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- 2021-04-19 发布
（范围：高考范围）
1．设数列的前项和为，已知．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）（2）
（2）由（1）知，
即 ，⑤
∴,⑥
∴，
∴数列的前项和．
考点：错位相减法求和
2．设，函数（是自然对数的底数）．
（1）证明：存在一条定直线与曲线和都相切；
（2）若对恒成立，求的值
【答案】（1）证明见解析；（2）
注意到在的附近，恒有，
故要使为的极大值点，
必须（否则，若，则在的附近，恒有，从而，于是不是的极值点；同理，若，则也不是的极值点），即，从而
又当时，，
则在上，，在上，，
于是在上递增，在上递减，
故．
综上所述，
考点：导数的几何意义，导数与函数的单调性、最值．
3．如图1，等腰梯形中，是的中点，如图2将沿折起，使面面连接是棱上的动点．
（1）求证：
（2）若当为何值时，二面角的大小为
【答案】（1）详见解析；（2）当时，二面角的大小为．
(2）
，所以如图建立直角坐标系
设平面的法向量为，
则即，令，则
∴
考点：1．二面角的平面角及求法；2．空间中直线与直线之间的位置关系．
4．班主任想对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班名女同学，名男同学中随机抽取一个容量为的样本进行分析．
（1）如果按性别比例分层抽样，男、女生各抽取多少位才符合抽样要求？
（2）随机抽出位，他们的数学、地理成绩对应如下表：
①若规定分以上（包括分）为优秀，在该班随机调查一位同学，该同学的数学和地理成绩均为优秀的概率是多少？
②根据上表，用变量与的相关系数或用散点图说明地理成绩与数学成绩之间线性相关关系的强弱．如果有较强的线性相关关系，求出与的线性回归方程（系数精确到）；如果不具有线性相关关系，说明理由．
参考公式：
相关系数；回归直线的方程是：，
其中，，是与对应的回归估计值．
参考数据：，，，，
，，，
【答案】（1）男生3人，女生5人；（2）①；②．
或者其散点图如图
考点：1、抽样方法；2、古典概型；3、线性回归方程．
5．某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，…，第五组.下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
（Ⅰ）由频率分布直方图估计50名学生数学成绩的中位数和平均数；
（Ⅱ）从测试成绩在内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为，求事件“”概率.
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.
考点：（1）频率分布直方图；（2）古典概型.
6．设数列的前项和，且是的等差中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由已知，有，
即．从而，．
又因为是的等差中项，即．解得．
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
故．
（2）由（1）得，所以，
两式相减
．
考点：已知与的关系求通项公式，等比数列的通项公式，错位相减法求和．
7．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为．
（Ⅰ)求椭圆的标准方程；
（Ⅱ)是否存在与椭圆交于两点的直线：，使得成立？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由.
【答案】（Ⅰ)（Ⅱ)
，,
化简得，．将代入中，，解得，．又由，，
从而，或．
所以实数的取值范围是．
考点：直线与椭圆位置关系
8．设函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，设在处取得最小值，求证：．
【答案】（1）在单调递减，在单调递增；（2）．
（2）当时，，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增．又，当满足且时，，故存在唯一零点，设零点为
当时，；当时，．故在单调递减，在单调递增，所以当时，取得最小值，由条件可得，的最小值为 ．
考点：1．含参函数的单调性；2．用导数知识研究函数零点问题．
9．已知命题和命题为真, 为假, 求实数的取值范围．
【答案】或．
【解析】
由不等式,得,即命题,所以命题,又由,得,得命题,所以命题,由题知:和必有一个为真一个为假, 当真假时当真假时,故的取值范围是:或．
考点：复合命题的真假，一元二次不等式的解法．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α和钝角β
的终边分别与单位圆交于点A，B．若点A的横坐标是，点B的纵坐标是．
（1）求cos（α－β）的值；
（2）求α＋β的值．
【答案】（1）；（2）
（1）cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×（－）＋×＝－．
（2）sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ
＝×（－）＋×＝．
因为α为锐角，β为钝角，故α＋β∈（，），
所以α＋β＝．
考点：三角函数的求值、求角．三角函数的定义，三角函数的同角间的关系，两角和与差的正弦公式．
11．去年年底，某商业集团公司根据相关评分细则，对其所属25家商业连锁店进行了考核评估．将各连锁店的评估分数按分成4组，其频率分布直方图如下图所示．集团公司依据评估得分，将这些连锁店划分为四个等级，等级评定标准如下表所示．
⑴估计该商业集团各连锁店评估得分的众数和平均数；
⑵从评估分数不小于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求至少选一家等级的概率．
【答案】（1）众数是，平均数是；（2）．
（2）等级的频数为，记这两家分别为；等级的频数为，记这四家分别为．
从这6家连锁店中任选2家，
共有15种选法．
考点：频率分布直方图；众数、中位数、平均数；古典概型概率.
12．如图，已知抛物线方程为．
（1）直线过抛物线的焦点F，且垂直于x轴，与抛物线交于A、B两点，求AB的长度．
（2）直线过抛物线的焦点，且倾斜角为，直线与抛线相交于C、D两点，O为原点．求△OCD的面积．
【答案】（1）8； （2）
【解析】（1）∵抛物线方程为，∴焦点，又直线过焦点，且垂直于x轴，∴的方程为，联立方程组，解得 ∴，
．
（2）由（1）焦点，直线倾斜角为，直线的斜率，其方程为
，设，联立方程组．∴，又，
∴△OCD的面积为．
考点：（1）抛物线的性质及弦长．（2）直线与抛物线的位置关系及几何性质的运用.
13．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），左焦点F（﹣，0），且离心率e=．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=x+m与椭圆C交于不同的两点M，N（M，N不是左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点A．求直线l的方程．
【答案】（Ⅰ）=1；（Ⅱ）y=x﹣．
考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．
14．已知函数.
(Ⅰ)若不等式有解，求实数的取值范围；
(Ⅱ)研究函数的极值点个数情况.
【答案】（Ⅰ）；(Ⅱ)时，有0个极值点；时，有0个极值点；时，有两个极值点；时，有一个极值点
【解析】
（Ⅰ）有解等价于有解，即，设，则，当时，；当时，，所以当
时，，即.
(2)令得到，得到，,当时，；当时，，又，所以时，无解，有0个极值点；
时，有一解，但不是极值点；
时，有二解，有两个极值点；
时，有一解，有一个极值点.
考点：利用导数研究函数的性质
15．在中，角所对的边分别为，已知.
（1）求的值；
（2）若，求外接圆的面积.
【答案】（1）；（2）.
（2）由余弦定理得，即.
因为，所以，设外接圆的半径为，则，解得.
所以外接圆的面积为.
考点：1、正弦定理和余弦定理；2、三角形的面积.
16．已知函数．
（1）当时，求的值域；
（2）若的内角的对边分别为且，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
考点：三角恒等变换；三角函数的图象与性质；正弦定理与余弦定理．
17．如图，在四棱锥中，，，，平面
底面，，和分别是和的中点，求证：
（1）底面；
（2）平面．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
考点：直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，平面与平面垂直的判定
18．已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）若在上的最大值是，求的值；
（3）记,当时，若对任意，总有成立，试求的最大值.
【答案】（1）增区间；减区间；（2）；（3）.
【解析】（1）的定义域是..当时，,故在上是增函数; 当时，令，则（舍去）; 当时，,故在上是增函数;当时，,故在上是减函数.
①、②、③得:.
（3）, 则,当时，,故时，当在上是减函数，不妨设，则，故等价于，即，记
，从而在上为减函数，由得:
,故恒成立，，又
在上单调递减，
,.故当时，的最大值为.
考点：分类整合思想化归转化思想及导数的知识等有关知识的综合运用.
19．已知函数f（x）=2x3+3x2﹣12x+5．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，5）处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．
【答案】（Ⅰ）12x+y﹣5=0（Ⅱ）f（x）的极大值为f（﹣2）=25，极小值为f（1）=﹣2
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．
20．已知函数的图象经过三点，且在区间内有唯一的最值，且为最小值．
（1）求出函数的解析式；
（2）在中，分别是角的对边，若且，求的值．
【答案】（1）；（2）．
考点：三角函数的图象和余弦定理等有关知识及运用．