2018-2019学年江西省南康中学高二上学期第二次大考数学（文）试题 Word版 9页

南康中学 2018～2019 学年度第一学期高二第二次大考 数学（文科）试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.） 1．直线 的斜率为 ，其中点 ，点 在直线 上，则（ ） A. B. C. D. 2．超市为了检查货架上的奶粉是否合格，要从编号依次为 1 到 50 的袋装奶粉中抽取 5 袋进 行检验，用系统抽样方法确定所选取的 5 袋奶粉的编号可能是（ ） A．6，12，18，24，30 B．2，4，8，16，32 C．2，12，23，35，48 D．7，17，27，37，47 3．在长方体 中， ， 与 所成的角为 ，则 （ ） A．3 B． C． D． 4．总体由编号为 的 个个体组成，利用下面的随机数表选取 5 个个体，选取 方法是从随机数表的第 1 行第 5 列和第 6 列数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出 来的第 5 个个体的编号为（ ） A．20 B．16 C．17 D．18 5．在等比数列 中，已知 ，则 A. B. C. D. 6．如图，正方体 中， 为棱 的中点，用过点 的平面截去该正 方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（ ） MN 2 ( )1 1N −， M 1y x= + ( )5 7M ， ( )4 5M ， ( )2 1M ， ( )2 3M ， 1 1 1 1ABCD A B C D− 1AB BC= = 1AC 1BB 30° 1AA = 3 5 6 }{ na 34 3aa = =+++ n n a a a a a a a a 2 3 6 2 4 1 2  2 33 −−n 2 331 −−n 2 33 −n 2 33 1 −+n 1111 DCBAABCD − E 1BB 1,, CEA 01,02, ,19,20 20 7．已知正数 满足 ，则 的最小值为（ ） A. B. 8 C. D. 20 8．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ） A．12 B．18 C．24 D．36 9．已知直线 平面 ，直线 平面 ，给出下列命题： ① ； ② ； ③ ； ④ ； 其中正确命题的序号是（ ） A．①②③ B．②③④ C．①③ D．②④ 10．点 在直线 上，且该点始终落在圆 的内部或圆上，那么 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 11．在 中，角 的对边分别是 ，若 ，则 的大小是（ ） A. B. C. D. 12．如图，在棱长为 1 的正方体 中，点 、 是棱 、 的中点， 是底面 上（含边界）一 动点，满足 ，则线段 长度的取值范围是（ ） l mα β⊥ ⇒ ∥ l mα β ⇒ ⊥∥ l m α β⊥ ⇒ ∥ l m α β⇒ ⊥∥ ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2sin sin a b cB A + = A 2 π 3 π 4 π 6 π ,a b 2 1a b+ = 2 3 a b + 8 4 3+ 8 2 3+ l ⊥ α m ⊂ β ( )1,2A − 2 14 0ax by− + = ( 0, 0)a b> > ( ) ( )2 21 2 25x a y b− + + + − = b a 3 4,4 3      3 4,4 3     3 4,4 3      3 4,4 3      1 1 1 1ABCD A B C D− E F BC 1CC P ABCD 1A P EF⊥ 1A P A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.将答案填在答题卷相应位置） 13．在等差数列 中，若 ，则前 10 项和 __________． 14．空间直角坐标系中与点 关于 平面对称的点为 ，则点 的坐标为 ________． 15．为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖规律，得到如下实验数据，计算得回 归直线方程为 ．由以上信息，得到下表中 的值为__________． 天数 (天) 3 4 5 6 7 繁殖个数 (千个) 2 3 4 5 16．已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， 是球 的直径．若平面 平 面 ， 三 棱 锥 的 体 积 为 9 ， 则 球 的 表 面 积 为 ________． 三、解答题（本大题共 6 小题，满分 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．( 本小题满分 10 分) 某中学随机选取了 40 名男生，将他们的身高作为 样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，观 察图中数据，完成下列问题． （1）求 的值及样本中男生身高在 （单位：cm）的人数． （2）假设同一组中的每个数据可用该组区间的 中点值代替，通过样本估计该校全体男生的平均身高． 51, 2        2, 3   1, 3   5 3,2 2        { }na 4 3 5 74, 15a a a a= + + = 10S = x y ( )2,3,5P yOz 'P 'P 0.95 0.15y x= − c c S ABC− O SC O SCA ⊥ , ,SCB SA AC SB BC= = S ABC− O a [185,195] 18．( 本小题满分 12 分) 在 中，角 所对的边分别为 ，已知 . （1）证明： ； （2）若 ，求 的面积. 19． ( 本小题满分 12 分) 如图， 平面 ， // ， ， ，点 为 中点． （1）求证： ； （2）求证： //平面 ． 20．( 本小题满分 12 分) 设 为数列 的前 项和，已知 ， ， ． ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2 2 3 3b c a bc a  + = +    2 3cosa A= ,3 6A B π π= = ABC∆ PA ⊥ ABCD AD BC 2AD BC= AB BC⊥ E PD AB PD⊥ CE PAB nS { }na n 1 0a ≠ 1 12 n na a S S− = ⋅ n ∗∈N （1）求数列 的通项公式； （2）求数列 的前 项和． 21．( 本小题满分 12 分) 如图，在直三棱柱 中，底面 是边长为 的等边三角形， 为 的 中点，侧棱 ，点 在 上，点 在 上，且 ， ． （1）证明：平面 平面 ； （2）求点 到平面 的距离． 22． ( 本小题满分 12 分) 已知圆 的圆心在坐标原点，且与直线 相切． （1）求圆 的方程； （2）过点 作两条与圆 相切的直线，切点分别为 求直线 的方程； （3）若与直线 垂直的直线 与圆 交于不同的两点 ，若 为钝角，求直线 在 轴上的截距的取值范围． 1 1 1ABC A B C− ABC△ 2 D BC 1 3AA = E 1BB F 1CC 1BE = 2CF = CAE ⊥ ADF D AEF C 1 : 2 2 0l x y− − = C ( )1,3G C , ,M N MN 1l l C ,P Q POQ∠ l y { }na { }nna n 南康中学 2018～2019 学年度第一学期高二第二次大考 数学（文科）参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D D B D A A C D A C B 二、填空题 13、55 14、 15、9 16、 三、解答题 17.解：（1）由题意： ， 身高在 的频率为 ，人数为 ．----------5 分 （2）设样本中男生身高的平均值为，则： ， 所以，估计该校全体男生的平均身高为 ．----------10 分 18.证明：（1）∵ ∴ ， 由余弦定理可得 ∴ ， ∴ .----------6 分 （2）∵ ∴ ， 36π 2 2 23 3b c abc a+ = + 2 2 2 3 3b c a abc+ − = 2 2 2 2 cosb c a bc A+ − = 32 cos 3bc A abc= 2 3cosa A= 3A π= 2 3cos 3a A= = ( )2,3,5− 0.1 0.04 0.025 0.02 0.005 0.01a = − − − − = 由正弦定理得 ∴ ， 又 ∴ . ----------12 分 19.证：（1）因为 平面 ， 平面 ，所以 ， 又因为 ， ，所以 ， 又因为 ， ，所以 平面 PAD 所以 ．----------6 分 （2）取 的中点 ，连接 ， ， 又因为点 为 中点，所以 ， ， 又 ， ，所以 ， ， 所以四边形 是平行四边形，因此 ， 又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．----------12 分 20.解：（1）令 ，得 ，因为 ，所以 ， 当 时，由 ， ，两式相减，整理得 ， 于是数列 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，所以 ．----------6 分 （2）由（2）知 ，记其前 项和为 ， 于是 ① ② ① ②得 从而 ．----------12 分 21.解：（1）∵ 是等边三角形， 为 的中点， ∴ ，∴ 平面 ，得 ．① sin sin a b A B = 3 sinsin 6 1sin sin 3 a Bb A π π ⋅ = = = 2C A B ππ= − − = 1 3sin2 2ABCS ab C∆ = = PA ⊥ ABCD AB ⊂ ABCD PA AB⊥ AB BC⊥ AD BC∥ AB AD⊥ PA AB⊥ PA AD A= AB PD⊥ PA F EF BF E PD EF AD∥ 1 2EF AD= AD BC∥ 2AD BC= EF BC∥ EF BC= BCEF EC BF∥ EC ⊄ PAB BF ⊂ PAB CE∥ PAB 1=n 2 1112 aaa =− 01 ≠a 11=a 2≥n 2 1n na S− = 1 12 1n na S− −− = 12 −= nn aa { }na 12 −= n na 12 −= n n nna n nT − 2 11 2 2 2 2 2 1 2n n n n nT n n−− = + + + + − × = − − × ABC△ D BC AD BC⊥ AD ⊥ 1 1BCC B AD CE⊥ AB ⊥ 2 11 2 2 3 2 2n nT n −= + × + × + + × 2 32 1 2 2 2 3 2 2n nT n= × + × + × + + × 1 ( 1) 2n nT n= + − ⋅ 在侧面 中， ， ， ∴ ， ∴ ，∴ ．② 结合①②，又∵ ，∴ 平面 ， 又∵ 平面 ，∴平面 平面 ．----------6 分 （2） 中，易求 ， ，得 ， 中，易求 ， ，得 ， 设三棱锥 的体积为 ，点 到平面 的距离为 ， 则 ，得 ， ．---------12 分 22. （1）由题意得：圆心 到直线 的距离为圆的半径， ，所以圆 的标准方程为： ----------3 分 （2）因为点 ,所以 , 所以以 点为圆心，线段 长为半径的圆 方程： （1） 又圆 方程为： （2）， 由 得直线 方程： ----------7 分 （3）设直线 的方程为： 联立 得： ， 设直线 与圆的交点 ， 由 ，得 ， （3） 因为 为钝角，所以 , 即满足 ，且 与 不是反向共线， 又 ，所以 （4） 1 1BCC B 1tan 2 CDCFD CF ∠ = = 1tan 2 BEBCE BC ∠ = = tan tanCFD BCE∠ = ∠ CFD BCE∠ = ∠ 90BCE FDC CFD FDC∠ + ∠ = ∠ + ∠ = ° CE DF⊥ AD DF D= CE ⊥ ADF CE ⊂ CAE CAE ⊥ ADF FD E△ 5FD FE= = 2DE = 1 3 322 22FDES = × × =△ EFA△ 5EA EF= = 2 2AF = 1 2 2 3 62EFAS = × × =△ D AEF− V D AEF h 1 1 3 3FDE EFAV S AD S h= =△ △ 3 3 62 h× = 3 2 4h = ( )0,0 1 : 2 2 0l x y− − = 2 2 22r = = C 2 2 4x y+ = ( )1,3G 2 21 3 10OG = + = 2 2 6GM OG OM= − = G GM G ( ) ( )2 21 3 6x y− + − = C 2 2 4x y+ = ( ) ( )1 2− MN 3 4 0x y+ − = l y x b= − + 2 2 4x y+ = 2 22 2 4 0x bx b− + − = l ( ) ( )1 1 2 2, , ,P x y Q x y ( ) ( )2 22 8 4 0b b∆ = − − − > 2 8b < 2 1 2 1 2 4, 2 bx x b x x −+ = ⋅ = POQ∠ 0OP OQ⋅ <  1 2 1 2 0x x y y+ < OP OQ 1 1 2 2,y x b y x b= − + = − + ( ) 2 1 2 1 2 1 2 1 22 0x x y y x x b x x b+ = − + + < 由（3）（4）得 ，满足 ，即 ， 当 与 反向共线时，直线 过原点，此时 ，不满足题意， 故直线 在 轴上的截距的取值范围是 ，且 ----------12 分 2 4b < 0∆ > 2 2b− < < OP OQ y x b= − + 0b = l y 2 2b− < < 0b ≠