【数学】2019届一轮复习苏教版矩阵乘法的概念矩阵乘法的简单性质学案 9页

‎2019届一轮复习苏教版 矩阵乘法的概念 矩阵乘法的简单性质 学案 ‎1.熟练掌握两个矩阵的乘法法则，并能从变换的角度理解它们.‎ ‎2.会从几何变换的角度求MN的乘积矩阵.‎ ‎3.通过具体的几何图形变换，理解矩阵乘法不满足交换律.‎ ‎[基础·初探]‎ ‎1.矩阵的乘法 一般地，对于矩阵M＝，N＝，规定乘法法则如下：‎ MN＝＝.‎ ‎2.矩阵乘法的几何意义 ‎(1)变换的复合：在数学中，一一对应的平面几何变换常可以看做是伸压、反射、旋转、切变变换的一次或多次复合，而伸压、反射、切变等变换通常叫做初等变换；对应的矩阵叫做初等变换矩阵.‎ ‎(2)矩阵乘法的几何意义：‎ 矩阵乘法MN的几何意义为：对向量α＝连续实施的两次几何变换(先TN后TM)的复合变换.‎ ‎(3)当连续对向量实施(n＞1，且n∈N*)次变换TM时，对应地我们记Mn＝.‎ ‎3.矩阵乘法的运算性质 ‎(1)矩阵乘法不满足交换律 对于二阶矩阵A、B来说，尽管AB、BA均有意义，但可能AB≠BA.‎ ‎(2)矩阵乘法满足结合律 设A、B、C均为二阶矩阵，则一定有(AB)C＝A(BC).‎ ‎(3)矩阵乘法不满足消去律 设A、B、C为二阶矩阵，当AB＝AC时，可能B≠C.‎ ‎[思考·探究]‎ ‎1.矩阵的乘法与实数的乘法有什么异同？‎ ‎【提示】　(1)运算条件不同，任何两个实数均可作乘法，而两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相同时，才能作乘法.‎ ‎(2)从运算律上看，实数的乘法满足交换律、结合律及消去律，而矩阵的乘法只满足结合律.‎ ‎2.矩阵的乘法与变换的复合有什么关系？简单变换与复合变换有什么关系？‎ ‎【提示】　矩阵的乘法对应着变换的复合，这样使得若干个简单变换可以复合成较为复杂的变换；反过来较为复杂的变换可以分解成若干个简单的变换.‎ ‎3.矩阵乘法MN与NM的几何意义一致吗？为什么？‎ ‎【提示】　不一致；因为前一个对应着先TN后TM的两次几何变换，而后者对应着先TM后TN的两次几何变换.‎ ‎[质疑·手记]‎ 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：‎ 疑问1：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 解惑：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 疑问2：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 解惑：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 疑问3：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 解惑：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 矩阵的乘法运算 ‎　(1)已知A＝，B＝，计算AB.‎ ‎(2)已知A＝，B＝，计算AB，BA.‎ ‎(3)已知A＝，B＝，计算A2、B2.‎ ‎【精彩点拨】　利用矩阵乘法法则计算，根据矩阵乘法的几何意义说明.‎ ‎【自主解答】　(1)AB＝＝＝.‎ ‎(2)AB＝＝＝，‎ BA＝＝ ‎＝.‎ ‎(3)A2＝＝，‎ B2＝＝.‎ 这些计算只需利用矩阵的乘法公式即可，但对揭示矩阵乘法的性质却有着重要的意义.(1)中尽管A、B均为非零矩阵，但它们的乘积却是零矩阵；(2)中AB≠BA；(3)中尽管B≠C，但有AB＝AC，这与一般数乘有着本质的区别；(4)中A2＝A，B2＝0，这里0是一个二阶零矩阵.‎ 证明下列等式并从几何变换的角度给予解释.‎ ＝ ‎ ‎【导学号：30650025】‎ ‎【解】　∵左＝＝，‎ 右＝＝，‎ ‎∴左＝右.‎ 对应的变换将平面上的点垂直投影到x轴，而x轴上的点沿x轴的切变变换是不动点.，均为沿x轴的切变变换，自然有等式成立.‎ 矩阵乘法的简单性质 ‎　已知正方形ABCD，点A(1，0)、B(1，1)、C(0，1)、D(0，0)，变换T1所对应的矩阵M＝，变换T2所对应的矩阵N＝，计算MN、NM，比较它们是否相同，并从几何变换的角度予以解释.‎ ‎【精彩点拨】　利用具体的几何变换验证.‎ ‎【自主解答】　MN＝＝，‎ NM＝＝.‎ 故MN≠NM.‎ 从几何变换的角度来看，矩阵M表示T1为向x轴压缩为一半的变换，矩阵N表示T2为逆时针旋转90°的变换.‎ 这样MN表示矩阵ABCD先经T2，再经T1的变换，变换结果如图(1)所示：‎ 而NM表示矩形ABCD先经T1，再经T2的变换，变换结果如图(2)所示.‎ ‎(2)‎ 从图(1)以及图(2)可知，MN和NM表示的不是同一个变换.‎ 一个旋转变换与一个伸压变换的乘积一般不满足交换律.但两个旋转变换、两个反射变换满足交换律.‎ 算式＝表示AB＝AC，但A≠0且有B≠C，请通过计算验证这个结果，并从几何上给予解释. ‎ ‎【导学号：30650026】‎ ‎【解】　左边＝＝ 右边＝＝.‎ ‎∴左边＝右边.‎ 表示先将平面上的点横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，再往x轴上投影.‎ 表示先将平面上的点横坐标不变，纵坐标缩短为原来的，再往x轴上投影.‎ 变换的复合问题 ‎　已知圆C：x2＋y2＝1，先将圆C作关于矩阵P＝的伸压变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90°，求所得曲线的方程.‎ ‎【精彩点拨】　先求出旋转90°的矩阵Q，进而求QP，再求曲线方程.‎ ‎【自主解答】　绕原点逆时针旋转90°的变换矩阵Q＝，‎ 则M＝QP＝＝.‎ 设A(x0，y0)为圆C上的任意一点，在TM变换下变为另一点A′(x′0，y′0)，‎ 则＝，‎ 即所以 又因为点A(x0，y0)在曲线x2＋y2＝1上，‎ 所以(y′0)2＋＝1.‎ 故所得曲线的方程为＋y2＝1.‎ 矩阵的乘法对应着变换的复合，而两个变换的复合仍是一个变换，且两个变换的复合过程是有序的，不能颠倒.‎ 若将本例中两次变换的顺序交换，则曲线的方程如何？‎ ‎【解】　绕原点逆时针旋转90°的变换矩阵 Q＝，‎ 则M＝PQ＝＝.‎ 设A(x0，y0)为圆C上的任意一点，在TM变换下变为另一点A′(x′0，y′0)，则＝，‎ 即所以 又因为点A(x0，y0)在曲线x2＋y2＝1上，‎ 所以＋(－x′0)2＝1.‎ 故所得曲线的方程为x2＋＝1.‎ ‎[真题链接赏析]‎ ‎　(教材第47页习题2.3第5题)已知△ABC，A(0，0)，B(2，0)，C(1，2)，对它先作M＝对应的变换，再作N＝对应的变换，试研究变换作用后的结果，并用一个矩阵来表示这两次变换.‎ ‎　已知曲线C1：x2＋y2＝1，对它先作矩阵A＝对应的变换，再作矩阵B＝对应的变换，得到曲线C2：＋y2＝1.求实数b的值.‎ ‎【命题意图】　本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力.‎ ‎【解】　从曲线C1变到曲线C2的变换对应的矩阵为BA＝＝.‎ 在曲线C1上任意选一点P(x0，y0)，设它在矩阵BA对应的变换作用下变为P′(x′，y′)，‎ 则有＝，即＝.‎ 故解得代入曲线C1方程得，y′2＋＝1.‎ 即曲线C2方程为：x2＋y2＝1.‎ 与已知的曲线C2的方程＋y2＝1比较得(2b)2＝4.‎ 所以b＝±1.‎ ‎1.若A＝，B＝，则AB＝________，BA＝________.‎ ‎【解析】　AB＝ ‎＝＝，‎ ‎【答案】　 ‎2.若A＝，B＝，C＝，则AB＝________，AC＝________. ‎ ‎【导学号：30650027】‎ ‎【解析】　AB＝＝，‎ AC＝＝.‎ ‎【答案】　　　 ‎3.＝__________.‎ ‎【解析】　 ‎＝ ‎＝.‎ ‎【答案】　 ‎4.矩阵乘法的几何意义是________.‎ ‎【解析】　几何意义是先施以沿y轴方向的伸压变换，再施以原点为中心的反射变换.‎ ‎【答案】　先施以沿y轴方向的伸压变换，再施以原点为中心的反射变换 我还有这些不足：‎ ‎(1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎(2)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 我的课下提升方案：‎ ‎(1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎(2)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎