平面.
详解：（I）连接BD，与AC交于点O，连接OF，
在△PBD中，O，F分别是BD，PD中点，
所以OF∥PB，
又因为OF平面FAC， PB平面FAC，
所以PB//平面FAC，
（II）法1：因为PA⊥平面ABCD，AB,AD平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥AD，
又因为AB⊥AD，，PA,AB平面PAB，
所以AD⊥平面PAB，
在直角△PAB中，PA=AB=2，E为PB中点，
所以，
所以三棱锥P-EAD的体积为．
法2：因为PA⊥平面ABCD，所以PA为棱锥P-ABD的高．
因为PA=AB=2，底面ABCD是正方形，
所以，
因为E为PB中点，所以，
所以．
（III）证明：
因为AD⊥平面PAB，PB平面PAB，
所以AD⊥PB，
在等腰直角△PAB中，AE⊥PB，
又，AE,AD平面EAD，
所以PB⊥平面EAD，
又OF∥PB，
所以OF⊥平面EAD，
又OF平面FAC，
所以平面EAD⊥平面FAC．
点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，三棱锥的体积，面面垂直的判定，在解题的过程中，需要将相关的结论都熟练掌握，对应的条件都写全即可.
19．已知椭圆，点P(2，0)．
(I)求椭圆C的短轴长与离心率；
( II)过(1，0)的直线与椭圆C相交于M、N两点，设MN的中点为T，判断|TP|与|TM|的大小，并证明你的结论．
【答案】（Ⅰ）短轴长为，离心率为．（Ⅱ）见解析
【解析】分析：（Ⅰ）由题意可得，，于是可得短轴长与离心率．（Ⅱ）方法一：通过判断点P与以MN为直径的圆的位置关系可得结论．方法二：运用作差比较的方法判断大小关系．
详解：（I）由题意的椭圆的方程为，
∴
∴，．
∴椭圆C的短轴长为，离心率为．
（II）方法1：结论是：．
当直线斜率不存在时，．
当直线斜率存在时，设直线
由消去y整理得，
∵直线与椭圆交于两点，
∴．
设，
则．
又
∴，
∴点P在以MN为直径的圆内，
故．
（II）方法2：结论是．
当直线斜率不存在时，
当直线斜率存在时，设直线
由消去y整理得，
∵直线与椭圆交于两点，
∴．
设，
则，
∴，
∴
，
，
∵，
∴．
点睛：解决探索性问题的常用方法：
（1）假设满足条件的元素(点、直线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线或参数)存在；否则，元素(点、直线或参数)不存在．
（2）反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法．
20．已知函数
(I)求函数在点(1，0)处的切线方程；
(II)设实数k使得f(x)< kx恒成立，求k的范围；
(III)设函数，求函数h(x)在区间上的零点个数．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析。
【解析】分析：（I）根据导数的几何意义求解即可．（II）分离参数，转化为
恒成立求解．令，可求得函数的最大值为，进而可得结论．（III）由分离参数可得，借助（II）中的结论并结合函数的图象根据数形结合的方法可得函数零点的个数．
详解：（I）∵，
∴，
∴，
∴所求切线方程为，
即．
（II）由题意得恒成立等价于对恒成立．
令，则，
当时，单调递增；当时，单调递减，
∴当时，有最大值，且最大值为，
∴．
∴实数k的范围是．
（III）由，即，
得，
∴函数h(x)在区间上的零点个数即为函数的图象与函数的图象在上的公共点的个数．
由（II）得函数在上单调递增，在上单调递减，且的最大值为，
又，．
∴当或者时，函数有0个零点；
当或者时，函数有1个零点；
当时，函数有2个零点．
点睛：研究函数的零点的个数、方程根的情况时，可以通过导数研究函数的单调性、最值、变化趋势等，画出函数图象的大体图象，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，以使得问题的求解有一个清晰、直观的展现．