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- 2021-04-19 发布
赤峰二中 2016 级高二上学期第三次月考
理科数学试题
一、选择题（每题5分共60分）
1 复数 的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
2 若 ， ，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3 若双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ）．
A. B. C. D.
4 设函数 在 上可导，其导函数为 ，如图是函数 的
图象，则 的极值点是( )
A. 极大值点 ，极小值点 B. 极小值点 ，极大值点
C. 极值点只有 D. 极值点只有
5 如图是一个几何体的三视图（尺寸的长度单位为 ），则它的体积是（ ） .
A. B. C. D.
6 若函数 在区间 单调递增，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
i
i
21
2
−
+
i5
3− i− i i5
3
: 1p x > 1: 1q x
< p q
2 2
2 2 1x y
a b
− = 3
2y x= ± 2y x= ± 1
2y x= ± 2
2y x= ±
( )f x R ( )'f x )(xfx ′
( )f x
2x = − 0x = 2x = − 0x =
2x = − 0x =
cm 3cm
1
1
侧视图正视图
3 2
3
3 3 18 2 3 18+ 3
( ) 21
2
xf x ke x= − ( )0,+∞ k
1 ,e
+∞
( )0,+∞ 1 ,e
+∞
[ )0,+∞
7 已知点 是双曲线 （ ， ）右支上一点， 是右焦点，若
（ 是坐标原点）是等边三角形，则该双曲线离心率 为（ ）
A. B. C. D.
8 如图，过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于点 ，交其准线 于点 ，
若点 是 的中点，且 ，则线段 的长为（ ）
A. B. C. D.
9 做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是 ，且用料最省，则圆柱的底面半径为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
10 已知定义在 上的可导函数 的导函数为 ，满足 ，且 ，
则不等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
11 若函数 在区间 内有极小值，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
12 已知函数 ，关于 的不等式 只有两个整数解，则实
数 的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题（每题 5 分，共 20 分）
13 函数 的单调减区间为___________________．
14 曲线 与直线 所围成图形的面积 .
A
2 2
2 2 1x y
a b
− = 0a > 0b > F AOF∆
O e
2 3 1 2+ 1 3+
2 2 ( 0)y px p= > F A B、 l C
F AC 4AF = AB
5 6 16
3
20
3
64π
R ( )f x ( )'f x ( ) ( )'f x f x< ( )0 2f =
( ) 2 0xf x e− <
( ),0−∞ ( )0,+∞ ( )2,− +∞ ( ),2−∞
( ) ( )2
1 2 2ln2
axf x a x x= + − − 1 ,12
a
1, e
−∞ −
( ), 1−∞ − ( )2, 1− − ( ), 2−∞ −
( ) ( )ln 2xf x x
= x ( ) ( )2 0f x af x+ >
a
1 ,ln23
1ln2, ln63
− −
1ln2, ln63
− −
1 ln6,ln23
−
xxxf ln)( −=
xy 42 = 42 −= xy
15 设曲线 在点(0,1)处的切线与曲线 上点 P 处的切线垂直，则 P 的坐标
为________．
16 已知函数 有两个零点，则 的取值范围是__________
三、简答题
17（本题 10 分）已知等差数列 满足： ， 的前 项和为
（1）求 及
（2）令 ,求 的前 项和
18（本题 12 分）在 中，内角 A,B,C 的对边分别为 ，已知
（1）求
（2）若 ，求 的面积
19（本题 12 分）如图，四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且 FA=FC．
（1）求证：AC⊥平面 BDEF； （2）求二面角 A﹣FC﹣B 的余弦值．
20(本小题满分 12 分)若函数 在 x＝1 处取得极值．
(1)求 的值；
(2)求函数 的单调区间及极值．
21 已知椭圆 上点 P 到左右焦点 的距离之和为 ，离心率为
xey = )0(1 >= xxy
( ) 2 lnf x x a x= − a
{ }na 26,7 753 =+= aaa { }na n nS
na nS
)(1
1
2
+∈−= Nnab
n
n
{ }nb n nT
ABC∆ cba ,,
b
ac
B
CA −=− 2
cos
cos2cos
A
C
sin
sin
2,4
1cos == bB ABC∆ S
xxaxxf ln3
42)( 2 −+=
a
)(xf
)0(12
2
2
2
>>=+ bab
y
a
x
21, FF 22
（1）求椭圆方程
（2）过右焦点 的直线 交椭圆于 A,B 两点
①若 轴上一点 M 满足 ，求直线 斜率 的值
② 为坐标原点，是否存在这样的直线 ，使 的面积最大值是 ？，若存在求出直
线 的方程，不存在说明原因理由
22 已知函数 ．
（Ⅰ）若关于 的不等式 在 上恒成立，求 的取值范围；
（Ⅱ）设函数 ，在（Ⅰ）的条件下，试判断 在 上是否存在极
值．若存在，判断极值的正负；若不存在，请说明理由．
2
2
2F l
y )3
1,0( MBMA = l k
O l ABOS∆ 2
2
l
( ) 1 1,af x nx a Rx
= + − ∈
x ( ) 1f x x> − + [ )1,+∞ a
( ) ( )f xg x x
= ( )g x 21,e
高二三模理数参考答案
选择题
BABCA CDCBB CC
填空题 13（0,1） 14 9 15 （1,1） 16
简答题
17
所以数列 的前 项和 = 。
18 （ Ⅰ ） 由 正 弦 定 理 得 所 以
),2( +∞e
{ }nb n nT 4( 1)
n
n +
2 sin ,a R A= 2 sin ,b R B= 2 sin ,c R C=
= , 即
, 即 有 ,
即 ,所以 =2.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知:
=2,即 c=2a,又因为 ,所以由余弦定理得：
，即 ,解得 ,所以 c=2,又因为
cosB= ，所以 sinB= ，故 的面积为 = .
19Ⅰ）证明：设 AC 与 BD 相交于点 O，
连接 FO．因为四边形 ABCD 为菱形，所以 AC⊥BD，且 O 为 AC 中点．
又 FA=FC，所以 AC⊥FO．
因为 FO∩BD=O，
所以 AC⊥平面 BDEF．
（Ⅱ）解：因为四边形 BDEF 为菱形，且∠DBF=60°，
所以△DBF 为等边三角形．
因为 O 为 BD 中点，所以 FO⊥BD，故 FO⊥平面 ABCD．
由 OA，OB，OF 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 O﹣xyz． …（9 分）
设 AB=2．因为四边形 ABCD 为菱形，∠DAB=60°，
则 BD=2 ， 所 以 OB=1 ， ． 所 以
．
所以 ， ．
设平面 BFC 的法向量为 =（x，y，z），
则有 ，
取 x=1，得 ．
∵平面 AFC 的法向量为 =（0，1，0）．
由二面角 A﹣FC﹣B 是锐角，得|cos＜ ， ＞|= = ．
所以二面角 A﹣FC﹣B 的余弦值为 ．
cosA-2cosC 2c-a=cosB b
2sin sin
sin
C A
B
−
sin cos 2sin cos 2sin cos sin cosB A B C C B A B− = − sin( ) 2sin( )A B B C+ = +
sin 2sinC A= sin
sin
C
A
sin
sin
c C
a A
= 2b =
2 2 2 2 cosb c a ac B= + − 2 2 2 12 4 2 2 4a a a a= + − × × 1a =
1
4
15
4 ABC∆ 1 1sin 1 22 2ac B = × × × 15
4
15
4
20 解：(1)f′(x)＝2ax＋2－ 4
3x，
由 f′(1)＝2a＋2
3＝0，得 a＝－1
3.
(2)f(x)＝－1
3x2＋2x－4
3ln x(x＞0)．
f′(x)＝－2
3x＋2－ 4
3x＝
－2(x－1)(x－2)
3x .
由 f′(x)＝0，得 x＝1 或 x＝2.
①当 f′(x)＞0 时，1＜x＜2；
②当 f′(x)＜0 时，0＜x＜1 或 x＞2.
当 x 变化时 f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (0,1) 1 (1,2) 2 (2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) 5
3 8
3－4
3ln 2
因此 f(x)的单调递增区间是(1,2)，单调递减区间是(0,1)，(2，＋∞)．
函数的极小值为 f(1)＝5
3，极大值为 f(2)＝8
3－4
3ln 2.
21 解：
所以椭圆方程为
（2）①设直线方程 ，
得
所以 AB 中点 G 的坐标
2,222)1( 21 =∴==+ aaPFPF
1,1,2
2 ==∴= bce
12
2
2
=+ yx
)1( −= xky ),(),,( 2211 yxByxA
=+
−=
12
)1(
2
2
yx
xky
0224)12( 2222 =−+−+ kxkxk
12
22,12
4
2
2
212
2
21 +
−=+=+
k
kxxk
kxx
12
2
221 +
−=+
k
kyy
)12,12
2( 22
2
+
−
+ k
k
k
k
当 解得
当 时，满足题意
综上 k 的取值为
②当斜率不存在时，
当斜率存在时，
综上：当方程为 时，三角形 ABO 的面积最大，最大值是
满足题意的直线存在，方程为
22 解：（Ⅰ）由 ，得 ．
即 在 上恒成立．
设函数 ， ．
则 ．
∵ ，∴ ．
∴当 时， ．
∴ 在 上单调递减．
∴当 时， ．
∴ ，即 的取值范围是 ．
（Ⅱ） ， ．
∴ ．
设 ，则 ．
由 ，得 ．
k
k
k
k
k
k 1
12
2
3
1
120
2
2
2 −=
+
−+
−
≠ 时，
2
11或=k
0=k
2
1,1,0
2
2212
1,2 =××== ∆ABOSAB 所以
22
22
2
2
2
221
)2
1(4
)1(212
224)12
4(22
1
+
+=+
−−+=−=∆
k
kk
k
k
k
kkyyS ABO 2
2<
1=x 2
2
1=x
( ) 1f x x> − + 1 1 1anx xx
+ − > − +
21 2a x nx x x> − − + [ )1,+∞
( ) 21 2m x x nx x x= − − + 1x ≥
( )' 1 2 1m x x nx x= − − +
[ )1,x∈ +∞ 1 0, 2 1 0nx x− ≤ − + <
[ )1,x∈ +∞ ( )' 1 2 1 0m x nx x= − − + <
( )m x [ )1,+∞
[ )1,x∈ +∞ ( ) ( ) ( )max 1 1m x m x m≤ = =
1a > a ( )1,+∞
( ) 2
1 1nx ag x x x x
= − + 21,x e ∈
( ) 2 2 3 3
1 1 1 2 2 1 2' nx a x x nx ag x x x x x
− − −= + − =
( ) 2 1 2h x x x nx a= − − ( ) ( )' 2 1 1 1 1h x nx nx= − + = −
( )' 0h x = x e=
当 时， ；当 时， ．
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减．
且 ， ， ．
据（Ⅰ），可知 ．
（ⅰ）当 ，即 时， 即 ．
∴ 在 上单调递减．
∴当 时， 在 上不存在极值．
（ⅱ）当 ，即 时，
则必定 ，使得 ，且 ．
当 变化时， ， ， 的变化情况如下表：
- 0 + 0 -
- 0 + 0 -
↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
∴当 时， 在 上的极值为 ，且 ．
∵ ．
设 ，其中 ， ．
∵ ，∴ 在 上单调递增， ，当且仅当
时取等号．
∵ ，∴ ．
1 x e≤ < ( )' 0h x > 2e x e< ≤ ( )' 0h x <
( )h x [ )1,e ( 2,e e
( )1 2 2h a= − ( ) 2h e e a= − ( )2 2h e a= −
( ) ( )2 1 0h e h< <
( ) 2 0h e e a= − ≤
2
ea ≥ ( ) 0h x ≤ ( )' 0g x ≤
( )g x 21,e
2
ea ≥ ( )g x 21,e
( ) 0h e > 1 2
ea< <
2
1 2, 1,x x e ∃ ∈ ( ) ( )1 2 0h x h x= = 2
1 21 x e x e< < < <
x ( )h x ( )'g x ( )g x
x ( )11, x 1x ( )1 2,x x 2x ( )2
2 ,x e
( )h x
( )'g x
( )g x
1 2
ea< < ( )g x 21,e ( ) ( )1 2,g x g x ( ) ( )1 2g x g x<
( ) 1 1 1 1
1 2 2
1 1 1 1
1 11nx x nx x aag x x x x x
− += + − =
( ) 1x x nx x aϕ = − + 1 2
ea< < 1 x e≤ <
( )' 1 0x nxϕ = > ( )xϕ ( )1,e ( ) ( )1 1 0x aϕ ϕ≥ = − >
1x =
11 x e< < ( )1 0g x >
∴当 时， 在 上的极值 ．
综上所述：当 时， 在 上不存在极值；当 时， 在
上存在极值，且极值均为正．
1 2
ea< < ( )g x 21,e ( ) ( )2 1 0g x g x> >
2
ea ≥ ( )g x 21,e 1 2
ea< < ( )g x 21,e