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- 2021-04-19 发布
1．等比数列中， ，则数列前项和 ．
【答案】121
【解析】解：由题意可知： ，解得： ，由等比数列的求和公式有：
.
2．等差数列的公差，且， ， 成等比数列，若， 为数列的前项和，则数列的前项和取最小值时的为 ．
【答案】3或4
3．在等差数列中， ，其前项的和为，若，则__________．
【答案】
【解析】因为 ，所以数列也成等差数列，由得公差为1，因此
4．等比数列的公比为，则__________．
【答案】
【解析】 .
5．对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列
的前项和等于__________．
【答案】
6．设等比数列{an}中，Sn是前n项和，若，则__________.
【答案】28
【解析】由等比数列的通项公式及题设可得，
，所以，应填答案．
7．在各项都为正数的等比数列中，已知， ，则数列的通项公式__________．
【答案】
8．已知正项等比数列的公比，且满足， ，设数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，则实数的最大值为_________．
【答案】
【解析】由等比数列的性质可得，即，再结合可得
，则公比，所以，故原不等式可化为，即，又因为，所以，应填答案。
点睛：本题设置的目的旨在考查等比数列的定义、通项公式的性质及前项等有关知识的综合运用。求解时先运用等比数列的通项的性质，求出，再结合可求得，进而求得公比，从而将问题化为求的最小值的问题。
9．已知递增数列共有项，且各项均不为零， ，如果从中任取两项，当时， 仍是数列中的项，则数列的各项和_____．
【答案】
点睛：本题主要考查了数列的求和，解题的关键是单调性的利用以及累加法的运用，有一定难度；根据题中条件从中任取两项，当时， 仍是数列中的项，结合递增数列必有， ，利用累加法可得结果.
10．已知数列的前项和，若，则__________．
【答案】
【解析】由已知，类似可得，…， ，
， ，…， ，
∴ ．
点睛：数列的求和可根据不同的题型选用不同的方法，如公式法、错位相减法、裂项相消法、倒序相加法，分组求和法等，本题已知是递推式，而且递推式与有关，因此在求和时，要首先研究数列的性质、规律，可把已知条件具体化，写出从1开始的若干个式子： ， ， ， ， ， ， ，对这些式子分析寻找到题中的规律，分别可出奇数项和与偶数项和，从而得．
11．已知正项数列的前项和为，对任意，点都在函数的图像上．
（I）求数列的首项和通项公式；
（II）若数列满足，求数列的前项和；
（III）已知数列满足．若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）（3）
试题解析：（I）由题知，当时， ，所以．
，所以，两式相减得到
，
因为正项数列，所以，
数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以．
（II）由（I）知，所以，
因此①，
②，
由①-②得到
所以．
，而，得到
，所以当时， ，所以．
又， 的最大值为．
因为对任意的，存在，使得成立．
所以，由此．
【易错点晴】本题主要考查分组求和、裂项求和、“错位相减法”求数列的和，以及不等式恒成立问题，属于难题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.
12．如图，将数字1,2,3，…， （）全部填入一个2行列的表格中，每格填一个数字，第一行填入的数字依次为， ，…， ，第二行填入的数字依次为，
，…， ．记．
（Ⅰ）当时，若， ， ，写出的所有可能的取值；
（Ⅱ）给定正整数．试给出， ，…， 的一组取值，使得无论， ，…， 填写的顺序如何， 都只有一个取值，并求出此时的值；
（Ⅲ）求证：对于给定的以及满足条件的所有填法， 的所有取值的奇偶性相同.
【答案】（Ⅰ）3,5,7,9．（Ⅱ） （Ⅲ）奇偶性相同．
【解析】试题分析：
则，因为，所以与具有相同的奇偶性，又因为与的奇偶性相同，所以的所有可能取值的奇偶性相同．
试题解析：
（Ⅰ）的所有可能的取值为3,5,7,9．
（Ⅱ）令（，，…，），则无论， ，…， 填写的顺序如何，都有．
∵，∴，（ ，，…，），
∵（，2，…，），
所以．
（Ⅲ）显然，交换每一列中两个数的位置，所得的的值不变．
不妨设，记， ，其中1，2，…，，
则，
因为，
所以与具有相同的奇偶性，
又因为与的奇偶性相同，
所以的所有可能取值的奇偶性相同．
13．对于数列，定义， ．
(1) 若，是否存在，使得？请说明理由；
(2) 若， ，求数列的通项公式；
(3) 令，求证：“为等差数列”的充要条件是“的前4项为等差数列，且为等差数列”．
【答案】（1）不存在（2）（3）见解析
【解析】试题分析：(1)由题意知数列为递增数列，计算出数列的和与可得结果；(2)根据，可得，故可得，即数列， 均为公比为6的等比数列，可得其通项公式；(3)将题意转化为，先证必要性：设，其中为常数，可得，得结果，再证充分性：利用数学归纳法证得结果.
试题解析：（1）由，可知数列为递增数列， 计算得， ，所以不存在，使得；
（2）由，可以得到当时，
，
（3）证明：由题意，
当时， ，
因此，对任意，都有．
必要性()：若为等差数列，不妨设，其中为常数，
显然，
由于=，
所以对于， 为常数，
故为等差数列；
充分性()：由于的前4项为等差数列，不妨设公差为
当时，有成立
假设时为等差数列，
即
当时，由为等差数列，得，
即： ，
所以
，
因此，
综上所述：数列为等差数列．
点睛：本题主要考查了数列的求和，数列通项公式的求法，充要条件的证明以及数学归纳法的应用，综合性较强，具有一定的难度；利用数列求和中的分组求和可解决第一个问题，在（2）中主要是通过“”是关键，在充要条件证明中一定要注意因果关系，同时注意数学归纳法中的步骤.
14．已知含有个元素的正整数集（， ）具有性质：对任意不大于（其中）的正整数，存在数集的一个子集，使得该子集所有元素的和等于．
（Ⅰ）写出， 的值；
（Ⅱ）证明：“， ，…， 成等差数列”的充要条件是“”；
（Ⅲ）若，求当取最小值时的最大值．
【答案】（Ⅰ）， ；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ） ．
【解析】试题分析: （Ⅰ）由为正整数,则， .， ,即可求得， . （Ⅱ）先证必要性：由， ，…， 成等差数列，故，由等差数列的求和公式得: ；再证充分性：由，故（，，…，），故， ，…， 为等差数列．（Ⅲ）先证明（，，…，）,因此，即，所以．由集合的性质,分类,即可求得当取最小值11时， 的最大值为．
试题解析:（Ⅰ）， .
（Ⅱ）先证必要性：
（Ⅲ）先证明（，，…，）．
假设存在，且为最小的正整数．
依题意，则 ，，又因为，
故当时，不能等于集合的任何一个子集所有元素的和．
故假设不成立，即（，，…，）成立．
因此，
即，所以．
因为，则，
若时，则当时，集合中不可能存在若干不同元素的和为，
故，即.
此时可构造集合.
因为当时，可以等于集合中若干个元素的和；
故当时，可以等于集合中若干不同元素的和；
……
15．若数列和的项数均为，则将数列和的距离定义为.
（1）求数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离.
（2）记为满足递推关系的所有数列的集合，数列和为中的两个元素，且项数均为.若， ，数列和的距离小于2016，求的最大值.
（3）记是所有7项数列（其中， 或）的集合， ，且中的任何两个元素的距离大于或等于3.求证： 中的元素个数小于或等于16.
【答案】（1）7;（2）3455;（3）见解析.
【解析】（1）根据题意，将两数列对应代入计算，问题即可得解；（2）由题意，根据递推关系，不难发现数列是以4为周期的数列，由此可确定数列亦为周期数列，由其首项即可知对应数列各项，依据定义当项数越大时，其距离也呈周期性且越大，从而问题可得解；（3）根据题意，这里可以考虑采用反证法来证明，首先假设问题不成立，再通过特殊赋值法，依据定义进行运算，发现与条件相矛盾，从而问题可得证.
试题解析：（1）由题得数列1，3，5， 6和数列2，3，10，7的距离为7.
所以项数越大，数列和的距离越大.
因为，
而 ，
因此，当时， .
故的最大值为3455.
（3）假设中的元素个数大于或等于17.
因为数列中， 或1，
所以仅由数列前三项组成的数组（， ， ）有且只有8个：（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1），（1，1，1）.
那么这17个元素之中必有3个具有相同的， ， .
设这3个元素分别为： ， ， ， ， ， ， ； ： ， ， ， ， ， ， ； ： ， ， ， ， ， ， ，其中
， ， .
所以中的元素个数小于或等于16.
16．已知为正整数，数列满足，，设数列满足.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若数列是等差数列，求实数的值；
（3）若数列是等差数列，前项和为，对任意的，均存在，使得成立，求满足条件的所有整数的值.
【答案】（1）见解析;（2）;
（3）当N*，对任意的N*，均存在N*，使.
【解析】试题分析：（1）将经过移项、两边同时除以可得，故可得结论为等比数列；（2）由（1）得，代入得，由数列是等差数列易知，代入可解得，，将其进行检验得结果；
（3）由（2）得，利用等差数列前项和公式代入，解出，经讨论当时符合题意，当时不符合题意.
试题解析：（1）由题意得，因为数列各项均正，
得，所以，
因此，所以是以为首项公比为2的等比数列.
（3）由（2）得，对任意的N*，均存在N*，使，
则，所以.
当，N*，此时，对任意的N*，符合题意；
当，N*，当时，. 不合题意.
综上，当N*，对任意的N*，均存在N*，使.
17．已知数列中，，且点在直线上．
⑴求数列的通项公式；
⑵若函数（，且），求函数的最小值；
⑶设，表示数列的前项和，试问：是否存在关于的整式，使得对于一切不小于2的自然数恒成立？若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．
【答案】(1)；（2）；(3)，证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）将点代入直线得到，数列是以为首项，为公差的等差数列，再由得到的通项公式；（2）由（1）可得，
，，是单调递增的，故的最小值是；（3）由（1）及，，即，，，最后将该式整理即可得出．
试题解析：⑴点在直线上，即，且，
数列是以为首项，为公差的等差数列，
，也满足，
⑵，
，
，
是单调递增的，故的最小值是．
考点：函数与数列综合.
【方法点晴】本题考查的是函数与数列综合，（1）中将点代入直线得到，可得到的通项公式.（2）关键是判断通过的单调性，通过，可得是单调递增的，故的最小值是．（3）通过，，通过累加并整理可得
，最后将该式整理即可得出.
18．已知是等差数列， 是各项均为正数的等比数列，且， ， .
（Ⅰ）求数列， 的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
【答案】（Ⅰ）， ;（Ⅱ）.
【解析】试题分析：（1）根据条件列出关于公差与公比的方程组,解方程组可得，
，再代入等差与等比数列通项公式,（2）利用错位相减法求和,注意相减时项的符号变化，中间部分利用等比数列求和时注意项数，最后要除以
试题解析：（Ⅰ）设数列的公差为， 的公比为，依题意得
解得， ，
所以，
19．设数列的前项和，数列满足.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和.
【答案】（Ⅰ）（）;（Ⅱ）.
20．已知数列， 是其前项和，且满足.
（1）求证:数列是等比数列；
（2）设，且为数列的前项和，求数列的前项和.
【答案】（1）见解析（2）
(2)由（1)知， ，∴.
∴，
故数列的前项和.