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- 2021-04-19 发布
湖南省怀化市2019-2020学年新博览联考高三（上）期中数学文科试卷
一、选择题（本大题共12小题）
1.已知集合，且，则可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用子集概念即可作出判断.
【详解】∵
∴
故选：A
【点睛】本题考查了子集的概念，考查了元素与集合的关系，属于基础题.
2.设命题p：，则为（ ）
A. , B. ,
C. , D. ,
【答案】D
【解析】
分析】
直接利用全称命题的否定是特称命题选出结果即可．
【详解】因为全称命题的否定是特称命题,
所以命题p：“”则是“,”．
故选：D．
【点睛】本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,属于基础题型．
3.已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用对数函数的单调性比较大小即可.
【详解】是增函数，
所以，即，
，
，
所以,
故选：D
【点睛】解决大小关系问题，一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答.
4.已知等差数列{an}中，a3+a5=π，Sn是其前n项和．则sinS7等于（ ）
A. 1 B. 0 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由等差数列{an}中，a3+a5=π，利用等差数列的性质，求得，由此能求出sinS7．
【详解】由题意，等差数列{an}中，a3+a5=π，
又由==，
所以sinS7==sin（-）=-sin=-1．
故选：C．
【点睛】本题考查了等差数列中前7项和的正弦值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
5.已知函数若函数存在零点，则实数a的取值范围是（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分析函数f(x)解析式可知函数存在唯一零点x=0,则只需，从而得到a的范围.
【详解】指数函数，没有零点，
有唯一的零点，
所以若函数存在零点，
须有零点，即，
则，
故选：B.
【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域(最值)问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.
6.已知函数，下列判断正确的是（ ）
A. 在定义域上为增函数 B. 在定义域上为减函数
C. 在定义域上有最小值,没有最大值 D. 在定义域上有最大值,没有最小值
【答案】C
【解析】
【分析】
求出函数的导数,求出极值点,判断函数的单调性,然后求解函数的最小值即可．
【详解】∵ ,
∴,令,得,
∴当x 时, ,单调递减．
当 时, ,单调递增,
所以,无最大值．
故选：C．
【点睛】本题考查函数的单调性以及函数的极值的求法,函数的最值的求法,考查转化思想以及计算能力．
7.已知正的边长为4，点为边的中点，点满足，那么的值为（ ）
A. B. C. 1 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
由二倍角公式得求得tan∠BED，即可求得cos∠BEC，由平面向量数量积的性质及其运算得直接求得结果即可．
【详解】
由已知可得：EB=EC= ，
又
所以
所以
故选：B．
【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及二倍角公式，属中档题．
8.若是公差为的等差数列，它的前10项和为，则的值为（ ）
A. 10 B. C. 20 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由是公差为的等差数列,前10项和为,列式求出,
又,故求出即可.
【详解】∵是公差为的等差数列,它的前10项和为,
∴,解得,
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查等差数列中前5项和的求法,等差数列的性质等基础知识与运算求解能力,是基础题．
9.某电动汽车“行车数据”的两次记录如下表：
记录时间
累计里程
（单位：公里）
平均耗电量（单位：公里）
剩余续航里程
（单位：公里）
2019年1月1日
4000
0.125
280
2019年1月2日
4100
0.126
146
（注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量，平均耗电量=，剩余续航里程=
，下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是
A. 等于12.5 B. 12.5到12.6之间
C. 等于12.6 D. 大于12.6
【答案】D
【解析】
【分析】
根据累计耗电量的计算公式，即可求解．
【详解】由题意，可得，
所以对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是：大于12.6，
故选D．
【点睛】本题主要考查了函数模型的应用，其中解答中正确理解题意，根据累计耗电量的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
10.已知函数,是的导函数,则下列结论中错误的是（ ）
A. 函数的值域与的值域相同
B. 若是函数的极值点,则是函数的零点
C. 把函数的图象向右平移个单位,就可以得到函数的图象
D. 函数和在区间上都是增函数
【答案】C
【解析】
【分析】
求出导函数,再分别判断,的值域、极值点和零点,再根据图象平移与单调性的判断即可．
【详解】由
得.
对于A, 和两函数的值域相同,都是 ,故A正确；
对于B,因为是的导函数, 故函数的极值点是函数的零点,
故B正确；
对于C,把函数的图象向右平移个单位,
得,∴C错误；
对于D, 当时,,单调递增,
,也单调递增,故D正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题,也考查了导数的应用问题,是中档题．
11.函数满足：对一切,．且，当时,．
则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由平方有,从而有,代入可得函数的周期性,再利用周期性将中2019代换到合适的定义域进行函数值求解即可．
【详解】∵满足：对一切,．且,
∴,从而有；
两式相减,得；
∵∴；
∴是以2为周期的函数,
∴；
故选：C．
【点睛】本题考查函数的周期性,函数关系的递推的应用,属于中档题．
12.在△ABC中，AC⊥AB，AB=2，AC=1，点P是△ABC所在平面内一点，，且满足，若，则2λ+μ的最小值是（ ）
A. B. 5 C. 1 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
建立适当的直角坐标系，分别表示出，，进而表示出，再用参数方程，结合三角函数性质求出范围，即可求解．
【详解】由题意，以A 为原点，AB，AC所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系，
则A（0，0），B（2，0），C（0，1），，，
所以，所以点M满足：（x-1）2+（y-2）2=1，
设M（1+cosθ，2+sinθ），
则由得：（1+cosθ，2+sinθ）=（2λ，μ），
所以，
所以2λ+μ的最小值是3-．
故选：D．
【点睛】本题考查了平面向量基本定理，以及三角函数的性质的应用，其中解答中根据向量的平面向量的基本定理，结合三角函数求范围是关键，属于中档题．
二、填空题（本大题共4小题）
13.已知平面向量,若,则________.
【答案】
【解析】
【分析】
由向量垂直的充分必要条件可得：，据此确定x的值即可.
【详解】由向量垂直的充分必要条件可得：，解得：.
故答案：．
【点睛】本题主要考查向量平行的充分必要条件及其应用，属于基础题.
14.与曲线相切于处的切线方程是______．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出曲线的导函数,然后求出在处的导数,从而求出切线的斜率,利用点斜式方程求出切线方程即可．
【详解】∵曲线,
∴,
∴在处切线的斜率为
∴曲线在点处切线方程为,即．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,考查运算求解能力,属于基础题．
15.若是等比数列，且公比，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据等比数列的通项公式先求出首项,即可求得.
【详解】因为是等比数列, 公比，,
故,
解得,
∴,
故答案为：
【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式公式,考查了整体运算思想,属基础题．
16.已知△ABC是锐角三角形，a，b，c分别是A，B，C的对边．若，则
（1）角B的取值范围是______．
（2）的取值范围是______．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
(1)由题意和内角和定理表示出C,由锐角三角形的条件列出不等式组,求出B的范围,
(2)由正弦定理和二倍角的正弦公式化简,由函数的单调性求出结论．
【详解】（1）∵,,
∴,
∵△ABC是锐角三角形,
∴,解得,
（2）由正弦定理得,,
∵,得,即,
令.则,
又在上单调递增．
∴．
∴的取值范围是．
故答案为：； ．
【点睛】本题考查了正弦定理,二倍角的正弦公式,内角和定理、三角函数的单调性,考查转化思想,化简、变形能力,属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题）
17.已知集合,
（1）若，求出m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使是的充分条件，若存在，求出m的范围．若不存在，请说明理由．
【答案】(1) (2)存在，
【解析】
【分析】
(1)根据直接解不等式组即可．
(2)根据充分条件和必要条件与集合的关系转化为,进行求解即可．
【详解】(1)若,则,
即,得,得m≥0．
(2) ,
．
假设存在实数m，使是的充分条件,则必有．
所以,得,
解得．
所以存在实数使条件成立．
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用,结合充分条件和必要条件与集合的关系进行转化是解决本题的关键．比较基础．
18.已知函数.
（1）求值及的最小正周期；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数的最大值.
【答案】（1）1；；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由函数的解析式求解的值即可，整理函数的解析式为的形式，然后由最小正周期公式确定函数的最小正周期即可；
（2）由(1)中函数的解析式可知函数的单调增区间为，．据此结合题意可得实数的最大值.
【详解】（1）由已知.
因为，
所以函数的最小正周期为．
（2）由得，.
所以，函数的单调增区间为，．
当时,函数的单调增区间为，
若函数在区间上单调递增，则，
所以实数的最大值为.
【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用，三角函数的单调性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
19.已知是公差不为0的等差数列，且满足成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】(1)．(2) ．
【解析】
【分析】
(1)利用等差数列以及等比数列的性质,求出公差,继而求数列的通项公式；
(2)代入化简,利用等差数列以及等比数列求和求解即可．
【详解】(1)设的公差为d,因为成等比数列,
所以．即．
化简得．由有,又所以,
所以．
(2)由(1)知,,所以
．
【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的应用,数列求和,考查计算能力．
20.已知顶点在单位圆上的△ABC中，角、、所对的边分别为、、，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求△ABC的面积.
【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）可将变形，由余弦定理可求得A角大小；（2）由正弦定理可求得a边，从而得到关于b,c的方程组，求解可得到bc的值，从而求得三角形面积
试题解析：（1）
又
（2）
又且
∴===
考点：正余弦定理解三角形
21.已知函数，，
（1）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围；
（2）若a=3，且对任意的x1∈[-1，2]，总存在，使g（x1）-f（x2）=0成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）令t=x2，则t∈[1，3]，记，问题转化为函数y=h（t）与y=a有两个交点，利用函数的导数判断函数的单调性求解函数的最小值然后求解实数a的范围．
（2）由（1）知f（x）∈[1，2]，记A=[1，2]，通过当m=0时，当m＞0时，当m＜0时，分类求实数m的取值范围，推出结果即可．
【详解】（1）由题意，函数，，
令t=x2，则t∈[1，3]，则，
要使得函数f（x）有两个零点，即函数y=h（t）与y=a有两个交点，
因为，当t∈（1，2）时，＜0；当t∈（2，3）时，＞0，
所以函数h（t）在（1，2）递减，（2，3）递增，
从而h（t）min=h（2）=4，，h（1）=5，
由图象可得，当时，y=h（t）与y=a有两个交点，
所以函数f（x）有两个零点时实数a的范围为：．
（2）由（1）知f（x）∈[1，2]，记A=[1，2]，
当m=0时，，显然成立；
当m＞0时，在[-1，2]上单调递增，所以，
记，
由对任意的，总存在，使成立，可得，
所以且，解得，
当m＜0时，在[-1，2]上单调递减，所以，
所以且，截得，
综上，所求实数m的取值范围为．
【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数取得函数的最值或值域，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
22.已知函数，函数g（x）=-2x+3．
（1）当a=2时，求f（x）的极值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若-2≤a≤-1，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）-f（x2）|≤t|g（x1）-g（x2）|恒成立，求实数t的最小值．
【答案】（1）f（x）极大值=f（1）=0，无极小值
（2）当a≤0时，F（x）在（0，+∞）单调递增；当a＞0时，F（x）在单调递增，在单调递减
（3）．
【解析】
【分析】
（1）当a=2时，利用导数求得函数 的单调区间，进而得到极值．
（2）求得，分a≤0和a＞0，两种情况讨论，即可得出函数的单调区间；
（3）把不等式转化为f（x2）-f（x1）≤t[g（x1）-g（x2）]，得到f（x2）+tg（x2）≤f（x1）+tg（x1）对任意-2≤a≤-1，1≤x1≤x2≤2恒成立，令，得到h（x）在[1，2]递减，求得 对任意a∈[-2，-1]，x∈[1，2]恒成立，进而转化变量只需要研究，即可求得t的取值范围.
【详解】（1）由题意，当a=2时，函数f（x）=lnx-x2+x，
则．
易知f（x）在（0，1）递增，（1，+∞）递减，
所以函数f（x）极大值为，无极小值．
（2）由函数，
则．
①a≤0时，＞0，恒成立，∴F（x）在（0，+∞）单调递增；
②当a＞0，由＞0得，＜0得，
所以F（x）在单调递增，在单调递减．
综上：当a≤0时，F（x）在（0，+∞）单调递增；
当a＞0时，F（x）在单调递增，在单调递减．
（3）由题知t≥0，．
当-2≤a≤-1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2，
又g（x）单调递减，∴不等式等价于f（x2）-f（x1）≤t[g（x1）-g（x2）]．
即f（x2）+tg（x2）≤f（x1）+tg（x1）对任意-2≤a≤-1，1≤x1≤x2≤2恒成立，
记，则h（x）在[1，2]递减．
对任意a∈[-2，-1]，x∈[1，2]恒成立．
令．
则在[1，2]上恒成立，
则，
而在[1，2]单调递增，∴，所以．
【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，考查运算求解能力，以及函数与方程思想，是难题．