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- 2021-04-18 发布
2020年1月2日高中数学作业
一、单选题
1．命题：“，”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据特称命题的否定的性质进行改写即可.
【详解】
命题：“，”的否定是.
故选：D
【点睛】
本题考查了特称命题的否定，属于基础题.
2．设抛物线yx2的焦点为F，点P在抛物线上，若|PF|＝3，则点P到x轴的距离为（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
写出抛物线的准线方程，根据抛物线的定义可以求出点P到x轴的距离.
【详解】
抛物线yx2的准线为：，又因为|PF|＝3，所以根据抛物线的定义可以知道点P到准线的距离也为3，因此点P到x轴的距离为2.
故选：B
【点睛】
本题考查了抛物线的定义，考查了抛物线焦点的位置及准线方程.
3．已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆
相切，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设出圆心坐标，根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径计算出圆心坐标，从而可求解出圆的方程.
【详解】
设圆心为，因为与圆相切，
所以圆心到直线的距离，
所以或(舍).
所以圆的方程为：.
故选：A.
【点睛】
本题考查根据直线与圆的相切求解圆的方程，难度较易.当直线与圆相切时，有两种思路处理问题：(1)圆心到直线的距离等于半径；(2)直线与圆的方程联立后得到的一元二次方程的.
4．由1，2，3组成无重复数字的三位数，从中任取一个为偶数的概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出组成无重复的三位数的个数，再求出是偶数的三位数的个数，根据古典概型求出概率即可.
【详解】
因为由1，2，3组成无重复数字的三位数的个数为；，由1，2，3组成无重复数字的三位数的偶数的个数为：
，所以由1，2，3组成无重复数字的三位数，从中任取一个为偶数的概率为.
故选：D
【点睛】
本题考查了古典概型的概率的求法，属于基础题.
5．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
取，则，但，故；取，则，但是，故，故“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件，选D.
6．已知一个几何体的三视图如图所示（单位：），那么这个几何体的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
还原几何体如图所示：
.
故选C.
7．若平面α的一个法向量为（1，2，1），A（1，0，﹣1），B（0，﹣1，1），A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
直接应用点到平面的距离公式即可求出点A到平面α的距离.
【详解】
，根据点到平面的距离公式可得点A到平面α的距离为
.
故选：B
【点睛】
本题考查了应用空间向量的数量积运算求点到面的距离，考查了数学运算能力.
8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6＝6，S14＝16，则a7+a9+a12+a14等于（ ）
A．5 B．4 C．6 D．7
【答案】A
【解析】
【分析】
S6＝6，S14＝16两式相减，利用等差数列的下标性质，可得到一个等式，结合这个等式利用等差数列的下标性质即可求出a7+a9+a12+a14的值.
【详解】
，
因此.
故选：A
【点睛】
本题考查了等差数列的下标性质，考查了数学运算能力.
9．已知a，b均为正实数，且2a+3b＝4，则的最小值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【解析】
【分析】
对所求的式子进行恒等变形，最后利用基本不等式求出的最小值.
【详解】
(当且仅当取等号，即时取等号).
故选：B
【点睛】
本题考查了基本不等式的应用，恒等变形是解题的关键.
10．在正方体中，点，分别是，的中点，则直线与平面所成角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设正方体棱长为，以为轴建立空间直角坐标系，求得和平面的一个法向量为，利用向量的夹角公式，即可求解.
【详解】
设正方体棱长为，分别以为轴建立空间直角坐标系，
则，
所以.
设平面的法向量为，
则即令，则，
即平面的一个法向量为.
设直线与平面所成角为，
则.
故选D.
【点睛】
本题主要考查了利用空间向量求解直线与平面所成的角，根据几何体的结构特征，建立适当的空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
11．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】
【分析】
根据所给初始值先执行循环体再判断直至当时，退出循环体，输出的值.
【详解】
，进入循环体，，显然不成立，再进入循环体，
，显然不成立，再进入循环体，，显然不成立，再进入循环体，，显然不成立，再进入循环体，，显然不成立，再进入循环体，，显然不成立，再进入循环体，，显然成立，所以输出.
故选：D
【点睛】
本题考查了循环结构，考查了数学运算能力.
12．设双曲线1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与双曲线交于P，Q两点，且|QF1|﹣|PF1|＝3a，0，则此双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
讨论，的位置，可得在左支上，在右支上，且，，设，由双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，计算可得所求离心率．
【详解】
解：若，同在左支上，由，即，可得，不符合题意；
故在左支上，在右支上，且，
，设，可得，，，
在直角三角形中，可得，解得，
可得，，
在直角三角形中，可得，
即有，即有．
故选：．
【点睛】
本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查直角三角形的勾股定理，化简运算能力，属于中档题．
二、填空题
13．已知变量x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y取最大值为_____.
【答案】1
【解析】
【分析】
在平面直角坐标系内，画出可行解域，平移直线，在可行解域内找到当直线
在纵轴上的截距最小时所经过的点，把点的坐标代入目标函数中即可求出目标函数的最大值.
【详解】
在平面直角坐标系内，画出可行解域，如下图所示；平移直线，当平移的直线过直线与直线交点时，此时直线在纵轴上的截距最小，因此z＝2x﹣y取最大值为.
故答案为：1
【点睛】
本题考查了求目标函数的最大值问题，正确画出可行解域是解题的关键.
14．设x，，向量，，，且，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
由，得，求得，由求得，从而可得。再由坐标运算求得模。
【详解】
由得，∴．由知．
∴，．
故答案为：。
【点睛】
本题考查求向量的模，解题时可由向量垂直和平行求得其中的变量，从而可得，计算出模。本题属于基础题。
15．f(x)＝2sinωx(0<ω<1)，在区间上的最大值是，则ω＝________.
【答案】
【解析】
【详解】
函数f(x)的周期T＝，
因此f(x)＝2sinωx在上是增函数，
∵0<ω<1，∴是的子集，
∴f(x)在上是增函数，
∴＝，即2sin＝，
∴ω＝，
∴ω＝，故答案为.
16．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧棱底面，，，则异面直线与所成角的余弦值为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
以分别为轴，以过点平行与的直线为轴建立空间直角坐标系，求得向量的坐标，利用向量的夹角公式，即可求解.
【详解】
由题意，以分别为轴，以过点平行与的直线为轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设与所成的角为，则，
所以与所成的角的余弦值为.
【点睛】
本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，把异面直线所成的角转化为两个向量所成的角，利用向量的夹角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
三、解答题
17．在中，角的对边分别为，为的面积，若．
（1）求；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【试题分析】（1）利用三角形的面积公式化简题目所给等式可求得的大小，进而求得的值.（2）结合（1）用的余弦定理，化简得出，结合可求出点的值.
【试题解析】
（1）由有，得，
由可得，故．
（2）由余弦定理有：，得，即，可得，由，解得：．
18．已知函数是奇函数，其中是常数．
（1）求函数的定义域和的值；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）定义域为，；（2）.
【解析】
试题分析：（1）由，得函数的定义域，由奇函数得，可得；
（2）由，得，解不等式即可.
试题解析：
（1）由，得函数的定义域为，
由是奇函数，得，所以．
（2）由（1）知，由，得，
当时，，，不成立，当时，，，
所以时，实数的取值范围是．
19．已知为等比数列的前项和，且公比为2，.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）运用等比数列前n项和公式和等比数列的通项公式，解方程即可得到首项，即可得到所求通项；
（2）由对数的运算性质求得bn，再由裂项相消求和即可得到所求和．
【详解】
（1）∵，∴，
∴.
（2）∵，，∴，，
∴ ，
∴ .
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式和前n项和公式，以及数列的求和方法：裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
20．如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，，且底面.
(1)证明：平面平面；
(2)若二面角为，求与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先由底面，得到，再在平行四边形中，得到，利用线面垂直的判定定理，证得平面，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面平面.
（2）由（1）知，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.
【详解】
（1）证明：因为底面，所以，
因为平行四边形中，，所以，
因为，所以平面，
而平面，所以平面平面.
（2）由（1）知，平面，
所以即为二面角的平面角，即，
分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设，则,
则,
所以，
设平面的法向量为，
则，令，得，
所以与平面所成角的正弦值为.
【点睛】
本题考查了面面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
21．已知抛物线，过焦点F的直线l与抛物线分别交于A、B两点，O为坐标原点，且.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)对于抛物线上任一点Q，点P（2t，0）都满足|PQ|≥2|t|，求实数t的取值范围.
【答案】(1) ；(2)（﹣∞，]
【解析】
【分析】
(1)设出过焦点F的直线l的方程，与抛物线方程联立，利用一元二次方程根与系数关系，结合，可以求出抛物线的标准方程；
(2)设出点Q坐标，根据|PQ|≥2|t|，根据点Q横坐标的取值范围，结合不等式的性质可以求出实数t的取值范围.
【详解】
(1)抛物线的焦点F（，0），设直线l的方程为x＝my，
设A（x1，y1），B（x2，y2），联立抛物线方程可得y2﹣2pmy﹣p2＝0，
可得，
则 ，
由，可得
解得p，即抛物线的方程为y2＝x；
(2)设点Q的坐标为（x0，y0），有y02＝x0，
由|PQ|≥2|t|，即2|t|，整理可得x02﹣4tx0+y02≥0，
即x02﹣4tx0+x0≥0，可得x0（x0﹣4t+1）≥0，
由x0≥0，可得x0﹣4t+1≥0，即1﹣4t≥0，可得t，
则t的取值范围是（﹣∞，].
【点睛】
本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了根据向量的数量积求抛物线的标准方程，考查了数学运算能力.
22．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，周长为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若点是椭圆上第一象限内的一个点，直线过点且与直线平行，直线且与椭圆交于两点，与交于点，是否存在常数，使.若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
【答案】(1) (2)
【解析】
试题分析：（1）周长为，离心率为，结合，即可得方程；
（2）求出直线斜率得的方程为，可设方程为，由得，由得，利用弦长公式及韦达定理表示线段长即可得解.
试题解析：
(1)由题意知，，
又，∴，，
∴椭圆的方程为.
(2)由得，∴，
又，，，
∴的方程为，可设方程为，
由得，
由得，，，
设，，则，，
由弦长公式：，
同理，，，
∴，，
∴，
∴存在常数，使.