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- 2021-04-19 发布
2018-2019学年贵州省凯里市第一中学高一下学期期中考试数学试题
一、单选题
1.已知集合,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】化简集合B,根据交集的定义计算A∩B.
【详解】
由,得,则,
故选A.
【点睛】
本题考查了集合的化简与运算,是基础题.
2.已知直线的倾斜角为,且过点,则直线的方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】先求出直线的斜率,再根据点斜式即求出直线方程.
【详解】
由题知直线l的斜率为,则,整理得,
故选C.
【点睛】
本题考查了直线的斜率和点斜式方程,属于基础题
3.已知等差数列的前项和为,且,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】利用等差数列的前n项和公式和等差数列的性质能求出S7.
【详解】
由,
故选B.
【点睛】
本题考查等差数列的前n项和的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用.
4.若,,则下列选项中正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据不等式的基本性质即可得出.
【详解】
由
故选D.
【点睛】
本题考查了不等式的性质,熟记性质准确推理是关键,属于基础题.
5.已知角的终边经过点,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】利用任意角的三角函数定义即可求出tanθ的值,分子分母除以cosθ,利用同角三角函数间的基本关系变形后,将tanθ的值代入计算即可求出值;
【详解】
由题知,则 ,
故选A.
【点睛】
此题考查了同角三角函数间的基本关系,以及任意角的三角函数定义,熟练掌握基本关系是解本题的关键.
6.已知函数的零点在区间内,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得f(1)f(2)<0,解不等式求得实数m的取值范围.
【详解】
由题知f(x)单调,故,
故选B.
【点睛】
本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用,属于基础题.
7.在数列中,已知,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由累加法结合等比数列的求和公式可得.
【详解】
由得
上述各式相加得,
则,
故选A.
【点睛】
本题考查等比数列求和公式和累加法求数列的通项公式,熟记公式是关键,属基础题.
8.已知函数为减函数,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由指数函数的单调性列的不等式求解即可
【详解】
由题知或
故选C.
【点睛】
本题考查指数函数的单调性,不等式的求解,是基础题
9.关于x的方程在 上有解,则实数m的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】转化为与y=m有交点利用数形结合求解即可
【详解】
由关于x的方程,在上有解,则函数的图像与直线y=m在有交点,令t=,则
如图,则,
故选B.
【点睛】
本题考查辅助角公式,考查三角函数值域,考查数形结合思想,是基础题.
10.已知直线和直线平行,且直线过点,则下列等式①, ②, ③, ④中正确的个数有( )
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个
【答案】C
【解析】先由平行及直线过点得m,n,再逐项判断即可
【详解】
由题知,即,
由直线过点,则,解得,则m+n=2,
对于①,则①错误,对于②则②正确,
对于③,则③错误,
对于④,则④正确,
故选C.
【点睛】
本题考查直线的位置关系,考查对数恒等式,熟记运算性质是关键,是基础题
11.在中,为所在平面内一点,且,则的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题得ABCD为矩形,利用三角形面积公式求解即可
【详解】
由题可作如图所示的矩形,则易知,则,则,所以
故选D.
【点睛】
本题考查三角函数与向量的结合,正弦定理,三角形面积公式,是基础题
12.已知函数的定义域为R,且对任意的且都有成立,若对恒成立,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由函数的单调性列x的不等式求解即可
【详解】
由,则函数在R上为增函数,由对恒成立,故,即解得,
故选A.
【点睛】
本题考查函数的单调性,考查恒成立问题,是基础题
二、填空题
13.已知向量, 且, 则__________.
【答案】
【解析】利用向量平行的坐标表示求解即可
【详解】
由题知,整理得
故答案为:
【点睛】
本题考查向量平行的坐标表示,熟记公式准确计算是关键,是基础题
14.已知实数 满足约束条件,则目标函数的最大值为______.
【答案】3
【解析】画不等式组表示的平面区域,利用线性规划求范围即可
【详解】
不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,作出直线.平移该直线,当经过点B时,取得最大值,由,得,即B(2,-1),所以.
故答案为:3
【点睛】
本题考查线性规划,考查数形结合思想,准确计算是关键,是基础题
15.已知直线和圆,则直线与圆相交所得的弦长为______.
【答案】
【解析】由弦长公式和点到直线的距离求解即可.
【详解】
如图,记直线与圆相交于两点,圆心 到直线的距离为,
则,,则,
所以直线与圆相交所得的弦长为.
故答案为:
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系:弦长公式、点到直线的距离公式,以及方程思想,是基础题
16.已知不等式的解集为,则的最小值为__________.
【答案】8
【解析】由二次函数的根与系数的关系得到a,b,c满足的关系;将代数式变形,利用基本不等式求出最小值,
【详解】
由题知,则,
则=8,当且仅当
,
即时取等号.故的最小值为8.
故答案为:8
【点睛】
主要考查了一元二次不等式的求解,根与系数关系,基本不等式求最值,考查学生的运算能力,是中档题
三、解答题
17.已知等差数列的前n项和为,且 ,.
(Ⅰ)求的表达式;
(Ⅱ)求数列的前n项和.
【答案】(I);(II)
【解析】(Ⅰ)列的方程组求解即可;(Ⅱ)裂项相消求和即可
【详解】
(I)由已知得,解得.故.
(II)
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
18.平面直角坐标系中,已知点A(2,1),B(1,3),动点P(x,y)满足.
(Ⅰ)求P的轨迹方程并指出它是什么曲线;
(Ⅱ)过A点的直线l与P的轨迹有且只有一个公共点,求直线l的方程.
【答案】(I),以点为圆心,为半径的圆;(II)和
【解析】(Ⅰ)直接由列式求得点P的轨迹的方程;(Ⅱ)由直线与圆相切设直线方程有点到线距离公式求解即可
【详解】
(I)由已知得
化简得, 整理得
它是一个以点为圆心,为半径的圆.
(II)在圆外,则与圆相切,且斜率存在,设其方程为:
整理得
圆心到直线的距离,解得或
故的方程为:和
【点睛】
本题考查轨迹方程,直线与圆的位置关系,熟记公式,准确计算是关键,是中档题
19.在中,角A,B,C,的对应边分别为,且.
(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)若的面积为,,D为AC的中点,求BD的长.
【答案】(I);(II)
【解析】(I)由正弦定理得,展开结合两角和的正弦整理求解;(Ⅱ)由面积得,利用平方求解即可
【详解】
(I),由正弦定理得
整理得
,则
,,.
(II),
,两边平方得
【点睛】
本题考查正弦定理及两角和的正弦,三角形内角和定理,考查向量的数量积及模长,准确计算是关键,是中档题
20.已知平面向量,设.
(Ⅰ)求函数的单调递增区间;
(Ⅱ)将函数的图象向左平移个单位长度,所得图像对应的函数为,若均为锐角,且,,求的值.
【答案】(I)递增区间是;(II)
【解析】(Ⅰ)用向量的数量积的坐标运算求出f(x)的解析式,整体代换的方法求出单调区间(Ⅱ)利用平移变换得的解析式,利用配凑角得代入求解即可
【详解】
(I).
设解得
函数的单调递增区间是
(II)由题
均为锐角, ,.
.
【点睛】
本题考查向量的数量积,三角恒等变换,三角函数的单调区间及配凑角求值,熟记公式准确计算是关键,是中档题
21.已知一次函数的图象过点和,为幂函数.
(Ⅰ)求函数与的解析式;
(Ⅱ)当时,解关于的不等式:.
【答案】(I),;(II)见解析
【解析】(Ⅰ)设出函数的解析式,代入法求出f(x)的解析式,由幂函数定义求出g(x)的解析式即可;(Ⅱ)讨论其判别式得解集即可
【详解】
(I)设,
,解得,则
为幂函数,则,故.
(II).
当或时,不等式的解集为或
当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为
当时,不等式的解集为
【点睛】
本题考查了求函数的解析式问题,考查解二次不等式问题,考查分类讨论思想,是一道中档题.
22.已知数列的前n项和为,且.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)令,求数列的前n项和及的最小值.
【答案】(I);(II),最小值
【解析】(I)由得,检验n=1成立即可求解;(Ⅱ)利用错位相减求和即可
【详解】
(I)当n=1时,,解得
当时,,解得 .
则,故是首项为 ,公比为2的等比数列
(II)
则
两式作差得
所以令,有对恒成立,
则数列是递减数列,故为递增数列,则.
【点睛】
本题考查递推关系求通项公式,考查错位相减求和,数列的单调性,准确判断单调性是关键,是中档题