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- 2021-04-18 发布
2018年湖北省高三4月调考
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，集合，则( )
A． B． C． D．
2.欧拉公式为虚数单位)是由著名数学家欧拉发明的，她将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，若将表示的复数记为，则的值为( )
A． B． C． D．
3.记不等式组的解集为，若,则实数的最小值是( )
A．0 B．1 C．2 D．4
4.已知,则的值等于( )
A． B． C. D．
5.函数的图像大致为( )
A． B． C. D．
6.已知双曲线的一条渐近线方程为分别是双曲线
的左、右焦点，点在双曲线上，且,则( )
A．1 B．3 C.1或9 D．3或7
7.执行如图所示的程序框图，若输出的值为6，且判断框内填入的条件是,则的取值范围是( )
A． B． C. D．
8.党的十九打报告指出，建设教育强国是中华民族伟大复兴的基础工程，必须把教育事业放在优先位置，深化教育资源的均衡发展.现有4名男生和2名女生主动申请毕业后到两所偏远山区小学任教.将这6名毕业生全部进行安排，每所学校至少安排2名毕业生，则每所学校男女毕业至少安排一名的概率为( )
A． B． C. D．
9.已知，则( )
A． B． C. D．
10.锐角中，角所对的边为的面积,给出以下结论：
①；
②；
③；
④有最小值8.
其中正确结论的个数为( )
A．1 B．2 C. 3 D．4
11.已知正三棱锥的顶点均在球的球面上，过侧棱及球心
的平面截三棱锥及球面所得截面如图所示，已知三棱锥的体积为，则球的表面积为( )
A． B． C. D．
12.设,其中，则的最小值为( )
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.在的展开式中，常数项为 ．（用数字填写答案）
14.已知向量与的夹角为30°，，则的最大值为 ．
15.已知函数在区间上恰有三个零点，则的取值范围是 ．
16.点是直线上的动点，是圆的两条切线，是切点，则三角形面积的最小值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知数列，其中，且满足,.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和.
18. 如图，在平行四边形中，°，四边形是矩形，，平面平面.
(1) 若，求证：；
(2) (2)若二面角的正弦值为，求的值.
19.随着网络的飞速发展，人们的生活发生了很大变化，其中无现金支付是一个显著特征，某评估机构对无现金支付的人群进行网络问卷调查，并从参与调查的数万名受访者中随机选取了300人，把这300人分为三类，即使用支付宝用户、使用微信用户、使用银行卡用户，各类用户的人数如图所示，同时把这300人按年龄分为青年人组与中年人组，制成如图所示的列联表：
支付宝用户
非支付宝用户
合计
中老年
90
青年
120
合计
300
(1) 完成列联表,并判断是否有99%的把握认为使用支付宝用户与年龄有关系?
(2)把频率作为概率，从所有无现金支付用户中(人数很多)随机抽取3人，用表示所选3人中使用支付宝用户的人数，求的分布列与数学期望.
附:
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
，其中.
20.已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，当时，内切圆的半径为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线与椭圆相较于两点，且，当直线的斜率之和为2时，问：点到直线的距离是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.
21. 已知函数.
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)求函数的极值.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线,曲线为参数)，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程；
(2)已知射线与曲线分别交于点（异于原点），当时，求的取值范围.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数的最小值为3.
(1)求的值；
(2)若，求证：.
2018年湖北省高三4月调考
理科数学参考答案
一、选择题
1-5:BACCC 6-10:CCCBD 11、12：AC
二、填空题
13. 112 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：(1),
又，所以是首项为4，公比为2的等比数列
(2)由(1)知， ①
又
又，所以为常数数列，) ②
联立①②得：,
所以
18.解：(1)连接，在中，由，由余弦定理易得，又，则；同理由余弦定理易得：，由四边形是矩形，则，又平面平面，所以平面，所以，同理，由勾股定理易求得，,显然,故；
由，所以面，所以，所以面，所以；
(2)以点为原点，所在的直线分别为轴，轴，过点与平面垂直的直线轴建立空间直角坐标系，则
设平面的法向量为，则,即,
取，则，即,
同理可求得平面的法向量为
设二面角的平面角为，则
则，即，解之得或，又,
所以或
19.(1)列联表补充如下
支付宝用户
非支付宝用户
合计
中老年
60
90
150
青年
120
30
150
合计
180
120
300
,
故有99%的把握认为支付宝用户与年龄有关系.
(2)把频率作为概率，从所有无现金支付用户（人数最多）中抽取3人，可以近似看作3次独立重复实验，所以的取值依次为0,1,2,3，且服从二项分布
所以的分布列为
0
1
2
3
20.(1)依题意：,则，即
又,联立解得：，故，所以椭圆的方程为
(2)设,
联立直线和椭圆的方程得：,
当时有：
由得：,即,
整理得：,所以,
化简整理得：，代入得：,
解之得：或,
点到直线的距离,
设，易得或，则,
当时；当时，,
若，则；若，则，当时，
综上所述：，故点到直线的距离没有最大值.
21.解：(1)函数的定义域为，其导数为.当时，
设，则，显然时递增；
时，递减，故，于是，
所以时，递减；时，递增；
(2)由(1)知，
函数在递增，在递减，所以
又当时，,
讨论：
①当时，，此时：
因为时，递增；时，递减；
所以，无极小值；
②当时，，此时：
因为时，递减；时，递增；
所以，无极大值；
③当时，
又在递增，所以在上有唯一零点,且,
易证：时，，所以,
所以
又在递减，所以在上有唯一零点，且，故：
当时，递减；当，递增；
当时，递减；当，递增；
所以，，,
.
22.解：(1)因为，所以曲线的普通方程为：，由，得曲线的极坐标方程，
对于曲线,,则曲线的极坐标方程为
(2)由(1)得,，
因为，则
23.(1)解：
所以,即
(2)由，则原式等价为：，即,
而,
故原不等式成立