- 998.00 KB
- 2021-04-18 发布
1
2π
3-
π
3
xO
y
峨山一中 2019-2020 学年下学期期中考试
高二数学（文科）试卷
命题：李志新 审题：柏为发
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
要求。
1.若 ， 则 ( )
A. B. C. D.
2.函数 的定义域是 （ ）
A. B. C. D.
3．若函数 的图象（部分）如图所
示，
则 的取值是（ ）
A. B.
C. D.
4.如图,在矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 的中点.若在矩形 ABCD 内
部
随机取一个点 Q,则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于( )
A. B. C. D.
5.已知数列 满足: ，则 （ ）
A. B. C. D.
6. 设命题 ，则 为（ ）
A． B．
(0, 2) [1,2)A B= = A B =
(0,1) (0,2) [1, 2) [1,2)
lg( 2 8 2)y x= − −
[4, )+∞ (6, )+∞ [4,6) [6, )+∞
)sin()( ϕω += xxf
ϕω和
3,1
πϕω ==
3,1
πϕω −==
6,2
1 πϕω ==
6,2
1 πϕω −==
1
4
1
3
1
2
2
3
{ }na *
1 11, 2 3 ( )n na a a n N+= = + ∈ 10a =
112 3− 102 3− 122 3− 132 3−
2: , 2np n N n∃ ∈ > p¬
2, 2nn N n∀ ∈ > 2, 2nn N n∃ ∈ >
C． D．
7. 已知变量 与 负相关，且由观测数据算得样本平均数 ，则由该观测数据算
得的线性回归方程可能是（ ）
A. B.
C. D.
8.已知抛物线 ，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点，若线
段 AB 的中点纵坐标为 2，则该该抛物线的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
9.已知点 F,A 分别为双曲线 C: 的左焦点和右顶点，点 B（0，b）
满足 ，则双曲线 C 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
10.若直线 有两个公共点，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
11.函数 的导数为（ ）
A . B.
C. D.
12.设直线 的一条切线，则实数 的值为（ ）
A. B. C. D.
第 II 卷
二、填空题：共 4 小题，每小题 5 分.
13.已知 F 是抛物线 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长
线交 y 轴于 N，若 M 为 FN 的中点，则 =_______
14.如图,正六边形 的边长为 1,则 ＝______
2, 2nn N n∀ ∈ ≤ 2, 2nn N n∃ ∈ ≤
x y 3, 3.5x y= =
^ 0.4 2.3y x= + ^ 2 9.5y x= − +
^ 2 2.4y x= − ^ 0.4 4.4y x= − +
2 2 ( 0)y px p= >
2 4y x= − 2 4y x= 2 4x y= 2 4x y= −
2 2
2 2 1 ( 0, 0)x y a ba b
− = > >
0FB AB =
2 3 1 3
2
+ 1 5
2
+
2 2
2 13
x yy x m
= + + =与椭圆 m
1m > 1 3m m> ≠且 3m > 0 3m m> ≠且
2 cosy x x=
22 cos siny x x x x′ = − 22 cos siny x x x x′ = +
2 cos 2 siny x x x x′ = − 2cos siny x x x x′ = −
1 ln ( 0)2y x b y x x= + = >是曲线 b
ln 2 1− ln 2 2− 2ln 2 1− 2ln 2 2−
2: 8C y x=
FN
ABCDEF AD DB•
15. 若 x，y 满足约束条件 ，则 的最小值为_______
16.已知命题 都是假命题，则 _______
三、解答题：共 6 小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（满分 12 分）已知数列 的首项 ，通项 ，且
成等差数列。求：
（1） 的值；
（2）数列 前 项和
18. （ 满 分 12 分 ） 的 内 角 ， ， 的 对 边 分 别 为 ， ， ， 已 知
(1)求
(2)若 ， 面积为 2，求 ．
19.（满分 12 分）如图，直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 的底面是
菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N 分别是 BC，
BB1，A1D 的中点.
（1）证明：MN∥平面 C1DE；
（2）求点 C 到平面 C1DE 的距离．
1 0
3 0
3 0
x y
x y
x
− + ≥
+ − ≥
− ≤
nS
2z x y= −
2: 6, ; : ,p x x q x N p q q− ≠ ∈ ∧ ¬若 和 x =
{ }na 1 3a = 2 , ,n
na p nq p q∗= + ∈（ N 为常数）
1 4 5, ,a a a
,p q
{ }na n
ABC∆ A B C a b c
2sin( ) 8sin 2
BA C+ =
cos B
6a c+ = ABC∆ b
20. （满分 12 分）如图，直线 l：与抛物线 相切于点
(1)求实数 b 的值；
(2)求以点 为圆心，且与抛物线 的准线相切的圆的方程．
21. （满分 12 分）若函数 ，当 时，函数 有极值 ，
（1）求函数 的解析式；
（2）若函数 有 3 个解，求实数 的取值范围．
22.（满分 10 分）户外运动已经成为一种时尚运动，某单位为了了解员工喜欢户外运动是否
与性别有关，决定从本单位全体 650 人中采用分层抽样的办法抽取 50 人进行问卷调查，
得到了如下列联表：
喜欢户外运动 不喜欢户外运动 总计
男性 5
女性 10
总计 50
已知在这 50 人中随机抽取 1 人，抽到喜欢户外运动的员工的概率是3
5
(1)请将上面的列联表补充完整；
(2)求该公司男、女员工各多少人；
(3)在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下能否认为喜欢户外运动与性别有关？并说明
你的理由．
下面的临界值表仅供参考：
P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
(参考公式：K2＝ n(ad－bc)2
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中 n＝a＋b＋c＋d)
:l y x b= + 2: 4C x y= A
A C
4)( 3 +−= bxaxxf 2=x )(xf 4
3
−
( )f x
kxf =)( k
1
2π
3-
π
3
xO
y
峨山一中 2019 至 2020 学年下学期期中考试
高二数学（文科）参考答案
命题：李志新 审题：柏为发
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
要求。
1.若 ， 则 ( C )
. . . .
2.函数 的定义域是 （ B ）
. . . .
3．若函数 的部分图像如图所示，则 的取值是（ C ）
. .
. .
4.如图,在矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 的中点.若在矩形
ABCD 内部随机取一个点 Q,则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于
( C )
A. B. C. D.
5.已知数列 满足: ，则 （ A ）
6. 设命题 ，则 为（ C ）
A． B． C． D．
7. 已知变量 与 负相关，且由观测数据算得样本平均数 ，则由该观测数据算
(0, 2) [1,2)A B= = A B =
A (0,1) B (0,2) C [1, 2) D [1,2)
lg( 2 8 2)y x= − −
A [4, )+∞ B (6, )+∞ C [4,6) D [6, )+∞
)sin()( ϕω += xxf ϕω和
A 3,1
πϕω == B 3,1
πϕω −==
C 6,2
1 πϕω == D 6,2
1 πϕω −==
1
4
1
3
1
2
2
3
{ }na *
1 11, 2 3 ( )n na a a n N+= = + ∈ 10a =
A 112 3− B 102 3− C 122 3− D 132 3−
2: , 2np n N n∃ ∈ > p¬
2, 2nn N n∀ ∈ > 2, 2nn N n∃ ∈ > 2, 2nn N n∀ ∈ ≤ 2, 2nn N n∃ ∈ ≤
x y 3, 3.5x y= =
得的线性回归方程可能是（ B ）
A. B. C. D.
8.已知抛物线 ，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点，若线段
AB 的中点纵坐标为 2，则该该抛物线的标准方程为（ B ）
9.已知点 F,A 分别为双曲线 C: 的左焦点和右顶点，点 B（0，b）满
足 ，则双曲线 C 的离心率为（ D ）
. . . .
10.若直线 有两个公共点，则 m 的取值范围是（ B ）
. . . .
11.函数 的导数为（ A ）
. .
. .
12.设直线 的一条切线，则实数 b 的值为（ A ）
. . . .
第 II 卷
二、填空题：共 4 小题，每小题 5 分.
13.已知 F 是抛物线 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y
轴于 N，若 M 为 FN 的中点，则 =_______6
14.如图,正六边形 的边长为 1,则 ＝______-3
^ 0.4 2.3y x= + ^ 2 9.5y x= − + ^ 2 2.4y x= − ^ 0.4 4.4y x= − +
2 2 ( 0)y px p= >
A 2 4y x= − B 2 4y x= C 2 4x y= D 2 4x y= −
2 2
2 2 1 ( 0, 0)x y a ba b
− = > >
0FB AB =
A 2 B 3 C 1 3
2
+ D 1 5
2
+
2 2
2 13
x yy x m
= + + =与椭圆
A 1m > B 1 3m m> ≠且 C 3m > D 0 3m m> ≠且
2 cosy x x=
A 22 cos siny x x x x′ = − B 22 cos siny x x x x′ = +
C 2 cos 2 siny x x x x′ = − D 2cos siny x x x x′ = −
1 ln ( 0)2y x b y x x= + = >是曲线
A ln 2 1− B ln 2 2− C 2ln 2 1− D 2ln 2 2−
2: 8C y x=
FN
15. 若 x，y 满足约束条件 ，则 z=x-2y 的最小值为_______-5
16.已知命题 都是假命题，则 _______3
三、解答题：共 6 小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（满分 12 分）已知数列 的首项 ，通项 ，且
成等差数列。求：
（1） 的值；
（2）数列 前 项和
解:（1）由 得
（2）
18. （ 满 分 12 分 ） 的 内 角 ， ， 的 对 边 分 别 为 ， ， ， 已 知
．
(1)求
(2)若 ， 面积为 2，求 ．
解：由题设及 得 ，
故 ．
上式两边平方，得
整理得 ， 解得 （舍去）， .
1 0
3 0
3 0
x y
x y
x
− + ≥
+ − ≥
− ≤
nS
2 3,p q+ =
5 53 2 5 2 8 ,p q p q⇒ + + = + 1, 1p q⇒ = =
2 1 ( 1)(2 2 2 ) (1 2 ) 2 2 .2
n n
n
n nS n + += + + + + + + + = − +
2: 6, ; : ,p x x q x N p q q− ≠ ∈ ∧ ¬若 和 x =
{ }na 1 3a = 2 , ,n
na p nq p q∗= + ∈（ N 为常数）
1 4 5, ,a a a
,p q
{ }na n
1 3a =
4 5
4 5 1 5 42 4 2 5 2a p q a p q a a a= + = + + =又 ， ，且
ABC∆ A B C a b c
2sin( ) 8sin 2
BA C+ =
cos B
6a c+ = ABC∆ b
A B C π+ + = 2sin 8sin 2
BB =
sin 4(1 cos )B B= −
2 2sin 16 32cos 16cosB B B= − +
2 2 2sin cos 15 32cos 16cosB B B B= + + − +
217cos 32cos 15 0B B− + = cos 1B = 15cos 17B =
（2）由 得 ，故 ．
又 ，则 ．
由余弦定理及 得
． 所以 ．
19.（满分 12 分）如图，直四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 的底面是菱形，
AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点.
（1）证明：MN∥平面 C1DE；
（2）求点 C 到平面 C1DE 的距离．
解：（1 ）连结 . 因为M ，E 分别为 的中点，所
以 ，且 .又因为N为 的中点，
所以 .
由题设知 ，可得 ，故 ，因此四边
形MNDE为平行四边形， .又 平面 ，所以MN∥平
面 .
（2）过C作C1E的垂线，垂足为H.
由已知可得 ， ，所以DE⊥平面 ，故DE⊥CH.
从而CH⊥平面 ，故CH的长即为C到平面 的距离，
由已知可得CE=1，C1C=4，所以 ，故 .
从而点C到平面 的距离为 .
20.（满分 12 分）如图，直线 l：y＝x＋b 与抛物线 C：x2＝4y 相切于点 A.
15cos 17B = 8sin 17B = 1 4sin2 17ABCS ac B ac∆ = =
2ABCS∆ = 17
2ac =
6a c+ = 2 2 2 22 cos ( ) 2 (1 cos )b a c ac B a c ac B= + − = + − +
17 1536 2 (1 ) 42 17
= − × × + = 2b =
1 ,B C ME 1,BB BC
1ME B C∥ 1
1
2ME B C= 1A D
1
1
2ND A D=
1 1 =A B DC∥
1 1=B C A D∥ =ME ND∥
MN ED∥ MN ⊄ 1C DE
1C DE
DE BC⊥ 1DE C C⊥ 1C CE
1C DE 1C DE
1 17C E = 4 17
17CH =
1C DE 4 17
17
(1)求实数 b 的值；
(2)求以点 A 为圆心，且与抛物线 C 的准线相切的圆的方
程．
解 (1)由Error!得 x2－4x－4b＝0，(*)
因为直线 l 与抛物线 C 相切，
所以 Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得 b＝－1.
(2)由(1)可知 b＝－1，故方程(*)即为 x2－4x＋4＝0，
解得 x＝2，代入 x2＝4y，得 y＝1.
故点 A(2,1)，因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切，
所以圆 A 的半径 r 等于圆心 A 到抛物线的准线 y＝－1 的距离，
即 r＝|1－(－1)|＝2，
所以圆 A 的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
21.（满分 12 分）若函数 ，当 时，函数 有极值 ，
（1）求函数 的解析式；
（2）若函数 有 3 个解，求实数 的取值范围．
解：求导得 ，
（1）由题意 ，得 所求解析式为
（2）由（1）可得： 令 ，得 或
又因为 的定义域为 R，当 变化时， 、 的变化情况如下表：
—
单调递增↗ 单调递减↘ 单调递增↗
因此，当 时， 有极大值
当 时， 有极小值
4)( 3 +−= bxaxxf 2=x )(xf
3
4−
( )f x
kxf =)( k
( ) baxxf −=′ 23
4(2) 3
'(2) 0
f
f
= −
=
1
3
4
a
b
=
=
∴ ( ) 443
1 3 +−= xxxf
( ) ( )( )2242 +−=−=′ xxxxf ( ) 0=′ xf 2=x 2−=x
4)( 3 +−= bxaxxf x ( )xf ′ ( )xf
x ( )2,−∞− 2− ( )2,2− 2 ( )+∞,2
( )xf ′ + 0 0 +
( )xf 3
28
3
4−
2−=x ( )xf 3
28
2=x ( )xf 3
4− 3
28
y
函数 的图象大致如图：
由图可知：
22（满分 10 分）户外运动已经成为一种时尚运动，某单位为了了解员工喜欢户外运
动是否与性别有关，决定从本单位全体 650 人中采用分层抽样的办法抽取 50 人
进行问卷调查，得到了如下列联表：
喜欢户外运动 不喜欢户外运动 总计
男性 5
女性 10
总计 50
已知在这 50 人中随机抽取 1 人，抽到喜欢户外运动的员工的概率是3
5.
(1)请将上面的列联表补充完整；
(2)求该公司男、女员工各多少人；
(3)在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下能否认为喜欢户外运动与性别有关？
并说明你的理由．
下面的临界值表仅供参考：
P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
(参考公式：K2＝ n(ad－bc)2
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中 n＝a＋b＋c＋d)
解:(1)因为在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜欢户外运动的员工的概率是3
5
，
所以喜欢户外运动的男女员工共 30 人，其中男员工 20 人，列联表补充如下：
喜欢户外运动 不喜欢户外运动 总计
男性 20 5 25
女性 10 15 25
总计 30 20 50
(2)该公司男员工人数为 25÷50×650＝325(人)，则女员工有 325 人．
∴ ( ) 443
1 3 +−= xxxf
3
28
3
4 <<− k
3
4−
2− 2
x
0
(3)K2 的观测值 k＝50 × (20 × 15－10 × 5)2
30 × 20 × 25 × 25
≈8.333>7.879，所以在犯错误的
概率不超过 0.005 的前提下认为喜欢户外运动与性别有关．