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- 2021-04-19 发布
福建省龙岩市2014届高三毕业班3月教学质量检查
文 科 数 学
全卷满分150分，考试时间120分钟．
参考公式：
样本数据的标准差 锥体体积公式
其中为样本平均数 其中为底面面积，为高
柱体体积公式 球的表面积、体积公式
，
其中为底面面积，为高 其中为球的半径
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合，，则
A． B． C． D.
2．复数（是虚数单位），则的值是
A． B．1 C． D．
3．已知为第二象限角，，则的值为
A． B． C． D．
开 始
输出
结 束
是
否
（第4题图）
4．如右图是一个算法的程序框图，则输出的结果为
A． B．
C． D．
5．高三（3）班共有学生56人，现根据座号，用系统抽
样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知3号、31
号、45号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的
座号是
A．15 B．16 C． 17 D． 18
6．若函数，则函数的零点个数是
A． B． C． D．
7．已知变量、满足约束条件，则的最小值为
A．0 B． C． D．
8．在△中，“”是“△为钝角三角形”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．若双曲线的渐近线方程式，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
10．向量，，则的最小值是
A． B． C． D．
11．函数的图象大致为
A B C D
12．已知，在区间上任取三个数，均存在以 为边长的三角形，则的取值范围是
A． B． C． D．
第II卷（非选择题 共90分）
二、填空题：（本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卷的相应位置上）
13．圆的圆心到抛物线的准线的距离为 ．
14．已知圆台的母线长为，俯视图是半径分别为和的同心圆，则其侧视图的面积为 ．
15．在区间上随机取两个数和，则关于的方程有实根的概率为 ．
16．在计算机语言中，有一种函数叫做取整函数（也叫高斯函数），它表示不超过的最大整数，如，，已知，令，且，则 ．
三、解答题：（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在偶函数的图象上．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和．
18．（本小题满分12分）
（第18题图）
如图，在直三棱柱中，，，、分别是棱、的中点，在棱上，且．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积．
19．（本小题满分12分）
为了解某校学生暑期参加体育锻炼的情况，对某班名学生暑期参加体育锻炼的次数进行了统计，得到如下的频率分布表与直方图：
组别
锻炼次数
频数（人）
频率
1
2
0．04
2
11
0．22
3
16
4
15
0．30
5
6
2
0．04
合计
1．00
（Ⅰ）求频率分布表中、及频率分布直方图中的值；
（Ⅱ）求参加锻炼次数的众数（直接写出答案，不要求计算过程）；
（Ⅲ）从参加锻炼次数不少于18次的学生中任选2人，求至少一人参加锻炼的次数在区间内的概率．
20．（本小题满分12分）
已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为．
（Ⅰ）求的值及图象的对称中心；
（Ⅱ）在中，若，且，求面积的最大值．
21．（本小题满分12分）
设椭圆的离心率为，过点任作一条弦交椭圆于、两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为直线上任意一点，分别为直线的斜率．是否存在实数，使恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（第21题图）
22．（本小题满分14分）
已知函数．
（Ⅰ）当时，求在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，讨论的单调性；
（Ⅲ）设，在函数的图象上取两定点，，设直线的斜率为，证明：存在，使成立．
福建省龙岩市2014届高三毕业班3月教学质量检查
文科数学答案
一、选择题：1-5.BDDBC 6-10. CAACB 11-12.AD
二、填空题： 13． 14． 15． 16．
三、解答题：（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
考查意图：本小题主要考查偶函数的性质、数列通项公式的求法及数列前项和求法中的分组求和、公式求和法，考查了学生运算求解能力和函数与方程思想、分类与整合思想等．
解：（Ⅰ）∵函数是偶函数，∴………………………………………2分
∴
∵点在函数的图象上，∴……………………………………3分
当时，………………………………………4分
当时，也符合上式 ………………………………………………………5分
所以 ……………………………………………………………………6分
（Ⅱ）
所以………………………12分
18．（本小题满分12分）
考查意图：本小题主要考查直线和直线、直线和平面的垂直关系、几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查了数形结合和化归与转化的数学思想方法．满分12分．
（Ⅰ）证明：∵在直三棱柱中，平面
∴，即……………………………………………………………2分
又∵，，∴平面…………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
∵，，∴
∵、分别是棱、的中点，，
∴，………………………………………………8分
又∵平面，∴
∴三棱锥的体积为……………………………………………………12分
19．（本小题满分12分）
考查意图：本小题主要考查频率分布表、频率分布直方图、众数及中位数、概率等相关基础知识，考查运算求解能力、推理能力，考查了函数与方程、数形结合、转化与化归、必然与或然的数学思想方法．满分12分．
解：（I） ……………………………………………………………1分
又∵ ……………………………………………………………3分
∴ ……………………………………………………………4分
（II）众数为12 ……………………………………………………………6分
（III）参加次数不少于18次的学生共有：人
设在内的4人为：A、B、C、D，在内的2人为、，在这6人中
任取2人共有：AB、AC、AD、A、A、BC、BD、B、B、CD、C、C、D、D、共15种， 8分
其中至少一人参加锻炼的次数在区间内A、A、B、B、C、C、D、D、共9种． ……………………………………………………………10分
答：所求的概率为 ……………………………………………………………12分
20． （本小题满分12分）
考查意图：本小题主要考查三角函数的图像及性质、解三角形、重要不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查了数形结合、函数与方程和化归与转化的数学思想方法．满分12分．
（Ⅰ）解：依题意，的周期为， ………………………………………………1分
则 ………………………………………………………………………………2分
∴
令，得 ……………………………………………………4分
∴的对称中心为 ………………………………………………5分
（Ⅱ）（法一）在中，由，得
……………………………………6分
由正弦定理得
，………………7分
∴的面积为 ……………………………………8分
……11分
∵，∴，∴当时，
∴的面积的最大值为．…………………………………………12分
（法二）在中，由，得
……………………………………6分
由余弦定理得，……………………………………7分
∴……………………………………………………………………8分
∵（当且仅当时，等号成立）
∴，∴…………………………………………………………10分
∴ ……………………………11分
（当且仅当时等号成立）
∴的面积的最大值为．……………………………………………………12分
21．（本小题满分12分）
命题意图：本题主要考查椭圆的有关计算、性质以及探究性问题的解法，考查运算求解能力及数形结合和化归与转化思想．满分12分.
解：（Ⅰ）依题意，，∴
∴椭圆方程为．…………………………………………………………4分
（Ⅱ）（法一）∵点在直线上，∴可设点
①当直线垂直于轴时，可求
∴，
∴，此时…………………………………………………………6分
②当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为，代入椭圆方程，整理得
设，，则，…………………………7分
∴
………10分
∴，∴………………………………………………………………11分
综上知，存在实数，使恒成立。………………………………12分
（法二）设过点的直线方程为，…………………………………………5分
代入椭圆方程，整理得……………………6分
设，，则，……………………7分
设点，
则
…………………………………………………………10分
又∵，……………………………………………………………………11分
∴存在，使恒成立．……………………………………………12分
22．（本小题满分14分）
考查意图：本小题主要考查函数导数的几何意义、函数的单调性与极值、最值等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、分析问题解决问题的能力，考查了分类讨论、数形结合、函数与方程、化归转化的数学思想方法．满分14分．
（Ⅰ）当时， ，………………………………………………1分
∵点在函数图象上
∴在点的切线斜率为 ……………………………………………………2分
∴所求切线方程为. ……………………………………………………3分
（Ⅱ）∵
∴ ……………………4分
令
当时，由，则，解得 ……………………5分
① 当时，，恒成立，此时，函数在上单调递减；
……………………6分
②当时，
时，，此时，函数单调递减；
时，，此时，函数单调递增；
时，，此时，函数单调递减； ……………………7分
③当时，由于
时，，此时，函数单调递增；
时，，此时，函数单调递减；
综上所述：
当时，函数在上单调递减；
当时，函数在单调递减，在单调递增，在上单调递减；
当时，函数在单调递增，在单调递减． ……………………9分
（Ⅲ）由已知得， ………………10分
令，
则
………………………………12分
令，则
当时，，单调递减；
当时，，单调递增
故当时，，即 ……………………………………13分
从而，，所以，
因为函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在，使，所以成立． ………………………………………………………14分