2020届二轮复习复合命题学案（全国通用） 22页

复合命题 将一些命题用逻辑联结词联结成的命题称为复合命题． 复合命题的概念与真假判断  且（and） 一般地，用联结词“且”把命题 和命题 联结起来，就得到一个新命题，记作 ，读 作“ 且 ”．当 ， 都是真命题时， 是真命题；当 ， 两个命题中有一个命题是 假命题时， 是假命题． 真 真 真 真 假 假 假 真 假 假 假 假  或（or） 一般地，用联结词“或”把命题 和命题 联结起来，就得到一个新命题，记作 ，读 作“ 或 ”．当 ， 两个命题中有一个命题是真命题时， 是真命题；当 ， 都是 假命题时， 是假命题． 真 真 真 真 假 真 假 真 真 假 假 假  非（not） 一般地，对一个命题 全盘否定，就得到一个新命题，记作 ¬ 读作“非 ”或“ 的否 定”．若 是真命题，则 ¬ 必是假命题；若 是假命题，则 ¬ 必是真命题． ¬真 假 假 真  复合命题 不含有逻辑联结词的命题是简单命题，由简单命题与逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的 命题是复合命题． 复合命题的否定  “且”的否定 ¬ ¬ ¬ “或”的否定 ¬ ¬ ¬ ​ 精选例题 复合命题 1. 已知命题 与命题 ：对任意实数 ，都有 ൅ 恒成立； ：关于 的方程 有实数根． 若 为假且 为真，则实数 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】 依题意得 ， 两命题一真一假． 计算后易得 ଠ ㌳ ， ଠ ，所以实数 的取值范围是 ． 2. 命题“若 ൅ ，则关于 的方程 有实数根”的逆命题是 ． 【答案】 若关于 的方程 有实数根，则 ൅ ． 【分析】 求一个命题的逆命题，只需把原命题的条件和结论互换即可． 3. 命题 ：若两三角形全等，则这两个三角形相似； ：若两三角形相似，则这两三角形全 等．在命题“ ”“ ”中，真命题是 ，假命题是 ． 【答案】 ； 4. 命题“方程 䁪 䁪 没有实数根”是 形式的命题，它是 命题． 【答案】 ¬ ；假 5. “ 且 ”的否定为 ． 【答案】 或 【分析】 “ 且 ”的否定为“ ¬ 或 ¬ ”． 6. 已知命题 ：函数 log （ ൅ 且 ）的图象必过定点 ；命题 ： 如果函数 函 䁪 的图象关于原点对称，那么函数 函 的图象关于点 䁪 对称，则 命题 为 （填‘‘真’’或‘‘假”）． 【答案】 真 【分析】 解决本题的关键是判定命题 ， 的真假．由于 真， 假（可举反例 䁪 ）， 因此命题“ ”为真． 7. 下列说法中正确的个数为 ． ①命题：“若 ㌳ ，则 ”的否命题是“若 ，则 ㌳ “； ②若复合命题“ ”为假命题，则 均为假命题； ③”三个数 ， ， 成等比数列“是“ ”的充分不必要条件； ④命题“若 ，则 sin sin ”的逆否命题为真命题． 【答案】 8. "点 或点 在 直线上"的非命题是 ． 【答案】 点 和 都不在 直线上 9. 已知 ଠ ； ଠ ．当 时，“ ”与“ ¬ ”同时为假命题，则 的取值组成 的集合 ． 【答案】 【分析】 当 时，“ ”与“ ¬ ”同时为假命题，则当 时， 假 真． 由 ㌳ ， ，解得 ， ， ， ，故所求集合 ． 10. 已知 ： ， ， ： ， ൅ ．若 为真命题，则实数 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】 为真命题，等价于 ， 均为真命题．命题 为真时， ；命题 为真时， ㌳ ，解得 ㌳ ㌳ ．故 为真时， ㌳ ㌳ 或 ㌳ ㌳ ． 11. 已知 ൅ ， ，且 ：函数 log 在 内单调递减， ：抛物线 䁪 与 轴交于不同的两点，若 ， 只有一个是真命题，求实数 的 取值范围． 【解】 为真时，显然有 ㌳ ㌳ ． 当 为真时，有 䁪 ൅ ， 即 ㌳ ㌳ 或 ൅ ， 又 ൅ 且 ，所以 假，有 ൅ ． 假，有 ㌳ 或 ㌳ ． 由题意知 与 一真一假，因此 ㌳ 或 ൅ ． 12. 已知命题 ଠ ㌳ ， ଠ ㌳ ： (1)当 为何值时，“ 或 ”为真命题？ 【解】 当 ൅ 时， ㌳ 成立，命题 为真； 当 时， 为假； 当 ൅ 时， ㌳ 成立， 为真； 当 时， 为假． 所以当 ൅ 时，“ 或 ”为真． (2)当 为何值时，“ 且 ”为真命题？ 【解】 当 ൅ 时，“ 且 ”为真． 13. 设命题 ：关于 的函数 log 的定义域是 ； ：指数函数 函 是增 函数．如果 是假命题， 是真命题，求实数 的取值范围． 【解】 真： ㌳ ； 假： ； 真： ൅ ； 假： ㌳ ㌳ ． 由 与 一真一假，得 ㌳ ㌳ 或 ． 14. 将下列命题用“且”“或”联结成新命题，并判断真假： (1) ：平行四边形的对角线互相平分， ：平行四边形的对角线相等； 【解】 ：平行四边形对角线互相平分，且相等． 真 假， 为假命题． ：平行四边形的对角线互相平分或相等． 为真． (2) ଠ䁪 是 的倍数， ଠ䁪 是 的倍数． 【解】 ଠ䁪 是 的倍数且 䁪 是 的倍数． 假 真， 为假． ଠ䁪 是 的倍数或 䁪 是 的倍数． 为真． 15. 已知命题： ଠ ， ଠ ，且“ ”与“ ¬ ”同时为假命题，求 的值． 【解】 因为“ ”为假， 所以 ， 至少有一命题为假． 又“ ¬ ”为假， 所以 为真，从而可知 为假． 由 为假且 为真，可得 ㌳ 且 ． 即 ㌳ ൅ 得 ㌳ ൅ 所以 ㌳ ㌳ 䁪 故 的值为 ， ， ， ． 16. 已知下列两个命题： ：函数 函 在 单调递增； ：关于 的不等式 ൅ 的解集为 ； 若 为真命题， 为假命题，求 的取值范围． 【答案】 或 ㌳ ㌳ 䁪【解】 函数 函 的对称轴为 ． 故 为真命题 ， 为真命题 ㌳ ㌳ ㌳ 䁪 ． 因为 为真， 为假， 所以 与 一真一假． 若 真 假，则 ，且 或 䁪 所以 ． 若 假 真，则 ൅ ，且 ㌳ ㌳ 䁪 ， 所以 ㌳ ㌳ 䁪 ． 综上所述， 的取值范围 或 ㌳ ㌳ 䁪 17. 设 ൅ ， ．命题 ଠ 函数 为增函数； ଠ 当 时， 函 ൅ 恒 成立．如果 与 为一真一假，求 的取值范围． 【解】 当 为真时，有 ㌳ ㌳ ； 当 为真时，因为当 时， ， 所以 ㌳ ， 解得 ൅ ，且 ． 又因为 ， 为一真一假， 所以 ， 为一真一假， 从而 ㌳ 或 ൅ ． 18. 已知函数 函 在 上是增函数， ，对命题“若 ，则 函 函 函 函 ”， (1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论； 【解】 逆命题：若 函 函 函 函 ，则 ．是真命题． （利用反证法）假设 ㌳ ，则 ㌳ ， ㌳ ． 因为函数 函 在 上是增函数， 所以 函 ㌳ 函 ， 函 ㌳ 函 ． 所以 函 函 ㌳ 函 函 ，这与题设矛盾． 所以逆命题是真命题． (2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论． 【解】 逆否命题：若 函 函 ㌳ 函 函 ，则 ㌳ 是真命题． 因为原命题与其逆否命题等价， 所以可证明其原命题为真命题证明如下： 因为 ， 所以 ， ． 又函数 函 在 上是增函数， 所以 函 函 ， 函 函 ． 所以 函 函 函 函 ． 所以原命题为真命题． 所以原命题的逆否命题是真命题． 19. 设 ：实数 满足 䁪 ㌳ ，其中 ൅ ； ：实数 满足 ൅ (1)若 ，且 为真，求实数 的取值范围； 【解】 由 䁪 ㌳ 得 䁪 ㌳ ， 又 ൅ ，所以 ㌳ ㌳ 䁪 ． 当 时， ㌳ ㌳ 䁪 ，故 为真时，实数 的取值范围是 ㌳ ㌳ 䁪 ． 由 ൅ 得 ㌳ 䁪 ， 故 为真时，实数 的取值范围是 ㌳ 䁪 ． 若 为真，则 真且 真，所以实数 的取值范围是 䁪 ． (2)如果“若 ¬ ，则 ¬ ”成立，求实数 的取值范围． 【解】 “若 ¬ ，则 ¬ ”成立，设 ¬ ， ¬ ，则 ． 又 ¬ 或 䁪 ， ¬ 或 ൅ 䁪 ， 所以 ㌳ 且 䁪 ൅ 䁪 ，所以实数 的取值范围是 ． 20. 设命题 ： 函 在区间 上是减函数；命题 ： ， 是方程 的两个实根，且不等式 䁪 对任意的实数 恒成立，若 ¬ 为真，试求实数 的取值范围． 【解】 对命题 ： 因为 函 在区间 ， 上是减函数，而已知在区间 上是减函 数， 所以 ． 对命题 ： ，对 ，有 䁪 ， 所以 䁪䁪 ，解得 或 ． 若 ¬ 为真，则 假 真， 所以 ൅ 或 所以 ൅ ． 故实数 的取值范围是 ． 复合命题的概念与真假判断 1. 若 ଠ ㌳ ； ଠ 对数函数 log 是增函数，且其中一个为真命题，一个为假命 题，则实数 的范围是 ． 【答案】 或 2. 已知命题 ଠ ；命题 ଠ ．如果" 且 "与" ¬ 同时为假命题，则满足条件的 的集合为 ． 【答案】 䁪【分析】 由 " ¬ "为假命题，得 ଠ 为真命题．又 " 且 "为假命题，则 假命题，从 而 ¬ଠ ㌳ 为真命题，解得 ㌳ ㌳ ．综上， ㌳ ㌳ ． 3. 设 、 是简单命题，则＂ 且 为假＂是＂ 或 为假＂的 条件． 【答案】 必要不充分 4. 已知命题 ： ， ： ，且“ 且 ”与“ ¬ ”都是假命题，则 的值 为 ． 【答案】 䁪 5. 设 ଠ 关于 的不等式 ൅ 的解集为 ㌳ ， ଠ 函数 lg 的定义域为 ， 若 为真命题， 为假命题，则 的取值范围是 ． 【答案】 ㌳ 或 【分析】 ଠ ㌳ ㌳ ， ଠ ൅ ， 由题意，得 与 一真一假，则有 ㌳ ㌳ 或 或 ൅ 即 ㌳ 或 ． 6. 已知命题 ： 䁪 ， 䁪 ，命题 ： ， ，若命题 “ ”是真命题，则实数 的范围为 ． 【答案】 䁪 7. 已知命题 ଠ 䁪 ， ଠ ，且" 且 "与" 非 "同时为假命题，则 ． 【答案】 【分析】 因为“ 非 "为假命题，所以 为真命题，因为 且 为假，所以 为假，所以 䁪 ㌳ ，解得 䁪 ㌳ ㌳ ，因为 ，所以 ． 8. 设 ："相似三角形的对应边相等"； ："相似三角形的对应角相等"，则复合命题" 或 "、 " 且 "、"非 "中是真命题的是 ． 【答案】 " 或 "；"非 " 9. 在 䁨 中，三内角 ， ， 䁨 的对边分别为 ， ， ． 命题 ଠ 若 ൅ cos cos ，则 ൅ 䁨 ． 命题 ଠ 若 ൅ ，则 sin ൅ sin ． 给出下列四个结论： ①命题 的逆命题、否命题、逆否命题都是真命题； ②命题“ ”是假命题； ③命题“ ¬ ”是假命题； ④命题“ ¬ ¬ ”是假命题． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】 ①④ 【分析】 提示：命题 为真， 为真． 10. 已知命题 ：方程 在 上有解；命题 ：只有一个实数 满足不等 式 ．若命题“ 或 ”是假命题，则 的取值范围是 ． 【答案】 ㌳ ㌳ 或 ㌳ ㌳ 【分析】 由 ，得 ，解得 或 ． 由方程 在 上有解，得 或 ， 解得 ； 由只有一个实数 满足 ，得抛物线 与 轴只有一个交点， 则 ，解得 或 ． 若命题“ 或 ”是真命题，则 或 ． 若命题“ 或 ”是假命题，则 ㌳ ㌳ 或 ㌳ ㌳ ． 11. 已知命题 ：若幂函数 函 过点 ，实数 满足 函 ൅ 函 ．命题 ： 实数 满足 ൅ ．且 为真，求实数 的取值范围． 【解】 由已知得 ，解得 䁪 ，则 函 䁪 ． 若 为真： 函 ൅ 函 ，所以 ൅ ，解得 ㌳ 䁪 ； 若 为真： ൅ ，解得 ൅ ，即 ൅ ，则 为真： ㌳ 䁪 ൅ ，所以 ㌳ ㌳ 䁪 ． 12. 已知命题 ：函数 log 在定义域上单调递减；命题 ：不等式 ㌳ 对任意实数 恒成立．若 是真命题，求实数 的取值范围． 【解】 因为命题 函数 log 在定义域上单调递减； 所以 ㌳ ㌳ ． 因为命题 不等式 ㌳ 对任意实数 恒成立； 所以 或 ㌳ ㌳ 即 ㌳ ． 因为 是真命题， 所以 的取值范围是 ㌳ ． 13. 设命题 ：正方形是菱形，命题 ：正方形是梯形．写出其构成的“ 或 ”，“ 且 ”， “非 ”形式的命题，并判断其真假． 【解】 或 ：正方形是菱形或梯形．（真命题） 且 ：正方形是菱形且是梯形．（假命题） 非 ：存在一个正方形，它不是菱形．（假命题） 14. 已知命题 ଠ 䁪 成立．命题 ：关于 的方程 有实数根．若 ¬ 为假命题， 为假命题，求实数 的取值范围． 【解】 由 ¬ 为假命题， 为假命题可知， 命题 为真命题，命题 为假命题． 命题 ଠ 䁪 可得 䁪 ， 命题 ：方程 有实数根，可得 ． 由于 为假，则 ， 综上， ． 15. 求实数 的取值组成的集合 ，使当 时，" 或 "为真，" 且 "为假．其中 ： 方程 有两个不相等的负根； ：方程 无实根． 【解】 设 为真，则方程 有两个不相等的负根 ൅ ㌳ ㌳ ． 设 为真，则方程 无实根 ㌳ ，即 ㌳ ㌳ 䁪 ． 若 真 假，则“ ㌳ ”且“ 或 䁪 ”，即 ㌳ ；若 假 真，则“ ”且 “ ㌳ ㌳ 䁪 ”，即" ㌳ ㌳ 䁪 "． 从而，所求集合 ㌳ 或 ㌳ ㌳ 䁪 ． 16. 设命题 ଠ 关于 的一元二次方程 没有实数根；命题 ଠ R ， 䁪 ൅ 恒成立．如果命题“ ”是真命题，求实数 的取值范围． 【解】 对于命题 ： 当 时， ，不合题意． 当 时，若 是真命题，则 ㌳ ， 即 䁪 ൅ ， 解得 ൅ 䁪 ，或 ㌳ ． 对于命题 ： 如果命题 是真命题，则 䁪 ㌳ ， 解得 䁪 ㌳ ㌳ ． 由于命题“ ”是真命题，所以命题 ， 都是真命题， 由 ൅ 䁪 或 ㌳ 䁪 ㌳ ㌳ 得 䁪 ㌳ ㌳ ． 17. 分别指出下列命题的形式及构成它的简单命题，并判断真假． (1)相似三角形周长相等或对应角相等； 【解】 这个命题是 或 的形式，其中 ଠ 相似三角形周长相等， ଠ 相似三角形对应角相 等，因为 假 真，所以 或 为真． (2) 的算术平方根不是 䁪 ； 【解】 这个命题是 ¬ 的形式，其中 ଠ 的算术平方根是 䁪 ，因为 假，所以 ¬ 为真． (3)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧． 【解】 这个命题是 且 的形式，其中 ଠ 垂直于弦的直径平分这条弦， ଠ 垂直于弦的直 径平分这条弦所对的两条弧，因为 真 真，所以 且 为真． 18. 对命题 ଠ ＂ 是集合 ㌳ 中的元素＂， ଠ ＂ 是集合 ㌳ 中的元素＂，则 为何值时，＂ 或 ＂是真命题？ 为何值时，＂ 且 ＂是真命题？ 【解】 若命题 是真命题，则 ൅ ，若命题 是真命题，则 ൅ ； 我们设 ൅ ，则 ，设 ൅ ，则 ， 若＂ 或 ＂为真命题，则 真 假，或 假 真，或 真 真，则 解得 ൅ ； 若＂ 且 ＂为真命题，则 真 真，则 ，解得 ൅ ． 19. 设命题 ଠ ൅ ；命题 ଠ 不等式 䁪 对一切正实数均成立． (1)若命题 为真命题，求实数 的取值范围； 【解】 当命题 为真命题时，由 ൅ 得 䁪 ൅ ， 所以 䁪 ㌳ ， 因为不等式 䁪 对一切正实数均成立， 所以 ． 所以实数 取值范围是 (2)命题“ ”为真命题，且“ ”为假命题，求实数 的取值范围． 【解】 由命题“ ”为真，且“ ”为假，得命题 ， 一真一假． ① 当 真 假时， ൅ 无解． ② 当 假 真时， 所以 ． 所以实数 的取值范围是 20. 已知命题 ： ൅ 和 ： 䁪 ൅ ，请选取适当的实数 的值，构造命题； “若 则 ”，并使得构造的命题为真命题，而其逆命题为假命题，并说明为什么这一命题是符 合要求的命题． 【解】 ：即 ㌳ 或 ൅ ，所以 ㌳ 或 ൅ ． ： 䁪 ൅ ，所以 ㌳ 或 ൅ ． 令 ，则 ： ㌳ 䁪 或 ൅ ，此时 ， ． 故可选取的一个实数是 ，此时可构造命题：若 ൅ ，则 䁪 ൅ ． 由以上过程可知这一命题为真命题，但它的逆命题为假命题． 复合命题的否定 1. ൅ 或 的否定形式是 ． 【答案】 且 ൅ 2. 的否定形式是 ． 【答案】 或 3. 写出命题 ଠ ， 的否定 ¬ ． 【答案】 ， ൅ 4. 用反证法证明“ ， ， 中至少有一个大于 ”的假设应是 ． 【答案】 “ 且 且 ”；或写为“ ， ， 全都小于或等于 ” 5. 命题“ 䁨 中，若 ൅ ，则 ൅ ”的结论的否定是 ． 【答案】 6. " 且 "的否定是 ． 【答案】 ㌳ 或 ㌳ 【解】 提示：复合命题的否定，不要忘记改变联结词． 7. 命题”若 ，则 ， 全为 ”的否命题是 ． 【答案】 若 ，则 ， 不全为 8. 已知下列命题： ① 命题“ ， ൅ 䁪 ”的否定是“ ， ㌳ 䁪 ”； ② 已知 ， 为两个命题，若“ ”为假命题，则“ ¬ ¬ ”为真命题； ③ “ ൅ ”是“ ൅ ”的充分不必要条件； ④ “若 ，则 且 ”的逆否命题为真命题． 其中所有真命题的序号为 ． 【答案】 ② 9. 已知 为实数， ， ， ，证明： ， ， 中至少有一个不小 于 ． 【解】 假设 ， ， 都小于 ，则有 ㌳ 䁪 ． 又因为 䁪䁪 ， 这与 ㌳ 䁪 矛盾． 故 ， ， 中至少有一个不小于 ． 10. 指出下列命题是" 或 "的形式，还是" 且 "的形式，还是"非 "的形式，判断其真假， 并写出它们的否定． (1) 既是偶数又是质数； 【解】 这是" 且 "的形式， ଠ 是偶数， ଠ 是质数，是真命题；它的否定是： 不是偶 数或 不是质数． (2)对于整数 ，它是奇数，或者是偶数； 【解】 这是" 或 "的形式， ଠ 整数 是奇数， ଠ 整数 是偶数，是真命题；它的否定 是：整数 即不是奇数，也不是偶数． (3)并非三角形都是锐角三角形； 【解】 这是"非 "的形式， ଠ 所有的三角形都是锐角三角形，是真命题；它的否定是：所 有的三角形不都是锐角三角形． (4)设 ， 是 䁨 的内角，若 sin sin ，则 䁨 是等腰三角形或直角三角形． 【解】 即不是" 或 "的形式，也不是" 且 "的形式，也不是"非 "的形式，是真命题； 它的否定是：有这样的三角形 䁨 ，当 sin sin 时，它既不是等腰三角形也不是直角三 角形，其中 ， 是 䁨 的内角． 课后练习 1. 在命题“若 ൅ ，则 ൅ ”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是 ． 2. 分别用“ ”“ ”填空： （1）命题“明天天气晴或多云”是 的形式； （2）命题“ 䁨 是等腰直角三角形”是 的形式． 3. 已知命题 ：关于 的方程 有实根；命题 ：关于 的函数 在 䁪 上是增函数．若 或 是真命题， 且 是假命题，则实数 的取值范围 是 ． 4. 已知命题 ଠ ，命题 ଠ 函数 函 在区间 上单调递增，则下列 命题：① ；② ；③ ¬ ¬ ；④ ¬ ，其中为假命题的序号为 ． 5. 下列说法：①命题“存在 ， ൅ ”的否定是“任意 ， ൅ ”；②两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件；③命题“函数 函 在其定义域上是减函数”是真命题；④给定命题 ， ，若“ ”是真命题，则非 是假命 题．其中正确的是 （填序号）． 6. 命题“若 ㌳ ，则 ㌳ ”的逆命题为 命题．（填“真”、“假”） 7. 以下四个命题中是真命题的有 （填序号）． ①命题“若 ，则 ， 互为倒数”的逆命题； ②命题“面积相等的两个三角形全等”的否命题； ③命题“若 ，则 有实根”的逆否命题； ④命题“若 ，则 ”的逆否命题． 8. 用“ ”与“ ”填空： （1） ，则 ； （2） ，则 ； （3）命题“三角形有内切圆和外接圆”是 形式； （4）命题“若 ㌳ ，则点 的位置在第Ⅱ或第Ⅲ象限”是 形式． 9. 已知实数 满足 ㌳ ㌳ ．命题 ：函数 ＝ log 在 上是减函数；命题 ： “ ㌳ ”是“ ㌳ ”的充分不必要条件，则下面说法正确的是 ． ① 或 为真命题； ② 且 为假命题； ③ ¬ 且 为真命题； ④ ¬ 或 ¬ 为真命题． 10. 下列四种说法：①函数 ൅ 的最小值为 ；②等差数列 中， ， 䁪 ， 成等比数列，则公比为 ；③已知 ൅ ， ൅ ， ，则 䁪 的最小值为 ；④ 在平面直角坐标系 体 中，已知平面区域 ，则平面区域 的面积是 ．其中正确的命题为 （填上所有正确命题的序号） 11. 如果" "为真命题，则 为 命题；若 为假命题，则 为 命题． 12. 命题 ：方程 有一正根和一负根，命题 ：函数 䁪 的图象与 轴有公共点．若命题" 或 "为真命题，而命题" 且 "为假命题，则实数 的 取值范围是 ． 13. 已知 ൅ ，设 ଠ 在 上单调递减， ଠ㠵 ln 的值域为 ， 如果" ¬ 或 ¬ "为真命题，" 或 "也为真命题，则实数 的取值范围是 ． 14. 已知命题 ଠ 函数 在 上单调递增；命题 ଠ 不等式 的解集是 ．若 且 为真命题，则实数 的取值范围是 ． 15. 分别用“ ”，“ ”，“ ¬ ”填空． （1）命题“非空集 中的元素既是 中的元素也是 中的元素”，是 形式； （2）命题“非空集 中的元素是 中的元素或 中的元素”，是 形式； （3）命题“非空集 中的元素是 中的元素但不是 中的元素”，是 形式； （4）命题“ ”，是 形式． 16. 分别用“ 或 ”“ 且 ”“非 ”填空： （1）命题“ 能被 䁪 和 整除”是 形式； （2）命题“ 的平方根是 或 的平方根是 ”是 形式； （3）命题“ π 不是有理数”是 形式． 17. 设 ：方程 有两个不相等的正根； ：方程 䁪 无实根，则使 或 为真， 且 为假的实数 的取值范围是 ． 18. 已知 ൅ ， ，命题 ：函数 log 在 上单调递减，命题 ：曲线 䁪 与 轴交于不同的两点，若 为真命题，则实数 的取值范围 是 ． 19. 已知命题 ଠ 不等式 ൅ 的解集是 ；命题 ଠ函 在区间 上是减函 数．若命题" 或 "为真，命题" 且 "为假，则实数 的取值范围是 ． 20. 若命题＂ ¬ 或 ¬ ＂是假命题，那么 是 ； 是 ； ¬是 ． 21. 已知命题 ଠ 和 是方程 的两个实根，不等式 䁪 对 任意实数 恒成立；命题 ：关于 的不等式 ൅ 有解．若命题 ¬ 是真命题，求 的取值范围． 22. 写出下列命题的非： （1） 䁨 且 䁨 ； （2）菱形一定不是正方形 ． 23. 设有两个命题： （1）关于 的不等式 ൅ 对一切 恒成立； （2）函数 函 在 上是减函数． 若命题（1）（2）中有且仅有一个是真命题，则实数 的取值范围是多少？ 24. 写出由下列各组命题构成的“ ”“ ”“ ¬ ”形式的命题，并判断真假． (1) ： 是 的约数， ： 是 的约数； (2) ：矩形的对角线相等， ：矩形的对角线互相平分； (3) ：方程 的两实根的符号相同， ：方程 的两实根的绝对值 相等． 25. 已知 ，设 ଠ 和 是关于 的方程 的两个根，不等式 对 恒成立； ଠ 函数 函 䁪 䁪 有两个不同的零点，求 使“ 且 ”为真命题的实数 的取值范围． 26. 填写下列复合命题的构成形式（ ， ， ¬ ）： （1） 䁪 是实数又是有理数 ； （2） ； （3） ； （4） 不是方程 䁪 的根 ． 27. 试写出下列复合命题的否定形式： (1) 䁨 且 䁨 ； (2)四边形 䁨 是菱形或矩形． 28. 已知 ଠ ൅ ； ଠ ，若" 是平面 上正八边形的顶点"是真命题，求 值． 29. 给定两个命题， ：对任意实数 都有 ൅ 恒成立； ：关于 的方程 有实数根；如果 为假命题， 为真命题，求实数 的取值范围． 30. 已知命题 ଠ 方程 表示焦点在 轴上的椭圆；命题 ：集合 ， ൅ 且 ．若 为真命题， 为假命题，求实数 的取值范围． 31. 甲、乙两人参加一次竞赛，设命题 是"甲获奖"，命题 是"乙获奖"，试用 ， 及逻辑联 结词"且"、"或"、"非"表示： （1）两人都获奖；（2）两人都未获奖；（3）恰有一人获奖；（4）至少有一人获奖． 32. 写出由下列各组命题构成的“ 或 ”、“ 且 ”，以及“非 ”形式的命题，并判断它们的 真假： (1) ଠ䁪 是质数， ଠ䁪 是偶数； (2) ：方程 的解是 ， ：方程 的解是 ． 33. 已知 ：方程 有两个不相等的负实根， ：不等式 ൅ 的解集为 ，若 为真命题， 为假命题． (1)求 的取值范围． 34. 指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题． (1) 是 与 的倍数； (2)方程 䁪 没有有理根； (3)两个角是 的三角形是等腰直角三角形； (4)如果 ㌳ ，则点 的位置在第二、三象限； (5) 䁪 ㌳ 的解集是 ㌳ ㌳ ； (6) π 不是无理数． 35. 已知条件 ： ； ： ．求 取值组成的集合 ，使得当 时，" 且 “与” ¬ "同时为假． 36. 设 ଠ 函数 函 lg 的值域为 ； ଠ 不等式 ൅ ，对 恒成立，如果命题“ ”为真命题，命题“ ”为假命题，求实数 的取值范围． 37. 已知命题 ： 有两个不等的负根，命题 ： 无 实根，若命题 与命题 有且只有一个为真，求实数 的取值范围． 38. 已知命题 ：方程 有两个不等的负实根，命题 ：方程 无实根．若 为真， 为假，求实数 的取值范围． 39. 写出下列命题的" ¬ "命题： (1)正方形的四边相等． (2)平方和为 的两个实数都为 ． (3)若 䁨 是锐角三角形，则 䁨 的任何一个内角是锐角． (4)若 ，则 ， ， 中至少有一个为 ． (5)若 则 且 ． 40. 设命题 ଠ 方程 的两根 ， 满足 ㌳ ㌳ ，命题 ଠ 函数 log 在区间 内单调递增． (1)若 为真命题，求实数 的取值范围； (2)试问： 是否有可能为真命题？若有可能，求出 的取值范围；若不可能，请说明理 由． 复合命题-出门考 姓名 成绩 1. 给定两个命题，命题 ଠ 对任意实数 ， ൅ 恒成立，命题 ଠ 关于 的方程 有实数根．若“ ”为真命题，“ ”为假命题，则实数 的取值范围 是 ． 2. 命题“ 䁪 不是有理数”是 的形式．（填 ¬ ， 或 ） 3. 若命题 ଠ 关于 的不等式 ൅ 的解集是 ൅ ，命题 ଠ 关于 的不等式 ㌳ 的解集是 ㌳ ㌳ ，则在命题“ ”“ ”“ ¬ ”“ ¬ ”中，是真命题的 有 ． 4. 下列四个命题： ①一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真； ②等差数列 中 ， ， 䁪 ， 成等比数列，则公差为 ； ③已知 ൅ ， ൅ ， ，则 䁪 的最小值为 ④在 䁨 中，若 sin ㌳ sin sin 䁨 ，则 䁨 为锐角三角形． 其中正确命题的序号是 ． 5. 命题“ 的值不超过 䁪 ”，看作非 的形式，则 为 ；看作是“ 或 ”形式， 为 ， 为 ． 6. 已知 ：方程 有两个不等的负根； ：方程 无实 根．若 为真， 为假，则实数 的取值范围是 ． 7. 已知命题 ଠ “ ， ”，命题 ଠ “ ， ”，若命题 “ ”是真命题，则实数 的取值范围是 ． 8. 若命题" 或 "为真，"非 "为真，则"非 "为 命题． 9. 若命题＂ ¬ ＂与命题＂ ＂都是真命题，那么 是 ； ¬ 是 ． 10. 的否定形式是 ． 11. 设 ：函数 函 䁪 在区间 上单调递增； ： log ㌳ ．如果”非 “是真命题，“ 或 ”也是真命题，那么实数 的取值范围是 ． 12. 若" 或 ㌳ 或 ൅ "是假命题，则 的范围是 ． 13. 分别用“ 或 ”、“ 且 ”、“非 ”填空． （1）命题“ 能被 䁪 和 整除”是 形式； （2）命题“ 的平方根是 或 ”是 形式； （3）命题“李强是高一学生，也是共青团员”是 形式． 14. 已知命题 ଠ 是 的约数， ଠ 是 的约数，则“ ”形式的命题为 ，“ ” 形式的命题为 ，“ ¬ ”形式的命题为 ． 15. 命题“若 ，则 且 ”是 命题．（填“真”或“假”）． 16. “ 且 为真”是“ 或 为真”的 条件．（填充要，充分不必要，必要不充分，既 不充分又不必要） 17. 命题“ π ， sin ㌳ ”的否定是 命题．（填“真”或“假”） 18. 已知下列四个命题： ① 是正数；② 是负数；③ 是负数；④ 是非正数． 选择其中两个作为题设，一个作为结论，写出一个逆否命题是真命题的复合命题 ． 19. 命题 ଠ 关于 的不等式 ൅ ，对一切 恒成立，命题 ଠ 函数 函 䁪 在 上是增函数．若 或 为真， 且 为假，则实数 的取值范围为 ． 20. 已知命题 ： ，当 时， 䁪 ；命题 ： 恒成立．现给出下列命题： ① ，② ，③ ¬ ，④ ¬ ． 其中假命题为 ．（写出所有假命题的序号） 21. 如果 ଠ 关于 的不等式 ൅ 解集是 ， ଠ 对数函数 函 log （ ൅ 且 ）是减函数，且 与 有且只有一个是真命题，求实数 的取值范围． 22. 指出下列命题是否为含有“或”，“且”的命题，如果是，用“ ’’或‘‘ ”填空： （1）李宏和赵伟都是学生 ； （2） ； （3）方程 䁪 的根是 或 ； （4） ． 23. 指出下列命题各是由哪些命题和逻辑联结词构成的： (1) 䁨 是等腰三角形或 䁨 是直角三角形； (2) 不是分数． 24. 求实数 的取值组成的集合 ，使当 时，" 或 "为真，" 且 "为假，其中 ： " ， "， ：" ， "． 25. 已知 ൅ ，设命题 ଠ 函数 在 上单调递减，命题 ଠ 设函数 ㌳ ，且函数 ൅ 恒成立．若 为假， 为真，求 的范围． 26. 已知 ଠ 有两个不等的负根， ଠ 无实根，若 、 一真一假，求 的取值范围． 27. 判断下列命题的真假： (1) ㌳ 䁪 或 䁪 ㌳ ； (2) ൅ 或 䁪 ㌳ ； (3) 且 䁪 ； (4) πe ． 28. 设 ଠ 函数 在 内单调递减； ଠ 曲线 䁪 与 轴交于不同的两点．如果 与 有且只有一个正确，求 的取值范围． 29. 把下列各组命题，分别用逻辑联结词"且""或""非"联结成新命题，并判断其真假． (1) ：梯形有一组对边平行； ：梯形有一组对边相等． (2) ： 是方程 䁪 的解； ： 䁪 是方程 䁪 的解． (3) ：不等式 ൅ 解集为 ； ：不等式 解集为 ． (4) ： ； ： ． 30. 设命题 ：方程 䁪䁑 䁑 表示双曲线；命题 ：方程 䁑 䁑 表示焦点在 轴 的正半轴上的抛物线． (1)若命题 为真，求实数 䁑 的取值范围； (2)若命题 ¬ 是真命题，求实数 䁑 的取值范围． 31. 已知命题 ：方程 有两个不相等实根； ：不等式 ൅ 的解集为 ．若 " 或 " 为真， " 且 " 为假，求实数 的取值范围． 32. 分别指出下列命题的形式： (1) ； (2) 是偶数且 是质数； (3) π 不是整数． 33. 已知命题 ：函数 函 在 上单调递增；命题 ：函数 㠵 的图象恒在 轴上方，若 为真， 为假，求 的取值范围． 34. 对于下述命题 ，写出" ¬ "形式的命题，并判断" "与" ¬ "的真假． (1) ଠ （其中全集 ， 是质数 ， 是正奇数 ）． (2) ଠ 有一个素数是偶数；． (3) ଠ 任意正整数都是质数或合数； (4) ଠ 三角形有且仅有一个外接圆． 35. 已知 ： ，不等式 䁪 ൅ 恒成立， ：椭圆 䁪 的焦点在 轴 上．若命题 为真命题，求实数 的取值范围． 36. 设命题 ：函数 函 lg 的定义域为 ；命题 ： 䁪 ㌳ 对一切的实数 恒成立，如果命题“ 且 ”为假命题，求实数 的取值范围． 37. 命题 ଠ 关于 的方程 有两个不等的正实数根；命题 ଠ 关于 的方程 无实数根．若“ ”为真命题，求 的取值范围． 38. 已知 ൅ ，设 ଠ 函数 在 上递减； ：不等式 ൅ 的解集为 ，如果 “ 或 ”为真，“ 且 ”为假，求 的取值范围． 39. 设命题 ：函数 函 sin 䁪cos 䁪 ൅ 在 π π 时恒成立；命题 ： 方程 有解，若 是真命题， 是假命题，求实数 的取值范围． 40. 命题 ଠ 关于 的不等式 的解集为 ，命题 ଠ 函数 为 增函数．如果命题“ ”为真命题，“ ”为假命题，求实数 的取值范围．