江西省南昌市第十中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题 18页

南昌十中2019—2020学年度上学期第一次月考 高二数学试题 一．选择题(每小题只有一项是符号题目要求的，请将你认为正确选项的序号填涂在答题卷上相应位置)‎ ‎1.直线（a为常数）的倾斜角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将直线方程整理成斜截式，利用斜率与倾斜角的关系列方程求解。‎ ‎【详解】由得：，所以，，故选B。‎ ‎【点睛】本题考查了斜率与倾斜角的关系，即（）。‎ ‎2.若直线与直线平行，则（ ）‎ A. 2或－1 B. －1 C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线平行关系可得方程组，解方程组求得结果.‎ ‎【详解】由与平行得：，解得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查根据直线的平行关系求解参数值，易错点是忽略直线不能重合，造成增根.‎ ‎3.已知椭圆上的一点到左焦点的距离为6，则点到右焦点的距离为（ ）‎ A. 4 B. 6 C. 7 D. 14‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆的定义可直接求得结果.‎ ‎【详解】由椭圆方程可知：‎ 由椭圆定义知：，即 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查利用椭圆的定义求解焦半径的问题，属于基础题.‎ ‎4.圆与圆有三条公切线，则半径（ ）‎ A. 5 B. 4 C. 3 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据公切线条数可知两圆外切，可知圆心距等于两圆半径之和，从而构造出方程求得结果.‎ ‎【详解】两圆公切线有且仅有三条 两圆外切 由圆的方程可知，两圆圆心分别为：，；半径分别为：和 两圆圆心距，解得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查根据圆与圆的位置关系求解参数值，关键是能够根据公切线条数确定两圆的位置关系.‎ ‎5.设满足约束条件，则的最小值是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.‎ ‎【详解】‎ 作出表示的可行域，如图， ‎ 由可得，‎ 将变形为，‎ 平移直线，‎ 由图可知当直经过点时，‎ 直线在轴上的截距最小，‎ 最小值为，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎6.圆上的点到直线的最大距离是（ ）‎ A. B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 确定圆心和半径后，求得圆心到直线距离；利用圆上点到直线最大距离为可求得结果.‎ ‎【详解】由题意得：圆的方程 圆心为，半径 圆心到直线距离 圆上的点到直线的最大距离为：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查圆上的点到直线的最大距离的问题，关键是能够明确最大距离为圆心到直线距离与半径之和，利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离.‎ ‎7.方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将方程化为符合椭圆标准方程的形式，根据焦点位置和标准方程形式可得不等式组，解不等式组求得结果.‎ ‎【详解】方程可化为： ，解得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查根据方程表示的曲线的特征求解参数值的问题，属于基础题.‎ ‎8.过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为过点（3，1）作圆（x-1）2+y2‎ ‎=1的两条切线，切点分别为A，B，所以圆的一条切线方程为y=1，切点之一为（1，1），显然A、D选项不过（1，1），A、D不满足题意；另一个切点的坐标在（1，-1）的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，B满足． 故选B．‎ 点睛：本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程求法，可以直接解答，本题的解答是间接法，值得同学学习．由题意判断出切点（1，1）代入选项排除A、D，推出令一个切点判断切线斜率，得到选项即可．‎ ‎9.如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用点差法可求得，根据直线点斜式方程可求得结果.‎ ‎【详解】设直线与椭圆交点为，‎ ‎，两式作差得：‎ 又为中点 ， ‎ 直线方程为：，即：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查点差法求解中点弦的问题，关键是能够熟练应用点差法，属于基础题.‎ ‎10.已知集合，集合，且，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先确定集合表示圆心在原点，半径为的左半圆上的点，集合表示恒过的直线上的点，则可知直线与圆有交点；利用直线切线的求法和两点连线斜率公式可确定斜率的临界值，从而得到所求取值范围.‎ ‎【详解】由得：，可知集合表示如下图所示的半圆上的点 由得：，可知直线恒过 ‎ 直线与半圆有交点 当与半圆相切时，设方程为：，即 ‎，解得：，又 取值范围为：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查根据交集的结果求解参数范围的问题，关键是能够明确交集表示的含义为直线与半圆有交点，从而利用直线与圆的知识来进行求解；易错点是忽略集合中的范围，将集合中的点构成的图形误认为是圆，造成求解错误.‎ ‎11.已知椭圆，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于 两点，若的最大值为10，则的值是（ ）‎ A. 1 B. C. D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用椭圆定义可知，焦点弦中最短弦为通径，可知，利用可构造方程求得，从而得到结果.‎ ‎【详解】由椭圆定义知：‎ 又焦点弦中最短的为通径 ‎ ‎，解得： ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查椭圆定义的应用，关键是能够明确焦点弦最短的为通径.‎ ‎12.设椭圆的右焦点为，椭圆上的两点关于原点对称，且满足，，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设椭圆左焦点为，由向量数量积可得到四边形为矩形；设，‎ ‎，根据勾股定理可整理得，从而得到，利用线段长度关系可得到的范围，根据对号函数可得的范围，进而得到关于离心率的不等式，解不等式求得结果.‎ ‎【详解】设椭圆左焦点为，连接 由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形 ‎ 四边形为矩形 设，，则 ‎，解得：‎ ‎ ‎ 即 ，即，解得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查椭圆离心率范围的求解问题，关键是能够利用椭圆定义、勾股定理以及线段的长度关系构造出关于的齐次不等式，进而得到关于离心率的不等式.‎ 二．填空题(请将答案填写在答题卷上相应位置)‎ ‎13.点关于直线的对称点的坐标是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设对称点坐标，利用两点连线与直线垂直、两点的中点在直线上可构造方程求得结果.‎ ‎【详解】设关于直线的对称点坐标为 ‎，解得： ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查点关于直线的对称点的求解问题，常用方法是采用待定系数法，利用两点连线与对称轴垂直且中点在对称轴上可构造方程组求得结果.‎ ‎14.已知是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，当时，则的面积为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用余弦定理，结合椭圆定义可配凑出关于方程，求解得到，代入三角形面积公式可求得结果.‎ ‎【详解】设，，则 在中，由余弦定理得：‎ 即：，解得：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查焦点三角形面积的求解，关键是能够利用余弦定理构造出关于焦半径之积的方程，属于常考题型.‎ ‎15.已知圆过定点，且和圆相切于点，则圆的一般方程是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由圆过，，可知圆心必在两点连线的中垂线上；设圆心坐标，半径为，利用圆心和圆上点间距离为和两圆相切可构造方程组求得圆心坐标和半径，从而得到圆的方程.‎ ‎【详解】有题意可知：，在圆上 圆的圆心必在直线上 设圆心坐标为：，半径为 则或 解得：‎ 圆方程为：，整理得圆一般方程为：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查圆的方程的求解，求解圆的方程的常用方法是待定系数法，本题中可通过两圆相切和圆上点到圆心的距离等于半径构造方程组求得结果.‎ ‎16.设点是椭圆上一点，分别是椭圆的左，右焦点，是△的内心，若的面积是面积的3倍，则该椭圆的离心率为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用内切圆半径可分别表示出和，利用两三角形面积的比例关系可得到，进而求得离心率.‎ ‎【详解】‎ 设内切圆半径为 又， ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查椭圆离心率求解，关键是能够利用内切圆半径表示出两个三角形的面积，从而构造出关于的齐次方程.‎ 三．解答题(请将答案写在答题卷上相应位置，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17.求离心率为且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知椭圆方程可求得，利用离心率求得，进而得到，从而得到所求方程.‎ ‎【详解】由得：， ，解得：‎ 又 ‎ 椭圆的标准方程为：‎ ‎【点睛】本题考查共焦点的椭圆方程的求解，属于基础题.‎ ‎18.已知圆，直线 ‎（1）求证：不论取什么实数，直线与圆恒相交于两点；‎ ‎（2）求⊙与直线相交弦长的最小值．‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）整理直线方程可知直线恒过两直线和的交点，求得交点坐标后，可验证得到交点在圆内，从而证得结论；（2）由圆的性质可知当圆心和（1）中所得交点连线垂直于直线时，弦长最短，利用垂径定理求得弦长最小值.‎ ‎【详解】（1）由得：‎ 直线恒过两直线和的交点 由得：，即交点为 ‎ 点在圆内 直线与圆恒有两个交点 ‎（2）由圆的性质可知，当时，弦长最短 又 ‎∴弦长最小值为 ‎【点睛】本题考查直线与圆位置关系的证明、过圆内一点的最短弦长的求解；关键是能够通过含参数的直线方程确定直线恒过的定点.‎ ‎19.已知圆经过椭圆的右顶点、下顶点和上顶点．‎ ‎（1）求圆的标准方程；‎ ‎（2）直线经过点且与垂直，是直线上的动点，过点作圆的切线，切点分别为，求四边形面积的最小值．‎ ‎【答案】(1) . (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据圆心必在圆上两点连线的中垂线上可知圆心必在轴上，设圆心，可得半径，利用圆心到圆上点的距离等于半径可构造方程求得圆心和半径，从而得到圆的方程；（2）根据两直线垂直可求得直线的方程，利用可知当四边形面积最小时，取最小值；当切线长最小时，；利用点到直线距离公式和勾股定理可求得的最小值，代入可得面积的最小值.‎ ‎【详解】（1）由椭圆方程得：，，‎ 由圆过可知：圆心必在轴上 设圆心为，则半径 ‎，解得： 圆心为，半径 圆的标准方程为：‎ ‎（2）直线与垂直 ‎ 直线方程为：，即：‎ 且 当取最小值时，最小 又且当时，最小 四边形面积的最小值为：‎ ‎【点睛】本题考查已知圆上三点求解圆的标准方程、与圆的切线有关的四边形面积最值的求解；关键是能够将问题转化为切线长的最小值的求解问题.‎ ‎20.已知圆的方程为：．‎ ‎（1）直线过点，且与圆交于两点，若，求直线方程；‎ ‎（2）圆上有一动点，，若向量，求动点的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．‎ ‎【答案】（1）或；（2），轨迹是一个焦点在轴上的椭圆 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当直线垂直于轴时，可验证其满足题意，得到直线方程为；当直线不垂直于轴时，设直线为，利用垂径定理可求得圆心到直线距离，利用点到直线距离公式构造方程求得，从而得到直线方程；（2）设，利用向量坐标运算可得到，，根据在圆上，可代入整理得到点轨迹.‎ ‎【详解】（1）当直线垂直于轴时，此时直线方程为 与圆的两个交点坐标为和，这两点的距离为，满足题意；‎ 当直线不垂直于轴时，设其方程为：，即：‎ 设圆心到此直线的距离为，则：，解得：‎ ‎，解得：‎ 此时直线方程为：‎ 综上所述，所求直线方程为：或 ‎（2）设点的坐标为 ‎∵，，‎ ‎∴ ，‎ ‎∵ ∴，即 ‎∴点的轨迹方程是，轨迹是一个焦点在轴上的椭圆 ‎【点睛】本题考查根据直线被圆截得弦长求解直线方程、动点轨迹的求解问题；求解轨迹方程的常用方法是利用动点坐标表示出已知曲线上的点的坐标，代入已知曲线整理即可得到动点轨迹.‎ ‎21.已知，椭圆：（）的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为原点.‎ ‎（I）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）直线经过点，与椭圆交于两点，若以为直径的圆经过坐标原点，求.‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由题意求得a,b的值即可求得椭圆方程；‎ ‎(Ⅱ)联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理和垂直关系求得直线的斜率，然后利用弦长公式求解弦长即可.‎ ‎【详解】（I），，直线的斜率为，，‎ ‎，故椭圆的方程：.‎ ‎（Ⅱ）与联立，，或，‎ 设，由韦达定理，得，‎ 解得,‎ ‎.‎ ‎【点睛】解决直线与椭圆综合问题时，要注意：‎ ‎(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；‎ ‎(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．‎ ‎22.已知圆的圆心是椭圆（）的右焦点,过椭圆的左焦点和上顶点的直线与圆相切．‎ ‎（I）求椭圆的方程；‎ ‎（II）椭圆上有两点、,、斜率之积为,求的值．‎ ‎【答案】(Ⅰ)；（II）4.‎ ‎【解析】‎ 试题分析： (Ⅰ)由圆心坐标为得,设直线的方程为：,由直线与圆相切得,由此得,故椭圆的方程为；(Ⅱ)由 ‎,,‎ 及、斜率之积为可得,,根据,可得 试题解析：(Ⅰ) 圆 圆心坐标为,‎ 过椭圆：的左焦点和上顶点的直线的斜率显然大于0,可设直线的方程为：‎ ‎,因为直线与圆相切,又 直线的方程为：,‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,有,,‎ 由、斜率之积为可得,‎ 考点：直线、圆与椭圆.‎ ‎ ‎