【数学】2020届一轮复习人教B版简单曲线的极坐标方程作业 7页

一、选择题 ‎1．极坐标方程ρ＝所表示的图形是 (　A　)‎ A．抛物线　　　　　　　　 B．椭圆 C．双曲线 D．圆 ‎【解析】　极坐标方程ρ＝化为ρ－ρsinθ＝1，∴－y＝1，化为x2－2(y＋)，‎ 其图形是抛物线．‎ 故选A．‎ ‎2．在极坐标系中，经过点P(3，)且垂直于极轴的直线方程为 (　A　)‎ A．ρcosθ＝ B．ρsinθ＝ C．ρ＝cosθ D．ρ＝sinθ ‎【解析】　设直线与极轴的交点为A，‎ 则|OA|＝|OP|·cos＝.‎ 又设直线上除点P外的任意一点M(ρ，θ)，‎ 则|OM|·cosθ＝|OA|，即ρcosθ＝.‎ 可以验证，点P的坐标(3，)满足上式．‎ 故所求的直线方程为ρcosθ＝.‎ ‎3．在极坐标系中，曲线ρ＝2cosθ是 (　D　)‎ A．过极点的直线 B．半径为2 的圆 C．关于极点对称的图形 D．关于极轴对称的图形 ‎【解析】　曲线ρ＝2cosθ化为ρ2＝2ρcosθ，∴x2＋y2＝2x，配方为(x－1)2＋y2＝1，‎ 因此表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆，‎ 关于极轴对称．‎ 故选D．‎ ‎4．在极坐标系中，直线ρcosθ＝1与圆ρ＝2cosθ的位置关系是 (　D　)‎ A．相离 B．相切 C．相交但不过圆心 D．相交且过圆心 ‎【解析】　直线ρcosθ＝1即x＝1.‎ 圆ρ＝2cosθ即ρ2＝2ρcosθ，化为x2＋y2＝2x，配方为(x－1)2＋y2＝1.其圆心为(1,0)．‎ 可知：直线x＝1经过圆心(1,0)．‎ ‎∴直线ρcosθ＝1与圆ρ＝2cosθ的位置关系是相交且过圆心．‎ 故选D．‎ ‎5．已知f(ρ，θ)＝0是曲线C的极坐标方程，那么点P(ρ，θ)的坐标适合方程f(ρ，θ)＝0是点P在曲线C上的 (　A　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要 ‎【解析】　(ρ，θ)适合方程一定在曲线上，但极坐标系中，P在曲线上，它的坐标不一定适合方程，但必有一个形式是满足方程的．‎ ‎6．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是 (　C　)‎ A．两个圆 B．两条直线 C．一个圆和一条射线 D．一条直线和一条射线 ‎【解析】　∵(ρ－1)(θ－π)＝0，∴ρ＝1或θ＝π，ρ＝1表示以极点为圆心，半径为1的圆，θ＝π表示由极点出发的一条射线，∴C选项正确．‎ 二、填空题 ‎7．已知圆的极坐标方程为ρ＝2cosθ，则该圆的圆心到直线ρsinθ＋2ρcosθ＝1的距离是　　. ‎【解析】　由极坐标与直角坐标的互化可得圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，直线方程为：y＋2x＝1，故圆心(1,0)到直线距离d＝＝.‎ ‎8．曲线ρ＝4sinθ与ρ＝2的交点坐标是　和　. ‎【解析】　由已知4sinθ＝2，sinθ＝，‎ ‎∴θ＝或θ＝，故交点坐标分别为和.‎ ‎9．直线2ρcosθ＝1与圆ρ＝2cosθ相交的弦长为　　. ‎10．(2017·北京高考)在极坐标系中，点A在圆ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0上，点P的坐标为(1,0)，则|AP|的最小值为__1__. ‎【解析】　由ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，‎ 得x2＋y2－2x－4y＋4＝0，‎ 即(x－1)2＋(y－2)2＝1，‎ 圆心坐标为C(1,2)，半径长为1.‎ ‎∵点P的坐标为(1,0)，‎ ‎∴点P在圆C外．‎ 又∵点A在圆C上，‎ ‎∴|AP|min＝|PC|－1＝2－1＝1.‎ 三、解答题 ‎11．写出下列各直线的极坐标方程： ‎(1)过极点且关于极轴的倾斜角是的直线的极坐标方程；‎ ‎(2)垂直于极轴且极点到它的距离是5的直线的极坐标方程；‎ ‎(3)平行于极轴且极点到它的距离是3的直线的极坐标方程；‎ ‎(4)过点(4,0)且关于极轴的倾斜角是α的直线的极坐标方程．‎ ‎【解析】　(1)θ＝，ρ∈R.‎ ‎(2)如图，两种情况，在直角三角形中显然有ρcosθ＝±5.‎ ‎(3)如图，两种情况，在直角三角形中有ρsinθ＝±3‎ ‎(4)如图，在△OAM中，由正弦定理得 ＝，‎ ‎∴ρsin(α－θ)＝4sinα.‎ ‎12．求下列各圆的圆心坐标和半径. ‎(1)ρ＝cosθ＋sinθ；‎ ‎(2)ρ2＋4ρsinθ＋1＝0；‎ ‎(3)ρ2－2ρ(cosθ＋sinθ)＝5.‎ ‎【解析】　(1)ρ＝cosθ＋sinθ可化为ρ＝2cos.‎ ‎∴圆心为，半径为1.‎ ‎(2)ρ2＋4ρsinθ＋1＝0可化为 ρ2－2·2ρcos＋22＝()2，‎ ‎∴圆心为，半径为.‎ ‎(3)ρ2－2ρ(cosθ＋sinθ)＝5可化为 ρ2－2·2ρcos＋22＝32.‎ ‎∴圆心为，半径为3.‎ B级　素养提升 一、选择题 ‎1．极坐标方程ρ＝2cos(－θ)表示图形的面积是 (　B　)‎ A．2 B．2π C．4 D．4π ‎【解析】　极坐标方程ρ＝2cos(－θ)即ρ2＝2×(cosθ＋sinθ)，∴x2＋y2＝2x＋2y，‎ 化为(x－1)2＋(y－1)2＝2，‎ ‎∴此圆的面积S＝π×2＝2π.故选B．‎ ‎2．极坐标系中，圆ρ＝2cosθ与直线2ρcos(θ＋)＝－1的位置关系为 (　B　)‎ A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 ‎【解析】　圆ρ＝2cosθ即ρ2＝2ρcosθ，化为x2＋y2＝2x，配方为(x－1)2＋y2＝1，∴圆心C(1,0)，半径r＝1.‎ 直线2ρcos(θ＋)＝－1展开为2(ρcosθ－ρsinθ)＝－1，化为x－y＋1＝0.‎ ‎∴圆心C到直线的距离d＝＝1＝r.‎ ‎∴直线与圆相切．‎ 故选B．‎ ‎3．在极坐标系中有如下三个结论 ‎①点P在曲线C上，则点P的极坐标适合曲线C的极坐标方程 ‎②tanθ＝与θ＝表示同一条曲线(ρ允许取负值)‎ ‎③ρ＝4和ρ＝－4表示同一条曲线 在这三个结论中，正确的是 (　D　)‎ A．①③ B．①‎ C．①② D．②③‎ ‎【解析】　①中点P的坐标不一定适合方程，例如(0，π)不适合方程ρ＝cosθ，但(0，π)在曲线ρ＝cosθ上．‎ ‎4．极坐标方程ρcosθ＝2sin2θ表示的曲线为 (　C　)‎ A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆 ‎【解析】　∵ρcosθ＝2sin2θ，‎ ‎∴ρcosθ＝4sinθcosθ，‎ ‎∴cosθ＝0或ρ＝4sinθ，‎ 故选C．‎ ‎5．在极坐标系中，与圆ρ＝2sinθ相切的一条直线方程为 (　B　)‎ A．ρsinθ＝1 B．ρcosθ＝1‎ C．ρcosθ＝2 D．ρcosθ＝－2‎ ‎【解析】　ρ＝2sinθ⇒ρ2＝2ρsinθ，‎ 即x2＋y2－2y＝0，∴x2＋(y－1)2＝1‎ 表示的是以(0,1)为圆心，半径为1的圆．‎ 又ρsinθ＝1⇒y＝1，ρcosθ＝1⇒x＝1，‎ ρcosθ＝2⇒x＝2，ρcosθ＝－2⇒x＝－2，‎ ‎∴只有ρcosθ＝1与ρ＝2sinθ相切．‎ 二、填空题 ‎6．在极坐标系中，圆ρ＝8sinθ上的点到直线θ＝(ρ∈R)距离的最大值是__6__. ‎【解析】　圆ρ＝8sinθ化为ρ2＝8ρsinθ，∴x2＋y2＝8y，化为x2＋(y－4)2＝16.‎ 直线θ＝(ρ∈R)化为y＝x.‎ ‎∴圆心C(0,4)到直线的距离d＝＝2，‎ ‎∴圆ρ＝8sinθ上的点到直线θ＝(ρ∈R)距离的最大值＝d＋r＝2＋4＝6.‎ 故答案为6.‎ ‎7．在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ＝sinθ与ρcosθ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为__(1,2)__. ‎【解析】　曲线C1的直角坐标方程为y＝2x2，曲线C2的直角坐标方程为x＝1，联立，解得 因此交点的直角坐标为(1,2)．‎ ‎8．(2017·天津高考)在极坐标系中，直线4ρcos(θ－)＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的公共点的个数为__2__. ‎【解析】　由4ρcos(θ－)＋1＝0‎ 得2ρcos θ＋2ρsin θ＋1＝0，‎ 故直线的直角坐标方程为2x＋2y＋1＝0.‎ 由ρ＝2sin θ得ρ2＝2ρsin θ，‎ 故圆的直角坐标方程为x2＋y2＝2y，‎ 即x2＋(y－1) 2＝1.‎ 圆心为(0,1)，半径为1.‎ ‎∵圆心到直线2x＋2y＋1＝0的距离d＝＝<1，‎ ‎∴直线与圆相交，有两个公共点．‎ 三、解答题 ‎9．在极坐标系中，已知圆ρ＝2cosθ与直线3ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0相切，求实数a的值. ‎【解析】　将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，直线的方程为3x＋4y＋a＝0.‎ 由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有 ＝1，解得a＝2或a＝－8.‎ 故a的值为－8或2.‎ ‎10．⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cosθ，ρ＝－4sinθ. ‎(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)求经过⊙O1、⊙O2交点的直线的直角坐标方程．‎ ‎【解析】　以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．‎ ‎(1)∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ，∴x2＋y2＝4x.即x2＋y2－4x＝0为⊙O1的直角坐标方程．同理x2＋y2＋4y＝0为⊙O2的直角坐标方程．‎ ‎(2)由，得4x＋4y＝0.‎ 过交点的直线的直角坐标方程为y＝－x.‎