2018-2019学年广东省深圳市宝安区高二下学期期末考试数学（理）试题（解析版） 23页

‎2018-2019学年广东省深圳市宝安区高二下学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】集合A和集合B的公共元素构成集合，由此利用集合A= , ，即可求出。‎ ‎【详解】‎ 因为=。集合，‎ ‎ 所以=。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查交集及其运算，是基础题，解题时要认真审题。‎ ‎2．（为虚数单位），则复数对应的点在（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】通过 求出 ，然后得到复数 对应的点的坐标。‎ ‎【详解】‎ 由得 所以复数 在复平面对应的点在第一象限。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的除法，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题。‎ ‎3．已知顶点在轴上的双曲线实轴长为4，其两条渐近线方程为，该双曲线的焦点为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由双曲线实轴长为4可知 由渐近线方程，可得到 然后利用 即可得到焦点坐标。‎ ‎【详解】‎ 由双曲线实轴长为4可知 由渐近线方程，可得到即 所以 又双曲线顶点在 轴上，所以焦点坐标为。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线的几何性质，渐近线方程，属于基础题。‎ ‎4．已知函数，则（ ）‎ A． B． C．1 D．7‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意，由函数的解析式可得，又由 即得到答案。‎ ‎【详解】‎ 由函数的解析式可得，又由，则 ‎【点睛】‎ 本题考查了分段函数，解答的关键是运用函数的周期性把 转化有具体解析式的范围内。‎ ‎5．在中，，，，点满足，则等于（ ）‎ A．10 B．9 C．8 D．7‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用已知条件，表示出向量 ,然后求解向量的数量积。‎ ‎【详解】‎ 在中，，，，点满足，可得 ‎ 则==‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量的数量积运算，关键是利用基向量表示所求向量。‎ ‎6．如图，在平面直角坐标系中，质点间隔3分钟先后从点，绕原点按逆时针方向作角速度为弧度/分钟的匀速圆周运动，则与的纵坐标之差第4次达到最大值时，运动的时间为（ ）‎ A．37.5分钟 B．40.5分钟 C．49.5分钟 D．52.5分钟 ‎【答案】A ‎【解析】【详解】‎ 分析：由题意可得：yN=，yM=，计算yM﹣yN=sin，即可得出．‎ 详解：由题意可得：yN=，yM=∴yM﹣yN= yM﹣yN=sin，‎ 令sin=1，解得：=2kπ+，x=12k+，‎ k=0，1，2，3．‎ ‎∴M与N的纵坐标之差第4次达到最大值时，N运动的时间=3×12+=37.5（分钟）．‎ 故选：A．‎ 点睛：本题考查了三角函数的图象与性质、和差公式、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．也查到了三角函数的定义的应用，三角函数的定义指的是单位圆上的点坐标和这一点的旋转角之间的关系.‎ ‎7．下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据三视图得到原图是，边长为2的正方体，挖掉八分之一的球，以正方体其中一个顶点为球的球心。‎ ‎【详解】‎ 根据三视图得到原图是，边长为2的正方体，挖掉八分之一的球，以正方体其中一个顶点为球的球心，故剩余的体积为： ‎ 故答案为：B.‎ ‎【点睛】‎ 思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.‎ ‎8．“”是“圆：与圆：外切”的（ ）‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】由圆：与圆：外切可得，圆心 到圆心 的距离是 求出 的值，然后判断两个命题之间的关系。‎ ‎【详解】‎ 由圆：与圆：外切可得，圆心 到圆心 的距离是即 可得 所以“”是“圆：与圆：外切”的充分不必要条件。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了两个圆的位置关系及两个命题之间的关系，考查计算能力，转化思想。属于中档题。‎ ‎9．已知点在抛物线的准线上，为的焦点，过点的直线与相切于点，则的面积为（ ）‎ A．1 B．2 C． D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题中条件可得到抛物线方程，由直线和抛物线相切得到切点N的坐标，进而求得面积.‎ ‎【详解】‎ 点在抛物线的准线上,可得到p=2,方程为：，切点N（x,y）,满足，过点的直线设为和抛物线联立得到，‎ ‎，取k=1,此时方程为 ‎ 的面积为: ‎ 故答案为：B.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了直线和抛物线的位置关系，当直线和抛物线相切时，可以联立直线和抛物线，使得判别式等于0，也可以设出切点坐标求导得到该点处的斜率.‎ ‎10．已知为等腰三角形，满足，，若为底上的动点，则 A．有最大值 B．是定值 C．有最小值 D．是定值 ‎【答案】D ‎【解析】设是等腰三角形的高.将转化为，将转化为 ‎，代入数量积公式后，化简后可得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 设是等腰三角形的高，长度为.故 .所以选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查向量的线性运算，考查向量的数量积运算，还考查了化归与转化的数学思想方法.属于基础题.‎ ‎11．函数的图象大致为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据函数的奇偶性，排除选项，通过函数的导数，判断函数的单调性，可排除选项，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 函数是偶函数，排除选项；‎ 当时，函数 ，可得，‎ 当时，，函数是减涵数，当 时，函数是增函数，排除项选项，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 函数图象的辨识可从以下方面入手：‎ ‎(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．‎ ‎(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．‎ ‎(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．‎ ‎(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象 ‎12．已知双曲线的左、右焦点分别为、，、分别是双曲线左、右两支上关于坐标原点对称的两点，且直线的斜率为.、分别为、的中点，若原点在以线段为直径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据、分别为、的中点，故OM平行于,ON平行于，再由向量点积为0得到四边形是矩形，通过几何关系得到点A的坐标，代入双曲线得到齐次式，求解离心率.‎ ‎【详解】‎ 因为、分别为、的中点，故OM平行于,ON平行于，因为原点在以线段为直径的圆上，根据圆的几何性质得到OM垂直于ON，故得到垂直于，由AB两点关于原点对称得到，四边形 对角线互相平分，所以四边形是矩形，设角,根据条件得到，‎ ‎ 将点A代入双曲线方程得到： ‎ 解得 ‎ 故答案为：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的几何性质及其应用，对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围).‎ 二、填空题 ‎13．若x，y满足，则的最小值为____‎ ‎【答案】2 ‎ ‎【解析】画出不等式组表示的可行域，将变形为，移动直线并结合图形得到最优解，进而得到所求的最小值．‎ ‎【详解】‎ 画出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示．‎ 由可得．‎ 平移直线，由图形得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最小，此时z取得最小值．‎ 由 解得，‎ 所以点A的坐标为．‎ 所以．‎ 故答案为2．‎ ‎【点睛】‎ 利用线性规划求最值体现了数形结合思想的运用，解题的关键有两个：一是准确地画出不等式组表示的可行域；二是弄清楚目标函数中的几何意义，根据题意判断是截距型、斜率型、还是距离型，然后再结合图形求出最优解后可得所求．‎ ‎14．在的展开式中常数项等于___‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】先求出二项式展开式的通项，然后根据分类讨论的方法得到常数项．‎ ‎【详解】‎ 二项式的展开式的通项为，‎ ‎∴中的常数项为．‎ 故答案为9．‎ ‎【点睛】‎ 对于含有两个括号的展开式的项的问题，求解时可分别求出每个二项式的展开式的通项，然后采用组合（即“凑”）的方法得到所求的项，解题时要做到细致、不要漏掉任何一种情况．‎ ‎15．已知双曲线的左右焦点分别为、，点在双曲线上，点的坐标为，且到直线，的距离相等，则 ___‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】画出图形，根据到直线，的距离相等得到为的平分线，然后根据角平分线的性质得到，再根据双曲线的定义可求得．‎ ‎【详解】‎ 由题意得，点A在双曲线的右支上，‎ 又点的坐标为，‎ ‎∴．‎ 画出图形如图所示，，垂足分别为，‎ 由题意得，‎ ‎∴为的平分线，‎ ‎∴，即．‎ 又，‎ ‎∴．‎ 故答案为4．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的定义和三角形角平分线的性质，解题的关键是认真分析题意，从平面几何图形的性质得到线段的比例关系，考查分析和解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎16．在中，内角所对的边分别为，是的中点，若 且，则面积的最大值是___‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意及正弦定理得到，于是可得，；然后在 和中分别由余弦定理及可得．在此基础上可得，再由基本不等式得到，于是可得三角形面积的最大值．‎ ‎【详解】‎ 如图，设，则,‎ 在和中，分别由余弦定理可得，‎ 两式相加，整理得，‎ ‎∴．①‎ 由及正弦定理得，‎ 整理得，②‎ 由余弦定理的推论可得，所以．‎ 把①代入②整理得，‎ 又，当且仅当时等号成立，‎ 所以，故得．‎ 所以．‎ 即面积的最大值是．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查解三角形在平面几何中的应用，解题时注意几何图形性质的合理利用．对于三角形中的最值问题，求解时一般要用到基本不定式，运用时不要忽视等号成立的条件．本题综合性较强，考查运用知识解决问题的能力和计算能力．‎ 三、解答题 ‎17．各项均为正数的数列的首项，前项和为，且．‎ ‎（1）求的通项公式：‎ ‎（2）若数列满足，求的前项和．‎ ‎【答案】(1) ； (2) ‎ ‎【解析】（1）已知，可得，则，并验证 时，是否满足等式，从而知数列是等差数列，求其通项即可。‎ ‎ （2）因为=，是由等差数列和等比数列的对应项的积组成的数列，用错位相减法即可求和。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，①‎ 所以当时，②‎ ‎①-②得：，‎ 因为的各项均为正数，所以，且，所以 由①知，，即，‎ 又因为，所以 故，‎ 所以数列是首项为，公差为的等差数列 ‎（2）由（1）得，‎ 所以，③‎ ‎④‎ ‎③-④得，‎ 当且时，‎ ‎，；‎ 当时，由③得 综上，数列的前项和 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列，等比数列以及数列的求和。利用等比数列求和公式时，当公比是字母时，要注意讨论公式的范围。属于中档题。‎ ‎18．如图，在四面体中，，分别是线段，的中点，，，，直线与平面所成的角等于．‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】(Ⅰ)见证明； (Ⅱ) 。‎ ‎【解析】（Ⅰ）先证得，再证得，于是可得平面，根据面面垂直的判定定理可得平面平面．（Ⅱ）利用几何法求解或建立坐标系，利用向量求解即可得到所求．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）在中，是斜边的中点，‎ 所以.‎ 因为是的中点，‎ 所以，且，‎ 所以，‎ 所以. ‎ 又因为，‎ 所以，‎ 又，‎ 所以平面，‎ 因为平面，‎ 所以平面平面．‎ ‎（Ⅱ）方法一：取中点，连，则，‎ 因为，‎ 所以.‎ 又因为，，‎ 所以平面，‎ 所以平面．‎ 因此是直线与平面所成的角．‎ 故，‎ 所以.‎ 过点作于，则平面，‎ 且．‎ 过点作于，连接，‎ 则为二面角的平面角．‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 因此二面角的余弦值为．‎ 方法二：‎ 如图所示，在平面BCD中，作x轴⊥BD，以B为坐标原点，BD，BA所在直线为y轴，z轴建立空间直角坐标系．‎ 因为 (同方法一,过程略) ‎ 则，,．‎ 所以,,，‎ 设平面的法向量，‎ 则，即，取,得． ‎ 设平面的法向量 则，即，取,得．‎ 所以，‎ 由图形得二面角为锐角，‎ 因此二面角的余弦值为．‎ ‎【点睛】‎ 利用几何法求空间角的步骤为“作、证、求”，将所求角转化为解三角形的问题求解，注意计算和证明的交替运用．利用空间向量求空间角时首先要建立适当的坐标系，通过求出两个向量的夹角来求出空间角，此时需要注意向量的夹角与空间角的关系．‎ ‎19．如图，OA，OB是两条互相垂直的笔直公路，半径OA＝2km的扇形AOB是某地的一名胜古迹区域．当地政府为了缓解该古迹周围的交通压力，欲在圆弧AB上新增一个入口P（点P不与A，B重合），并新建两条都与圆弧AB相切的笔直公路MB，MN，切点分别是B，P．当新建的两条公路总长最小时，投资费用最低．设∠POA＝，公路MB，MN的总长为．‎ ‎（1）求关于的函数关系式，并写出函数的定义域；‎ ‎（2）当为何值时，投资费用最低？并求出的最小值．‎ ‎【答案】(1) ;(2) 当时，投资费用最低，此时的最小值为.‎ ‎【解析】（1）由题意，设，利用平面几何的知识和三角函数的关系式及三角恒等变换的公式，即可得函数的关系式；‎ ‎（2）利用三角函数的基本关系式和恒等变换的公式，求得的解析式，再利用基本不等式，即可求得投资的最低费用，得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）连接，在中，，故，‎ 据平面几何知识可知,‎ 在中，，故，‎ 所以，‎ 显然，所以函数的定义域为，‎ 即函数关系式为，且。‎ ‎（2）化简（1）中的函数关系式可得：‎ 令，则，代入上式得：‎ 当且仅当时取“＝”，此时 求得，又，所以 ‎∴当时，投资费用最低，此时的最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的实际应用，以及基本不等式求最值问题，其中根据平面几何的知识和三角函数的关系式和恒等变换的公式，得到函数的解析式是解答的关键，着重靠考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.‎ ‎20．中国已经成为全球最大的电商市场，但是实体店仍然是消费者接触商品和品牌的重要渠道.某机构随机抽取了年龄介于10岁到60岁的消费者200人，对他们的主要购物方式进行问卷调查.现对调查对象的年龄分布及主要购物方式进行统计，得到如下图表：‎ ‎ 主要购物方式 年龄阶段 网络平台购物 实体店购物 总计 ‎40岁以下 ‎75‎ ‎40岁或40岁以上 ‎55‎ 总计 ‎（1）根据已知条件完成上述列联表，并据此资料，能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为消费者主要的购物方式与年龄有关？‎ ‎（2）用分层抽样的方法从通过网络平台购物的消费者中随机抽取8人，然后再从这8名消费者中抽取5名进行答谢.设抽到的消费者中40岁以下的人数为，求的分布列和数学期望.‎ 参考公式：，其中.‎ 临界值表：‎ ‎【答案】（1）可以在犯错误的概率不超过的前提下，认为消费者主要的购物方式与年龄有关；（2）见解析 ‎【解析】(1)先由频率分布直方图得到列联表，再根据公式计算得到卡方值，进而作出判断；（2）消费者中40岁以下的人数为，可能取值为3，4，5，求出相应的概率值，再得到分布列和期望.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）根据直方图可知40岁以下的消费者共有人，40或40岁以上的消费者有80人，故根据数据完成列联表如下：‎ ‎ 主要购物方式 年龄阶段 网络平台购物 实体店购物 总计 ‎40岁以下 ‎75‎ ‎45‎ ‎120‎ ‎40岁或40岁以上 ‎25‎ ‎55‎ ‎80‎ 总计 ‎100‎ ‎100‎ ‎200‎ 依题意，的观测值 ‎ ‎ 故可以在犯错误的概率不超过的前提下，认为消费者主要的购物方式与年龄有关.‎ ‎（2）从通过网络平台购物的消费者中随机抽取8人，其中40岁以下的有6人，40岁或40岁以上的有2人，从这8名消费者抽取5名进行答谢，设抽到的消费者中40岁以下的人数为，则的可能取值为3，4，5‎ 且，‎ ‎，‎ ‎，‎ 则的分布列为：‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 故的数学期望为3.75.‎ ‎【点睛】‎ 求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式求得.‎ ‎21．已知抛物线：上一点到其准线的距离为2．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）如图，，为抛物线上三个点，，若四边形为菱形，求四边形的面积．‎ ‎【答案】(1) ；(2) 或 ‎【解析】（1）利用点在抛物线上和焦半径公式列出关于 的方程组求解即可。‎ ‎ （2）设出A,C点的坐标及直线AC,利用设而不求和韦达定理求出AC中点的坐标，然后求出B点的坐标，利用B在抛物线上以及直线BD和直线AC的斜率互为负倒数列出方程组求出B点坐标，然后求出AC的长度，即可求出面积。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由已知可得，‎ 消去得：，‎ 抛物线的方程为 ‎（2）设，，菱形的中心 当轴，则在原点，，‎ ‎，，菱形的面积，‎ 解法一：当与轴不垂直时，设直线方程：，则直线的斜率为 消去得：‎ ‎，，∵为的中点 ‎∴，点在抛物线上，‎ 且直线的斜率为。‎ 解得：，‎ ‎，‎ 综上，或 解法二：设，直线的斜率为 ‎，直线的斜率为，‎ 可以设直线：‎ 消去得：‎ ‎∵‎ ‎，‎ 解方程：，解得，，接下去同上。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与抛物线的位置关系，计算量较大，考查计算能力，属于难题。‎ ‎22．设函数，‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）设，若存在正实数，使得对任意都有恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎(1)对函数求导，对a分类讨论得到导函数的正负进而得到单调性；（2）对a分情况讨论，在不同的范围下，得到函数的正负，进而去掉绝对值，再构造函数，转化为函数最值问题.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵，（）‎ ‎①若，则，故在为增函数 ‎②若时，则，，‎ 故在为减函数，在为增函数 ‎（2）①若，则 由（1）知在为增函数，又，所以对恒成立，‎ 则 设，（），则等价于 ‎，，，‎ 故在递减，在递增，而，显然当，，‎ 故不存在正实数，使得对任意都有恒成立，‎ 故不满足条件 ‎②若，则，由（1）知在为减函数，在为增函数，∵，‎ ‎∴当时，，此时 ‎ ‎∴设，，此时等价于 ‎，‎ ‎（i）若，∵∴，在为增函数，‎ ‎∵，∴，‎ 故不存在正实数，使得对任意都有恒成立，‎ 故不满足条件 ‎（ii）若，易知在为减函数，在为增函数，‎ ‎∵，∴，，故存在正实数，（可取）‎ 使得对任意都有恒成立，故满足条件 ‎【点睛】‎ 这个题目考查了导数在研究函数的单调性中的应用，以及分类讨论思想；对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。‎