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- 2021-04-19 发布
普宁侨中 2017 届高三级第一学期第三次月考试卷·
文科数学
注意事项：
1、答题前，考生务必将自己的考号、班别、姓名写在答卷密封线内。
2、答案填写在答卷上，必须在指定区域内、用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，不能超出指
定区域或在非指定区域作答，否则答案无效。
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．）
1．复数 z 满足 zi－z＝4＋2i 的复数 z 为 ( )
A．3－i B．1＋3i C．3＋i D．－1－3i
2．已知集合 ， ，则 ( )
A． B．
C． D．
3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 ( )
A．y＝x＋sin 2x B．y＝x2－cos x C．y＝2x＋
1
2x D．y＝x2＋sin x
4．下列 4 个命题：
①命题“若 ，则 ”的逆否命题为“若 ，则 ”；
②若“ 或 ”是假命题，则“ 且 ”是真命题；
③若 ： ， ： ，则 是 的必要不充分条件；
④若命题 ：存在 ，使得 ，则 ：任意 ，均有 ；
其中正确命题的个数是 ( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
5．已知函数 的零点 ，且 ， ，则 ( )
A．2 B．3 C．4 D． 5
6．已知向量 与向量 夹角为 ，且 ， ，则 ( )
A． B． C． D．
{ }2 2 0A x x x= − > 2{ | 1}2
xB x x
−= ≤ A B =
[ 2,0 )− ( 2,0) (2, )− +∞
( , 2] (2, )−∞ − +∞ [ 1,0] [2, )− +∞
2 0x x− = 1x = 1x ≠ 2 0x x− ≠
p¬ q p q¬
p ( 2) 0x x − ≤ q 2log 1x ≤ p q
p x R∈ 22x x< p¬ x R∈ 22x x≥
( ) ln 2f x x x= + − 0 [ , ]x a b∈ 1b a− = *,a b N∈ a b+ =
a b
6
π
| | 3a = ( 2 )a a b⊥ − | |b =
3 2 3 1 2
7．复平面上平行四边形 ABCD 的四个顶点中，A，B，C 所对应的复数分别为 2＋3i,3＋2i，－2
－3i，则 D 点对应的复数是 ( )
A．－2＋3i B．－3－2i C．2－3i D． 3－2i
8．已知正项等差数列 满足 ，则 的最小值为 ( )
A．1 B．2 C．2016 D．2017
9．设 ,则 ( )
A． B． C． D．
10．已知函数 ，则下列说法正确的是 ( )
A． 的最小正周期为
B． 的图象关于点 对称
C． 的图象关于直线 对称
D． 的图象向左平移 个单位长度后得到一个偶函数图像
11．若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
12．已知函数 的定义域为 ，且 ， ，则不等式
解集为 ( )
A． B． C． D．
二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.不要求写出解题步骤，只要求将题
目的答案写在答题卷的相应位置上)
13.某高三年级有 名同学，将他们的身高（单位：cm）数据绘制成频率分
布直方图（如图），若在身高[160，170），[170，180），[180，190]三组内的
学生中，用分层抽样的方法选取 人参加一项活动，则从身高在 内
的学生中选取的人数应为________
14.函数 ，则 的值是 .
a b c> > b c a> > a c b> > c b a> >
{ }na 1 2017 2a a+ =
2 2016
1 1
a a
+
tan1ln , log , log sin1a b e cππ= = =
( ) 2cos (sin cos )f x x x x= +
( )f x 2π
( )f x ( ,0)8
π−
( )f x 8x
π=
( )f x 4
π
3
1 2 , 0( )
3 , 0
x xf x
x x a x
− ≤= − + >
[0, )+∞ a
2 3a≤ ≤ 2a > 2a ≥ 2 3a≤ <
( )f x R ( ) 1 ( )f x f x′ > − (0) 2f = ( ) 1 xf x e−> +
( 1, )− +∞ (0, )+∞ (1, )+∞ ( , )e +∞
500
30 [160,170)
2log , 0
( )
3 , 0x
x x
f x
x
>= ≤
1[ ( )]8f f
O
y
x
0.035
0.020
0.010
0.005
190180170160150140
第 13 题
图
15.已知变量 满足约束条件 ，则 的最大值为
16.已知 ， ， ， ，则
．
三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分 12 分）
已知数列 和 满足，
.
（1）求 与 ；
（2）记数列 的前 n 项和为 ，求
18.（本小题 12 分）
某校高三文科学生参加了 9 月的模拟考试,学校为了了解高三文科学生的数学、外语成绩,抽
出 100 名学生的数学、外语成绩统计,其结果如下表:
外语
优 良 及格
优 8 m 9
良 9 n 11
数学
及格 8 9 11
(1)若数学成绩优秀率为 35%,求 的值;
(2)在外语成绩为良的学生中,已知 ,求数学成绩优比良的人数少的概率.
19.（本小题 12 分）
如图,三棱柱 中, ,四边形 为菱形,
, 为 的中点, 为 的中点.
(1)证明:平面 平面 ;
,x y
2
4
1
y
x y
x y
≤
+ ≥
− ≤
3z x y= +
{ }na { }nb
*
1 1 12, 1, 2 (n N ),n na b a a+= = = ∈ *
1 2 3 1
1 1 1 1(n N )2 3 n nb b b b bn ++ + + + = − ∈
na nb
{ }n na b nT nT
3cos( )4 5
π α− = 12sin( )4 13
π β+ = 3( , )4 4
π πα ∈ ( , )4 4
π πβ ∈ −
sin( )α β+ =
,m n
12, 10m n³ ³
1 1 1ABC A B C− 1 1CA ABB A^ 平面 1 1ABB A
1 1 60AA BÐ = E 1BB F 1CB
AEF ^ 1 1CAAC
B 1
F
C1C
A1
EB
A
(2) 若 求 到平面 的距离.
20.（本小题 12 分）
已知圆 经过点 , ,并且直线 平分圆 .
（1）求圆 的标准方程；
（2 若过点 ,且斜率为 的直线 与圆 有两个不同的交点 .
①求实数 的取值范围；
②若 ，求 的值.
21. （本小题 12 分）
设函数 ， .
(1)求函数 在区间 上的值域；
(2)证明：当 a>0 时， .
22.（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲
已知函数 ，且 的解集为 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 ，且 ，求证： ．
普宁侨中高三级第三次月考
12, 4,CA AA= = 1B AEF
C (1,3)A (2,2)B :3 2 0m x y- = C
C
(0,1)D k l C ,M N
k
12OM ON× = k
( ) xf x e x= − ( ) ( ) lnh x f x x a x= + −
( )f x [ 1,1]−
( ) 2 lnh x a a a≥ −
( ) | 2 |,f x m x m R= − − ∈ ( 2) 0f x + ≥ [ ]1,1−
m
, ,a b c R+∈ 1 1 1
2 3 ma b c
+ + = 2 3 9a b c+ + ≥
文科数学参考答案及评分标准
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D C D D B C B B A C A B
二、填空题：
13. 15 14. 15. 11 16.
三、解答题：
17. 略
18.解：（1）
又 ，
（2）由题， 且 ， 满足条件的 有
共 14 种，
记 :”在外语成绩为良的学生中,数学成绩优比良的人数少”,则 M 包含的基本事件有
共 6 种，
.
19.解:(1) 四边形 为菱形, ,
,
又 , ,又
平面 , 平面 平面 .
(2)设 到平面 的距离为 ，设 ,
连接 ,则 ,且 ,
1
27
56
65
8 9 0.35, 18,100
m m+ + = =
8 9 8 18 9 9 11 11 100n+ + + + + + + + = 17n =
35,m n+ = 12, 10m n³ ³ ( , )m n (12,23),(13,22),
(14,21),(15,20),(16,19),(17,18),(18,17),(19,16),(20,15),(21,14),(22,13), (23,12),
(24,11),(25,10),
M
(12,23),(13,22), (14,21),(15,20),(16,19),(17,18)
6 3( ) 14 7P M = =
1 1ABB A 1 1 60AA BÐ =
1 1AE BB AE AA^ ^
1 1CA ABB A^ 平面 AE CA ^ 1AA CA AÇ =
AE ^ 1 1CAAC AE AEFÌ 面 AEF ^ 1 1CAAC
1B AEF d 1 1A B AB OÇ =
FO 1FO AB E^ 面 1 12FO AC= =
,
,
,
，即 到平面 的距离为 .
20.解：（1） 中点为 ， , 中垂线的方程为 .
由 解得圆心 ,
圆 的标准方程为
（2）设 ，圆心 到 的距离
①由题 即 ，解得
②由 得 ，
设 ，则 ，
，
=
解得 ，此时 ，
21.解： ， ，
在 上， ， 单调递减；在 上， ， 单调递增.
当 [－1，1]时， ，
又
.
12 3, 5,2AE EF BC= = = 1
1 52AF B C= =
1 2 3 2 62AEFSD = × × =
1 1 1
1 1, 3 3B AEF F AB E AEF AB EV V d S FO S- - D D= × = ×
1 1 2 3 2
6
AB E
AEF
FO Sd S
D
D
× ´ = = = 1B AEF 2
AB
3 5( , )2 2 1ABk = - AB 1 0x y- + =
1 0
3 2 0
x y
x y
ì - + =ïí - =ïî
(2,3), 1C r BC= =
C 2 2( 2) ( 3) 1x y- + - =
: 1l y kx= + C l 2
2 3 1 .
1
kd
k
- +=
+
2
2 3 1 1,
1
kd r
k
- += < =
+
23 8 3 0k k- + < 4 7 4 7
3 3k- +< <
2 2
1
( 2) ( 3) 1
y kx
x y
ì = +ïí - + - =ïî
2 2(1 ) 4(1 ) 7 0k x k x+ - + + =
1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y 1 2 1 22 2
4(1 ) 7,1 1
kx x x xk k
++ = × =+ +
2
1 2 1 2 1 2 1 2( 1)( 1) ( ) 1y y kx kx k x x k x x× = + + = + + +
2
1 2 1 2 1 2 1 2( 1) ( ) 1OM ON x x y y k x x k x x × = + = + + + +
2
2 2 2
7 4 (1 ) 4 (1 )( 1) 1 8 121 1 1
k k k kk k k k
+ ++ × + + = + =+ + +
1k = 0D> 1k =
'( ) 1xf x e= − '( )=0 0f x x =令 ，得
( 1,0)− '( ) 0f x < ( )f x (0,1) '( ) 0f x > ( )f x
∴ x∈ min( ) (0) 1f x f= =
1( 1) 1 , (1) 1, ( 1) (1)f f e f fe
− = + = − − <
[1, 1]e∴ −函数的值域为
（2） ， ，即 ，
当 时该方程有唯一零点记为 ，即 ，
；
.
22.解：（Ⅰ）因为 ，
所以 等价于 ，…2 分
由 有解，得 ，且其解集为 ． …4 分
又 的解集为 ，故 ．…（5 分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，又 ，…7 分∴
≥ =9． …9 分
(或展开运用基本不等式)
∴ …．10 分
( ) lnxh x e a x= − '( ) 0x ah x e x
= − = ( 0)x ae xx
= >
0a > 0x 0
0
x ae x
=
0(0, ) '( ) 0, ( )x x h x h x∈ <当 时， 单调递减
0( ,+ ) '( ) 0 ( )x x h x h x∈ ∞ >当 时， ， 单调递增.
0
min 0 0( ) ( ) lnxh x h x e a x∴ = = − 0
0 0 0
1ln ln
xa a ea ax x x a
= + = +
0
0
0 0
ln ln ln 2 lnxa aa e a a ax a a a a ax x
= + − = + − ≥ −
( 2) | |f x m x+ = −
( 2) 0f x + ≥ | |x m≤
| |x m≤ 0m ≥ }{ |x m x m− ≤ ≤
( 2) 0f x + ≥ [ ]1,1− 1m =
1 1 1 12 3a b c
+ + = , ,a b c R+∈
1 1 12 3 ( 2 3 )( )2 3a b c a b c a b c
+ + = + + + + 21 1 1( 2 3 )2 3a b ca b c
⋅ + ⋅ + ⋅
2 3 9a b c+ + ≥