- 861.50 KB
- 2021-04-19 发布
高二理科卫星班期末考试
数学(理科)试题
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数满足：，则（ ）【来源：全,品…中&高*考+网】
A． B． C． D．
2．已知是虚数单位，复数的虚部为
A. B. C. D.
3. 若，则（ ）
A． B． C． D．
4. 若，则直线被圆所截得的弦长为（ ）
A． B． C. D．
5. 将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（ ）
A B C D
6.为得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个长度单位 B．向左平移个长度单位
C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位
7.《九章算术》中“开立圆术”曰：“置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径”．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d，公式为．如果球的半径为，根据“开立圆术”的方法求球的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则当取得最大值时，点的坐标是
A． B．
C． D．
9.在等差数列中，若，，那么等于（ ）
A．4 B．5 C．9 D．18
10. 给出30个数：1，2，4，7，11，…，要计算这30个数的和，现
已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框①
处和执行框②处应分别填入（ ）
A．i≤30？；p=p+i﹣1 B．i≤31？；p=p+i+1
C．i≤31？；p=p+i D．i≤30？；p=p+i
11．已知是双曲线：的左、右焦
点，过点的直线与的左支交于两点，若
，且，则的离心率是（ ）
A． B． C． D．
12. 已知函数若存在，使得，则实
数的取值范围为( )
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知函数y＝f(x)的图象在点M(2，f(2))处的切线方程是y＝x＋4，则f(2)＋f′(2)＝____．
14.已知函数 ().若,则 _____
15．下列命题正确的是 ．（写出所有正确命题的序号）
①已知，“且”是“”的充分条件；
②已知平面向量，“且”是“”的必要不充分条件；
③已知，“”是“”的充分不必要条件；
④命题：“，使且”的否定为：“，
都有且”
16. 已知函数是定义在的可导函数，为其导函数，当且时，，若曲线在处的切线的斜率为，则
_________
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.(本小题满分12分)
设向量，记函数
（1）求函数的单调递增区间；
（2）在锐角中，角A,B，C的对边分别为，若，求面积的最大值．
18.（本小题满分12分）
已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，且对任意m，n，p，q∈N*，若m＋n＝p＋q，则有am＋an＝ap＋aq.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)设数列的前n项和为Sn，求证：≤Sn<.
19. （本小题满分12分）
在某城市气象部门的数据中，随机抽取100天的空气质量指数的监测数据如表：
空气质量指数t
（0，50]
（50，100]
（100，150]
（150，200）【来源：全,品…中&高*考+网】
（200，300]
（300，+∞）
质量等级
优
良
轻微污染
轻度污染
中度污染
严重污染
天数K
5
23
22
25
15
10
（1）若该城市各医院每天收治上呼吸道病症总人数y与当天的空气质量t（t
取整数）存在如下关系y=且当t＞300时，y＞500，估计在某一医院收治此类病症人数超过200人的概率；
（2）若在（1）中，当t＞300时，y与t的关系拟合与曲线，现已取出了10对样本数据（ti，yi）（i=1，2，3，…，10）且知，，，，试用可线性化的回归方法，求拟合曲线的表达式．
（附：线性回归方程中，，．）
20．如图，四棱锥中，底面是
边长为4的正方形，平面平面，
．
（1）求证：平面平面；
（2）为线段上一点，若二面角
的平面角与二面角的平面角大小相等，
求的长．
21. 已知在平面直角坐标系中，是坐标原点，动圆经过点，且与直线相切.
（1）求动圆圆心的轨迹方程；【来源：全,品…中&高*考+网】
（2）过的直线交曲线于两点，过作曲线的切线，直线交于点，求的面积的最小值.
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点O
为极点，x轴的正半轴为级轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程；
（I）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）设P为曲线C1上的动点，求点P到曲线C2上的距离的最小值的值并求此时点P的坐标；
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数，
（1）解不等式
（2）若对于，有，求证：．
参考答案
1—12：CAA B D A D B B D D A
13．7 14． 15．③ 16．
17.
（2）【来源：全,品…中&高*考+网】
在中，利用余弦定理，即（当且仅时等号成立），即，又
.（当且仅当时等号成立）
面积的最大值为
18．【解析】(Ⅰ)令m＝1，p＝n－1，q＝2，得an＋a1＝an－1＋a2.
即an－an－1＝3(n≥2)．
所以数列{an}是以3为公差的等差数列．
∴an＝1＋(n－1)×3＝3n－2.(6分)
(Ⅱ)因为＝＝.
所以Sn＝＝<.
另一方面，由于＝>0，
则Sn≥S1＝＝＝.
综上可知：≤Sn<.(12分)
19．解：（1）令y＞200得2t-100＞200，解得t＞150，
∴当t＞150时，病人数超过200人．
由频数分布表可知100天内空气指数t＞150的天数为25+15+10=50．
∴病人数超过200人的概率P=．
（2）令x=lnt，则y与x线性相关，==7，=600，
∴b===50，a=600-50×7=250．
∴拟合曲线方程为y=50x+250=50lnt+250．
20．(Ⅰ)∵平面平面，，∴平面
∵底面，∴平面底面
(Ⅱ)取中点，连接
，又因为平面底面，所以平面
以为原点，方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系
平面的法向量，
平面的法向量，
，
则，∴
设，所以
由上同理可求出平面的法向量
由平面、与平面所成的锐二面角的大小相等可得
，∴
∴
21．
（2）设，直线
将代入中得
所以，，
得切线：
22．解：（Ⅰ）由曲线C1：（α为参数），曲线C1的普通方程为：．
由曲线C2：ρsin（π+）=4，展开可得：（sinθ+cosθ）=4，化为：x+y=8．
即：曲线B的直角坐标方程为：x+y=8．…（5分）
（Ⅱ）椭圆上的点到直线O的距离为
∴当sin（α+φ）=1时，P的最小值为．…（10分）【来源：全,品…中&高*考+网】
23．解：（1）不等式f（x）＜x+1，等价于|2x﹣1|＜x+1，即﹣x﹣1＜2x﹣1＜x+1，
求得0＜x＜2，故不等式f（x）＜x+1的解集为（0，2）．
（2）∵，
∴f（x）=|2x﹣1|=|2（x﹣y﹣1）+（2y+1）|≤|2（x﹣y﹣1）|+|（2y+1）|≤2•+＜1．