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- 2021-04-19 发布
第二节
命题及其关系、充分条件与必要条件
【
知识梳理
】
1.
命题的定义
用语言、符号或式子表达的
,
可以
_________
的陈述句
叫做命题
.
其中
_________
的语句叫做真命题
,_________
的语句叫做假命题
.
判断真假
判断为真
判断为假
2.
四种命题
(1)
四种命题及其相互关系
:
(2)
互为逆否命题的真假判断
:
互为逆否的两个命题同
___
或同
___.
真
假
3.
充分条件与必要条件的判断
若
p⇒q
,
则
p
是
q
的
_____
条件
,q
是
p
的
_____
条件
p
是
q
的
___________
条件
p⇒q
且
q p
p
是
q
的
___________
条件
p q
且
q⇒p
p
是
q
的
_____
条件
p⇔q
p
是
q
的
_________________
条件
p q
且
q p
充分
必要
充分不必要
必要不充分
充要
既不充分也不必要
【
特别提醒
】
1.
充分条件、必要条件与集合的关系
p
成立的对象构成的集合为
A,
q
成立的对象构成的集合为
B
p
是
q
的充分条件
A⊆B
p
是
q
的必要条件
B⊆A
p
是
q
的充分不必要条件
A B
p
是
q
的必要不充分条件
B A
p
是
q
的充要条件
A=B
2.
互为逆否命题关系的运用
p
是
q
的充分不必要条件
,
等价于
¬q
是
¬p
的充分不必要条件
.
【
小题快练
】
链接教材 练一练
1.(
选修
2-1P10
练习
T3(2)
改编
)“(x-1)(x+2)=0”
是“
x=1”
的
(
)
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
【
解析
】
选
B.
若
x=1,
则
(x-1)(x+2)=0
显然成立
,
但反之不成立
,
即若
(x-1)(x+2)=0,
则
x
的值也可能为
-2.
2.(
选修
2-1P8
习题
1.1A
组
T2(1)
改编
)
命题“若
a,b
都是奇数
,
则
a+b
是偶数”的逆否命题为
.
【
解析
】
“a,b
都是奇数”的否定为“
a,b
不都是奇数”
,“a+b
是偶数”的否定为“
a+b
不是偶数”
,
故其逆否命题为“若
a+b
不是偶数
,
则
a,b
不都是奇数”
.
答案
:
若
a+b
不是偶数
,
则
a,b
不都是奇数
感悟考题 试一试
3.(2015·
湖南高考
)
设
A,B
是两个集合
,
则“
A∩B=A”
是“
A⊆B”
的
(
)
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
【
解析
】
选
C.
由题意得
,A∩B=A⇒A⊆B,
反之
,A⊆B⇒ A∩B=A,
故为充要条件
.
4.(2015·
浙江高考
)
设
a,b
是实数
,
则“
a+b
>0”
是“
ab
>0”
的
(
)
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件
【
解析
】
选
D.
当
a=3,b=-1
时
,a+b
>0,
但
ab
<0,
故不是充分条件
;
当
a=-3,b=-1
时
,ab
>0,
但
a+b
<0,
故不是必要条件
.
所以“
a+b
>0”
是“
ab
>0”
的既不充分也不必要条件
.
5.(2016·
焦作模拟
)
已知命题
α:
如果
x<3,
那么
x<5;
命题
β:
如果
x≥3,
那么
x≥5;
命题
γ:
如果
x≥5,
那么
x≥3.
关于这三个命题之间的关系
.
下列三种说法正确
的是
(
)
①
命题
α
是命题
β
的否命题
,
且命题
γ
是命题
β
的逆
命题
;
②命题
α
是命题
β
的逆命题
,
且命题
γ
是命题
β
的否命题
;
③
命题
β
是命题
α
的否命题
,
且命题
γ
是命题
α
的逆否命题
.
A.①③
B.②
C.②③
D.①②③
【
解析
】
选
A.
本题考查命题的四种形式
,
逆命题是把原命题中的条件和结论互换
,
否命题是把原命题的条件和结论都加以否定
,
逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得
,
故①正确
,
②
错误
,
③
正确
.
考向一
四种命题及其关系
【
典例
1】
(1)(2015·
山东高考
)
设
m∈R
,
命题“若
m>0,
则方程
x
2
+x-m=0
有实根”的逆否命题是
(
)
A.
若方程
x
2
+x-m=0
有实根
,
则
m>0
B.
若方程
x
2
+x-m=0
有实根
,
则
m≤0
C.
若方程
x
2
+x-m=0
没有实根
,
则
m>0
D.
若方程
x
2
+x-m=0
没有实根
,
则
m≤0
(2)
原命题为“若
z
1
,z
2
互为共轭复数
,
则
|z
1
|=|z
2
|”,
关于逆命题
,
否命题
,
逆否命题真假性的判断依次如下
,
正确的是
(
)
A.
真
,
假
,
真
B.
假
,
假
,
真
C.
真
,
真
,
假
D.
假
,
假
,
假
【
解题导引
】
(1)
原命题的逆否命题书写格式是否定结论当条件
,
否定条件当结论
.
(2)
写出逆命题
,
利用原命题与逆否命题
,
逆命题与否命题等价来判断
.
【
规范解答
】
(1)
选
D.“
方程
x
2
+x-m=0
有实根”的否定是“方程
x
2
+x-m=0
没有实根”
;“m>0”
的否定是“
m≤0”,
故命题“若
m>0,
则方程
x
2
+x-m=0
有实根”的逆否命题是“若方程
x
2
+x-m=0
没有实根
,
则
m≤0”.
(2)
选
B.
由已知条件可以判断原命题为真
,
所以它的逆否命题也是真
;
而它的逆命题为假
,
如
:z
1
=1+2i,z
2
=2+i,
显然
|z
1
|=|z
2
|,
但
z
1
与
z
2
显然不共轭
,
所以它的否命题亦为假
.
【
母题变式
】
1.
写出本例题
(1)
的否命题
.
【
解析
】
原命题的否命题是“若
m≤0,
则方程
x
2
+x-m=0
没有实根”
.
2.
若本例题
(1)
的条件变为
:“
若
m≤0”,
其他条件不变
,
试判断其逆命题的真假
.
【
解析
】
条件改变后
,
其逆命题为
:“
若方程
x
2
+x-m=0
有实根
,
则
m≤0”.
因为若方程
x
2
+x-m=0
有实根
,
则
Δ=1+4m≥0,
所以
m≥- .
即当方程有实根时
,m
也可能大于
0,
故其逆命题为假
.
【
规律方法
】
1.
一些常见词语及其否定
词语
是
都是
都不是
等于
大于
否定
不是
不都是
至少一个是
不等于
不大于
2.
命题真假的判断方法
(1)
联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断
.
(2)
利用原命题与逆否命题
,
逆命题与否命题的等价关系进行判断
.
【
变式训练
】
给定下列命题
:
①
反比例函数
y= (k<0)
的图象是双曲线且位于第二、
四象限
;
②
若
x+y≠8,
则
x≠2
或
y≠6;
③“
矩形的对角线相等”的逆命题
;
④“若
xy
=0,
则
x,y
中至少有一个为
0”
的否命题
.
其中真命题的序号是
.
【
解析
】
由反比例函数的性质可知命题①正确
;
命题②的逆否命题是“若
x=2
且
y=6,
则
x+y
=8”,
其显然正确
,
所以命题②正确
;“
对角线相等的四边形是矩形”显然是假命题
,
即命题③不正确
;
因为“若
xy
=0,
则
x,y
中至少有一个为
0”
的逆命题显然正确
,
由互为逆否命题的等价性知④正确
.
答案
:
①②④
【
加固训练
】
1.
命题“若
α= ,
则
tanα
=1”
的逆否命题是
(
) A.
若
α≠ ,
则
tanα≠1
B.
若
α= ,
则
tanα≠1
C.
若
tanα≠1,
则
α≠
D.
若
tanα≠1,
则
α=
【
解析
】
选
C.
原命题的逆否命题是“若
tanα≠1,
则
α≠ ”.
2.(2016·
宜宾模拟
)
下面是关于公差
d>0
的等差数列
{a
n
}
的四个命题
: p
1
:
数列
{a
n
}
是递增数列
; p
2
:
数列
{na
n
}
是递增数列
; p
3
:
数列 是递增数列
;
p
4
:
数列
{a
n
+3nd}
是递增数列
.
其中的真命题为
(
) A.p
1
,p
2
B.p
3
,p
4
C.p
2
,p
3
D.p
1
,p
4
【
解析
】
选
D.
由题意知
p
1
显然正确
;p
2
是假命题
,
例如
,
当
a
n
=n-4
时
,
数列
{na
n
}
中第一、二、三项分别为
-3,
-4,-3,
显然它不是递增数列
;p
3
是假命题
,
例如
,
当
a
n
=n
时
, =1,
即 是常数列
;
对于
p
4
:
因为
a
n+1
+3(n+1)d
-(a
n
+3nd)=d+3d=4d>0,
所以
p
4
是真命题
.
考向二
充分条件、必要条件的判断
【
考情快递
】
命题方向
命题视角
用定义法判断充分条件、必要条件
考查对充分条件、必要条件定义的理解和运用
,
属容易题
用集合法判断充分条件、必要条件
考查对集合法的理解和运用
,
属容易题
用等价转化法判断充分条件、必要条件
考查对四种命题的理解
,
属中档题
【
考题例析
】
命题方向
1:
用定义法判断充分条件、必要条件
【
典例
2】
(2015·
陕西高考
)“sinα=cosα
”
是
“
cos
2α=0”
的
(
)
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件
【
解题导引
】
结合二倍角的余弦公式进行判断或先表示出角
α,
再判断
.
【
规范解答
】
选
A.
方法一
:
由
cos2α=0
得
cos
2
α-sin
2
α=(cosα+sinα)(cosα-sinα
)=0,
得
sinα=cosα
或
sinα=-cosα
.
所以
sinα=cosα⇒cos
2α=0,
即“
sinα=cosα
”
是“
cos2α=0”
的充分不必要条件
.
方法二
:
由
sinα=cosα
,
得
即
α- =kπ,k∈Z,α=kπ+ ,k∈Z
.
而由
cos
2α=0,
得
2α=kπ+ ,k∈Z,α= k∈Z
.
所以
sinα
=cosα⇒cos2α=0,
即“
sinα=cosα
”
是“
cos2α=0”
的充分不必要条件
.
命题方向
2:
用集合法判断充分条件、必要条件
【
典例
3】
(2015·
安徽高考
)
设
p:11,
则
p
是
q
成立的
(
)
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件
【
解题导引
】
利用集合法结合充分、必要条件的定义及指数不等式的求解进行判断
.
【
规范解答
】
选
A.
由
2
x
>2
0
⇒x>0,
且
{x|10}
可知
:
由
p
能推出
q,
但由
q
不能得出
p,
所以
p
是
q
成立的充分不必要条件
.
命题方向
3:
用等价转化法判断充分条件、必要条件
【
典例
4】
(2016·
银川模拟
)
给定两个命题
p,q
.
若
¬p
是
q
的必要而不充分条件
,
则
p
是
¬q
的
(
)
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
【
解题导引
】
利用原命题与逆否命题等价进行判断
.
【
规范解答
】
选
A.
因为
¬p
是
q
的必要不充分条件
,
则
q⇒¬p
但
¬p q,
其逆否命题为
p⇒¬q
但
¬q p,
所以
p
是
¬q
的充分不必要条件
.
【
技法感悟
】
充要条件的三种判断方法
(1)
定义法
:
根据
p⇒q,q⇒p
进行判断
.
(2)
集合法
:
根据
p,q
成立对应的集合之间的包含关系进行判断
.
(3)
等价转化法
:
根据一个命题与其逆否命题的等价性
,
把判断的命题转化为其逆否命题进行判断
.
这个方法特别适合以否定形式给出的问题
,
如“
xy≠1”
是“
x≠1
或
y≠1”
的何种条件
,
即可转化为判断“
x=1
且
y=1”
是“
xy
=1”
的何种条件
.
【
题组通关
】
1.(2016·
肇庆模拟
)
设条件
p:a≥0;
条件
q:a
2
+a≥0,
那么
p
是
q
的
(
)
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分又不必要条件
【
解析
】
选
A.
因为
a
2
+a
≥
0,
所以
a≥0,a≤-1,
可判断
:
若
p:a≥0;
则条件
q:a
2
+a≥0
成立
.
可判断
:p
是
q
的充分不必要条件
.
2.(2015·
湖北高考
)
l
1
,
l
2
表示空间中的两条直线
,
若
p:
l
1
,
l
2
是异面直线
,q:
l
1
,
l
2
不相交
,
则
(
)
A.p
是
q
的充分条件
,
但不是
q
的必要条件
B.p
是
q
的必要条件
,
但不是
q
的充分条件
C.p
是
q
的充分必要条件
D.p
既不是
q
的充分条件
,
也不是
q
的必要条件
【
解析
】
选
A.
若
p:
l
1
,
l
2
是异面直线
,
由异面直线的定义知
,
l
1
,
l
2
不相交
,
所以命题
q:
l
1
,
l
2
不相交成立
,
即
p
是
q
的充分条件
,
反过来
,
若
q:
l
1
,
l
2
不相交
,
则
l
1
,
l
2
可能平行
,
也可能异面
,
所以不能推出
l
1
,
l
2
是异面直线
,
即
p
不是
q
的必要条件
.
3.(2014·
全国卷
Ⅱ)
函数
f(x
)
在
x=x
0
处导数存在
,
若
p:f′(x
0
)=0;q:x=x
0
是
f(x
)
的极值点
,
则
(
)
A.p
是
q
的充分必要条件
B.p
是
q
的充分条件
,
但不是
q
的必要条件
C.p
是
q
的必要条件
,
但不是
q
的充分条件
D.p
既不是
q
的充分条件
,
也不是
q
的必要条件
【
解析
】
选
C.
因为若
f′(x
0
)=0,
则
x=x
0
不一定是极值点
,
所以命题
p
不是
q
的充分条件
;
因为若
x=x
0
是极值点
,
则
f′(x
0
)=0,
所以命题
p
是
q
的必要条件
.
4.(2014·
湖北高考
)
设
U
为全集
,A,B
是集合
,
则“存在
集合
C
使得
A⊆C,B⊆ C”
是“
A∩B=
∅
”
的
(
)
A.
充分而不必要的条件
B.
必要而不充分的条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要的条件
【
解析
】
选
C.
依题意
,
若
A⊆C,
则
C⊆ A,
当
B⊆ C
时
,
可得
A∩B=∅;
若
A∩B=∅,
不妨令
C=A,
显然满足
A⊆C,B⊆
C,
故满足条件的集合
C
是存在的
.
考向三
充分条件、必要条件的应用
【
典例
5】
(1)
使不等式
x
2
-3x<0
成立的充分而不必要条件是
(
)
A.03
(2)
已知
p:|4-x|≤6,q:x
2
-2x+1-m
2
≤0(m>0),
且
¬p
是
¬q
的必要而不充
分条件
,
则实数
m
的取值范围是
.
【
解题导引
】
(1)
先解不等式
,
再由题意对比选取
.
(2)
先求出
p,q
对应不等式的解集
,
再利用
p,q
间的关系列出关于
m
的不等式或不等式组求解
.
【
规范解答
】
(1)
选
A.
解不等式
x
2
-3x<0
得
00,
得
1-m≤x≤1+m,
则
q:Q
={x|1-m≤x≤1+m,m>0}.
由
p:|4-x|≤6,
解得
-2≤x≤10,
则
p:P
={x|-2≤x≤10}.
因为
p
是
q
的充分而不必要条件
,
则
P Q,
所以
即
m≥9
或
m>9.
故
m≥9.
答案
:
m≥9
【
一题多解
】
解答本题
,
还有以下解法
:
由
q:x
2
-2x+1-m
2
≤0,m>0,
得
1-m≤x≤1+m,
则
¬q:A={x|x
>1+m
或
x<1-m,m>0}.
由
p:|4-x|≤6,
得
-2≤x≤10,
则
¬p:B={x|x
>10
或
x<-2}.
因为
¬p
是
¬q
的必要而不充分条件
,
则
A B,
所以 即
m≥9
或
m>9.
故
m≥9.
【
易错警示
】
解答本例题
(1)
会出现以下错误
:
题意理解不清
,
混淆了谁是谁的充分而不必要条件
,
而误选
C.
【
规律方法
】
1.
与充分条件、必要条件有关的参数问题的求解方法
根据条件把问题转化为集合之间的关系
,
并由此列出关于参数的不等式
(
组
)
求解
,
要注意区间端点值的检验
.
2.
充要条件的证明方法
在解答题中证明一个论断是另一个论断的充要条件时
,
其基本方法是分“充分性”和“必要性”两个方面进行证明
.
这类试题一般有两种设置格式
.
(1)
证明
:A
成立是
B
成立的充要条件
,
其中充分性是
A⇒B,
必要性是
B⇒A.
(2)
证明
:A
成立的充要条件是
B,
此时的条件是
B,
故充分性是
B⇒A,
必要性是
A⇒B.
易错提醒
:
在对充分性与必要性分别进行证明的题中
,
需要分清命题的条件和结论
.
【
变式训练
】
已知
a+b≠0,
证明
a
2
+b
2
-a-b+2ab=0
成立的充要条件是
a+b
=1.
【
证明
】
先证充分性
:
若
a+b
=1,
则
b=1-a,
所以
a
2
+b
2
-a-b+2ab=a
2
+(1-a)
2
-a-(1-a)+2a(1-a)
=
a
2
+1-2a+a
2
-a-1+a+2a-2a
2
=0.
即
a
2
+b
2
-a-b+2ab=0,
充分性得证
,
再证必要性
:
若
a
2
+b
2
-a-b+2ab=0,
即
(a+b)
2
-(a+b)=0,
(a+b-1)(a+b)=0,
因为
a+b≠0,
所以
a+b-1=0,
即
a+b
=1,
必要性得证
,
综上可得
,a
2
+b
2
-a-b+2ab=0
成立的充要条件是
a+b
=1.
【
加固训练
】
1.
函数
f(x
)=
有且只有一个零点的充分不必要条件是
(
)
A.a
<0 B.01
【
解析
】
选
A.
因为函数
f(x
)
过点
(1,0),
所以函数
f(x
)
有且只有一个零点⇔函数
y=-2
x
+a(x≤0)
没有零点⇔函
数
y=2
x
(x≤0)
与直线
y=a
无公共点
.
由数形结合
,
可得
a≤0
或
a>1.
观察选项
,
根据集合间关系
{a|a
<0}
{a|a≤0
或
a>1},
故选
A.
2.
若“
x
2
>1”
是“
x1
得
x>1
或
x<-1.
由题意知
{x|x1
或
x<-1},
所以
a≤-1,
从而
a
的最大值为
-1.
答案
:
-1