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- 2021-04-19 发布
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黑龙江省牡丹江市第一高级中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）试题
评卷人
得分
一、单选题
1．如果抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点为，那么抛物线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据焦点位置设抛物线方程，再根据焦点坐标确定p.
【详解】
因为抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点为，所以可设抛物线的方程为，因为所以，选C.
【点睛】
本题考查抛物线标准方程，考查基本求解能力.属于基础题.
2．已知圆的圆心坐标为(2,-3),且点(-1,-1)在圆上,则圆的方程为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据条件设圆的标准方程，再代入点（-1，-1）坐标得半径，即得结果.
【详解】
因为圆的圆心坐标为(2,-3),所以设圆的方程为，
因为圆过点(-1,-1)，所以，即，展开得，选D.
【点睛】
本题考查圆的标准方程，考查基本求解能力. 属于基础题.
3．圆的参数方程为，(为参数，)，若Q(－2，2)是圆上一点，则对应的参数的值是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
将点坐标代入圆参数方程，解得参数即可.
【详解】
因为Q(－2，2)是圆上一点，所以，，因为，所以，选B.
【点睛】
本题考查圆的参数方程，考查基本求解能力. 属于基础题.
4．以下四个命题中，正确的是（ ）
A． 若,则三点共线
B． 若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底
C．
D． 为直角三角形的充要条件是
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量表示确定A错误，根据基底条件确定B正确，根据向量数量积定义得C错误，根据直角三角形直角确定D错误.
【详解】
因为中，所以三点不一定共线，
因为为空间的一个基底，所以不在同一个平面，因此也不在同一个平面，从而构成空间的另一个基底，
因为,所以不恒成立，
因为为直角三角形时A角不一定为直角，即不一定成立，所以D错误，
综上选B.
【点睛】
本题考查向量表示、基底概念、向量数量积定义，考查基本分析求解能力. 属于基础题.
5．设分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，且，＝（ ）
A． 5 B． 3 C． 7 D． 3或7
【答案】D
【解析】
【分析】
根据双曲线定义求.
【详解】
因为,即,所以＝3或7，选D.
【点睛】
本题考查双曲线定义，考查基本求解能力. 属于基础题.
6．已知椭圆，分别为其左、右焦点，椭圆上一点到的距离是2，是的中点，则的长为（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形中位线性质以及椭圆定义可得结果.
【详解】
由椭圆定义得，因为，所以
因为是的中点，所以=4，选D.
【点睛】
本题考查椭圆定义，考查基本求解能力. 属于基础题.
7．双曲线（）的焦距为4，一个顶点是抛物线的焦点，则双曲线的离心率等于（ ）
A． 2 B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据焦距得c，根据抛物线方程得抛物线焦点坐标，结合双曲线顶点得a，最后根据离心率定义求结果.
【详解】
因为双曲线的焦距为4，所以c=2,
因为抛物线的焦点为(1,0)，所以a=1,
因此离心率为,选A.
【点睛】
本题考查抛物线有关性质以及双曲线离心率，考查基本求解能力. 属于基础题.
8．已知点，，直线相交于点，且它们的斜率之积为.则动点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设P点坐标,根据斜率公式列方程，化简得轨迹方程，最后根据范围去杂.
【详解】
设,则，选A.
【点睛】
本题考查直接法求轨迹方程，考查基本化简求解能力. 属于基础题.
9．若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）
A． 2 B． 3 C． 6 D． 8
【答案】C
【解析】
【分析】
设P点坐标,根据向量数量积化简，最后根据点P在椭圆上消元，根据二次函数性质求最值.
【详解】
因为点和点分别为椭圆的中心和左焦点，所以O(0,0),F(-1,0)
设,则,
因为点P在椭圆上，所以,
因此，
因为对称轴，所以当时取最大值6，选C.
【点睛】
本题考查函数最值以及向量数量积坐标表示，考查基本分析求解能力. 属于中档题.
10．若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点的个数（ ）
A． 至多一个 B． 2 C． 1 D． 0
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据直线和圆没有交点，得关系，再根据关系确定点位置，最后根据点与椭圆位置关系确定交点个数.
【详解】
因为直线和圆没有交点，所以，,
因此点在椭圆内部，从而过点的直线与椭圆必有两个交点，选B.
【点睛】
本题考查直线与圆位置关系以及点与椭圆位置关系，考查基本分析求解能力. 属于中档题.
11．已知直线与抛物线C：相交于A、B两点，F为C的焦点，若，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据抛物线定义得A,B横坐标关系，进而求得B点坐标，最后根据斜率公式得结果.
【详解】
设，
因为，所以，
因为，所以，
因此，选D.
【点睛】
本题考查抛物线定义以及直线与抛物线位置关系，考查基本分析求解能力. 属于中档题.
12．双曲线（）的左、右焦点分别为，过作圆的切线交双曲线的左、右支分别于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据双曲线定义求，再利用余弦定理得，根据与圆相切得，联立方程解得，即得渐近线方程.
【详解】
根据双曲线定义得,,
在三角形，
又与圆相切，所以，
因此，（舍负），
因为双曲线的渐近线方程为，所以双曲线的渐近线方程为，选C.
【点睛】
本题考查双曲线定义、余弦定理应用，双曲线渐近线方程，考查综合分析求解能力. 属于较难题.
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13．点C的极坐标是,则点C的直角坐标为______________
【答案】
【解析】
【分析】
根据得结果.
【详解】
因为点C的极坐标是,所以，点C的直角坐标为
【点睛】
本题考查极坐标化直角坐标. 属于基础题.
14．若，，，则_____
【答案】3
【解析】
【分析】
根据向量加法以及向量数量积的坐标表示得结果.
【详解】
，
【点睛】
本题考查空间向量加法与数量积，考查基本求解能力. 属于基础题.
15．已知，，，则_____
【答案】
【解析】
【分析】
先根据向量减法化简，再根据向量的模的定义以及向量数量积定义求结果.
【详解】
=
【点睛】
本题考查向量数量积定义以及向量模的定义，考查基本求解能力. 属于基础题.
16．已知抛物线，作直线，与抛物线交于两点，为坐标原点且，并且已知动圆的圆心在抛物线上，且过定点，若动圆与轴交于两点，且，则的最小值为___________
【答案】
【解析】
【分析】
先联立直线与抛物线方程，利用韦达定理以及解得p，再设P,E,F坐标，表示，根据条件利用基本不等式求最值.
【详解】
设
则由得，所以
因为，所以，
，
根据对称性不妨设，
由PE=PD得，
因此
，
当且仅当时取等号，综上的最小值为.
【点睛】
本题考查求抛物线方程、建立函数关系式以及利用基本不等式求函数最值，考查综合分析求解能力. 属于难题.
评卷人
得分
三、解答题
17．经过点M（2,1）作直线l交椭圆于A,B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程。
【答案】
【解析】
【分析】
利用点差法得直线l的斜率，再根据点斜式得直线l的方程.
【详解】
设
则,,对应相减得,
,所以, 直线l的方程为,即
【点睛】
本题考查点差法求直线斜率，考查基本转化求解能力. 属于中档题.
18．已知直线的参数方程为(为参数)，曲线C的参数方程为(为参数)．
(1)将曲线C的参数方程化为普通方程；
(2)若直线与曲线交于两点，求线段的长．
【答案】（1）x2＋y2＝16.(2)
【解析】
【分析】
(1)根据三角函数平方关系消参数得结果，(2) 将直线的参数方程代入曲线方程，利用参数几何意义以及韦达定理求弦长.
【详解】
解：(1)由曲线C：得x2＋y2＝16，
所以曲线C的普通方程为x2＋y2＝16.
(2)将直线的参数方程代入x2＋y2＝16，
整理，得t2＋3t－9＝0.
设A，B对应的参数为t1，t2，则
t1＋t2＝－3，t1t2＝－9.
|AB|＝|t1－t2|＝
【点睛】
本题考查参数方程化普通方程以及利用直线参数几何意义求弦长，考查基本求解能力. 属于基础题.
19．如图，已知直三棱柱中，，为的中点，，求证： (1)；
(2)∥平面。
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积证明线线垂直，（2）
建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量共线证明线线平行，再根据线面平行判定定理得结果.
【详解】
证明：如图，以C1点为原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
设AC＝BC＝BB1＝2，
则A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1,1,2)。
(1)由于＝(0，－2，－2)，＝(－2,2，－2)，
所以 ＝0－4＋4＝0，
因此⊥，故BC1⊥AB1.
(2)连接A1C，取A1C的中点E，连接DE，由于E(1,0,1)，所以＝(0,1,1)，又＝(0，－2，－2)，
所以＝－，又ED和BC1不共线，
所以ED∥BC1，又DE⊂平面CA1D，
BC1⊄平面CA1D，故BC1∥平面CA1D.
【点睛】
本题考查利用空间直角坐标系证明线线垂直与线面平行，考查基本分析求证能力. 属于中档题.
20．在极坐标系中，曲线的方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的方程为（为参数）.
（1）求曲线的参数方程和曲线的普通方程；
（2）求曲线上的点到曲线的距离的最大值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
【分析】
(1)先将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，再根据椭圆参数方程得结果，根据代入消元法得曲线的普通方程，(2)根据点到直线距离公式列函数关系式，再根据三角函数有界性求最大值.
【详解】
（1）因为，所以
因此曲线的参数方程为
因为 所以曲线的普通方程为
（2）设曲线上任意一点，点P到的距离
因为
所以曲线上的点到曲线的距离的最大值为.
【点睛】
本题考查极坐标方程化直角坐标方程、利用椭圆参数方程求最值，考查基本应用求解能力. 属于中档题.
21．已知抛物线：的焦点，为坐标原点，是抛物线上异于的两点。
(1)求抛物线的方程；
（2）若,求证：直线过定点。
【答案】(1)(2)（4，0）
【解析】
【分析】
(1)根据焦点坐标求得p，即得结果，(2)先根据向量数量积坐标表示化简,再设直线AB方程，并与抛物线方程联立，结合韦达定理代入化简得m值，即可确定定点.
【详解】
（1）由题意得，p=2,所以抛物线方程为
（2）设，
因为,所以
由得，
因此
过定点（4，0）.
【点睛】
定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.
22．已知椭圆的离心率为，短轴长为，右焦点为 (1) 求椭圆的标准方程；(2) 若直线经过点且与椭圆有且仅有一个公共点，过点作直线交椭圆于另一点 ①证明：当直线与直线的斜率，均存在时，.为定值；②求面积的最小值。
【答案】(1)(2) ①见解析②
【解析】
【分析】
(1)根据条件列关于a,b,c的方程组解得a,b，即得结果，(2) ①先设直线方程：，再根据直线与椭圆相切得关系，并解得P点坐标，最后根据斜率公式计算.为定值，②先确定三角形为直角三角形，再利用弦长公式计算PQ,根据面积公式得函数关系式，最后根据函数单调性确定最小值.
【详解】
解：（1）由题意得，
所以椭圆方程为
（2）①证明：由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，
因为点在直线上，则，
联立直线与椭圆可得
因为直线与椭圆只有一个交点，所以，即，
由韦达定理得，
又因为过右焦点，则
而，所以.
②因为F(2,0),所以，，所以，即,
所以三角形的面积,，
因为，所以方程为，设
与椭圆方程联立得，
则，，，
所以
令，则，令，因此当时，面积取最小值.
【点睛】
解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.