2016年湖南省岳阳一中高考模拟数学 10页

2016 年湖南省岳阳一中高考模拟数学 一、选择题(本大题 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求). 1.一个年级有 12 个班，每个班的同学从 1 至 50 排学号，为了交流学习经验，要求每班学号 为 14 的同学留下进行交流，这里运用的是( ) A.系统抽样 B.分层抽样 C.抽签抽样 D.随机抽样 解析：当总体容量 N 较大时，采用系统抽样.将总体分段，分段的间隔要求相等，这时间隔 一般为预先制定的，在第 1 段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加 上分段间隔的整倍数即为抽样编号. 本题中，把每个班级学生从 1 到 50 号编排，要求每班编号为 14 的同学留下进行交流， 这样选出的样本是采用系统抽样的方法. 答案：A. 2.设全集 U=R，集合 A={x|x≥2}，B={x|0≤x＜5}，则集合 A∩B=( ) A.{x|0≤x} B.{x|0＜x≤2} C.{x|0≤x＜2} D.{x|2≤x＜5} 解析：∵全集 U=R，集合 A={x|x≥2}，B={x|0≤x＜5}， ∴A∩B={x|2≤x＜5}， 答案：D. 3.已知 a、b 是两条异面直线，c∥a，那么 c 与 b 的位置关系( ) A.一定是异面 B.一定是相交 C.不可能平行 D.不可能垂直 解析：a、b 是两条异面直线，c∥a，那么 c 与 b 异面和相交均有可能，但不会平行. 因为若 c∥b，因为 c∥a，由平行公理得 a∥b，与 a、b 是两条异面直线矛盾. 答案：C 4.已知函数   30 20x log x xfx x    ， ＞＝ ， ，则   1 9ff =( ) A. 1 2 B. 1 4 C. 1 6 D. 1 8 解析：因为 1 9 ＞0，所以 113299f log  （ ） ，又-2＜0，所以 222 1 4f   （ ） ； 答案：B. 5.已知倾斜角为θ的直线，与直线 x-3y+1=0 垂直，则 tanθ=( ) A. 1 3 B.3 C.-3 D. 1 3 解析：∵倾斜角为θ的直线，与直线 x-3y+1=0 垂直， ∴ 11 3 t a n    ， 解得 tanθ=-3. 答案：C. 6.设 M=2a(a-2)，N=(a+1)(a-3)，则有( ) A.M＞N B.M≥N C.M＜N D.M≤N 解析：∵M-N═2a(a-2)-(a+1)(a-3) =(a-1)2+2＞0， ∴M＞N. 答案：A. 7.在△ABC 中，A：B：C=1：2：3，则 a：b：c 等于( ) A.1：2：3 B.3：2：1 C.13 2： ： D. 2 31： ： 解析：在△ABC 中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，又∠A+∠B+∠C=π 所以 6 3 2A B C       ， ， . 由正弦定理可知： 1 3 26 3 2a b c sin A sin B sin C sin sin sin     ： ： ： ： ： ： ： ：. 答案：C. 8.已知函数   1 2 0 2 1 0 x x xfx x    ，＝ ， ＜ ，则该函数是( ) A.非奇非偶函数，且单调递增 B.偶函数，且单调递减 C.奇函数，且单调递增 D.奇函数，且单调递减 解析：此函数的定义域是 R 当 x≥0 时，有 f(x)+f(-x)=1-2-x+2-x-1=0 当 x＜0 时，有 f(-x)+f(x)=1-2x+2x-1=0 由上证知，此函数是一个奇函数， 又 x≥0 时，函数 1-2-x 是一个增函数，最小值是 0；x≤0 时，函数 2x-1 是一个增函数，最大 值为 0， 所以函数函数   120 210 x x xfx x    ，＝ ， ＜ 在定义域上是增函数 综上，函数   120 210 x x xfx x    ，＝ ， ＜ 在定义域上是增函数，且是奇函数 答案：C 9.如图，在△ABC 中，已知 2BD DC＝ ，则 AD =( ) A. 31 22ABAC B. 31 22ABAC C. 12 33AB AC D. 12 33ABAC 解析：根据平面向量的运算法则及题给图形可知：  2212 3333AD AB BD AB BC ABBA ACAB AC       . 答案：C. 10.已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的图象上相邻两个最高点的距离为π.若将 函数f(x)的图象向左平移 6  个单位长度后，所得图象关于y轴对称.则函数P的解析式为( ) A.f(x)=2sin(x+ 6  ) B.f(x)=2sin(x+ 3  ) C.f(x)=2sin(2x+ 6  ) D.f(x)=2sin(2x+ 3  ) 解析：∵函数的图象上相邻两个最高点的距离为π， ∴函数周期 T=π，即 2T  ，即ω=2， 即 f(x)=2sin(2x+φ)， 若 将 函 数 f(x) 的图象向左平移 个 单 位 长 度 后 ， 得 22[ 3] 226f x sin x sin x     （ ） （ ） ） （ ）， 若图象关于 y 轴对称. 则 32k   ， 即 6 k k Z  ， ， ∵0＜φ＜π， ∴当 k=0 时，φ= ， 即 f(x)=2sin(2x+ )， 答案：C. 二、填空题(本小题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分) 11.如图是一个算法的流程图，则当输入的值为 5 时，输出的值是 . 解析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用条件结构计算并输出分段函数 2 2 15 225 xxy xx     ， ＜ ， 的值， 当 x=5 时，y=2×52+2=52， 答案：52 12.如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，棱 BB1 长为 2 ， 则二面角 B1-AC-B 的大小是 度. 解析：连接 BD 交 AC 于 O，连接 B1O， ∵底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， ∴BO⊥AC， ∵在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，B1B⊥平面 ABCD ∴AC⊥平面 BBB1O，AC⊥B1O， ∴∠B1OB 是二面角 B1-AC-B 的平面角， ∵底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，棱 BB1 长为 2 ， ∴OB= 2 ， 则 1 1 2 1 2 BBtan B OB BO＝ ＝ ， 则∠B1OB=45°， 即二面角 B1-AC-B 的大小是 45°， 答案：45°. 13.已知 A、B、C 为△ABC 的三内角，若   1 2cos B C ＝ ，则 A= . 解析：∵△ABC 中，   1 2cos B C cosA  ＝ ，即 1 2cosA＝- ， ∴ 2 3A  ， 答案： 2 3  . 14.若变量 x，y 满足约束条件 1 1 1 xy yx x      ，则 z=2x-y 的最小值为 . 解析：由约束条件 1 1 1 xy yx x      作出可行域如图， 由图可知，最优解为 A， 联立 =1 =1 xy yx    ，解得 A(0，1). ∴z=2x-y 的最小值为 2×0-1=-1. 答案：-1. 15.方程|x2-a|-x+2=0(a＞0)有两个不等的实数根，则实数 a 的取值范围是 . 解析：∵方程|x2-a|-x+2=0(a＞0)有两个不等的实数根， ∴函数 y=|x2-a|(a＞0)与函数 y=x-2 的图象有两个交点， 作函数 y=|x2-a|(a＞0)与函数 y=x-2 的图象如下， 结合图象可得， 存在 x＞2 时，x2-a=0， 故 a＞4； 答案：a＞4. 三、解答题(本大题共 5 小题，满分 40 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算过程) 16.已知二次函数 f(x)=ax2-4x+c.若 f(x)＜0 的解集是(-1，5) (1)求实数 a，c 的值； (2)求函数 f(x)在 x∈[0，3]上的值域. 解析：(1)由不等式 f(x)＜0 的解集是(-1，5)，可知二次不等式对应的方程的根，利用根与系 数关系列式求 a 和 c 的值； (2)求出函数 f(x)的解析式后，借助于其图象分析函数在[0，3]上的单调性，运用单调性求函 数 f(x)在 x∈[0，3]上的值域. 答案：(1)由 f(x)＜0，得：ax2-4x+c＜0， 不等式 ax2-4x+c＜0 的解集是(-1，5)， 故方程 ax2-4x+c=0 的两根是 x1=-1，x2=5. 所以 1 2 1 2 4 45cx x x xaa＝ ＝ ，＝ ＝ 所以 a=1，c=-5. (2)由(1)知，f(x)=x2-4x-5=(x-2)2-9. ∵x∈[0，3]，f(x)在[0，2]上为减函数，在[2，3]上为增函数. ∴当 x=2 时，f(x)取得最小值为 f(2)=-9. 而当 x=0 时，f(0)=(0-2)2-9=-5，当 x=3 时，f(3)=(3-2)2-9=-8 ∴f(x)在[0，3]上取得最大值为 f(0)=-5. ∴函数 f(x)在 x∈[0，3]上的值域为[-9，-5]. 17.已知向量 ( ) )2 2 2(33 2 x x x xa cos sin b cos sin＝ ， ，＝ ， . (1)已知 //ab且 ]2[0x  ， ，求 x； (2)若 f(x)＝ ab ，写出 f(x)的单调递减区间. 解析：(1)由 //ab，根据平行向量的坐标关系以及两角差的正弦公式即可得出 sinx=0，这样 根据 x 的范围便可得出 x 的值； (2)进行向量数量积的坐标运算，根据两角差的余弦公式便可得出 f(x)=cosx，从而可以写出余 弦函数的单调递减区间. 答案：(1)∵ ； ∴ 33=2 2 2 2 x x x xcos sin sin cos 0 ，即 sinx=0； ∵ ]2[0x  ， ； ∴x=0； (2) 33 2 2 2 2 x x x xf x a b cos cos sin sin cosx     （ ） ； ∴f(x)的单调递减区间为[2kπ，2kπ+π]，k∈Z. 18.甲、乙两校各有 3 名教师报名支教，期中甲校 2 男 1 女，乙校 1 男 2 女. (Ⅰ)若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名，写出所有可能的结果，并求选出的 2 名教师 性别相同的概率； (Ⅱ)若从报名的 6 名教师中任选 2 名，写出所有可能的结果，并求选出的 2 名教师来自同一 学校的概率. 解析：首先根据题意，将甲校的男教师用 A、B 表示，女教师用 C 表示，乙校的男教师用 D 表示，女教师用 E、F 表示， (Ⅰ)依题意，列举可得“从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名”以及“选出的 2 名教师性 别相同”的情况数目，由古典概型的概率公式计算可得答案； (Ⅱ)依题意，列举可得“从报名的 6 名教师中任选 2 名”以及“选出的 2 名教师同一个学校 的有 6 种”的情况数目，由古典概型的概率公式计算可得答案. 答案：甲校的男教师用 A、B 表示，女教师用 C 表示，乙校的男教师用 D 表示，女教师用 E、 F 表示， (Ⅰ)根据题意，从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名， 有(AD)，(AE)，(AF)，(BD)，(BE)，(BF)，(CD)，(CE)，(CF)，共 9 种； 其中性别相同的有(AD)(BD)(CE)(CF)四种； 则选出的 2 名教师性别相同的概率为 4 9P  ； (Ⅱ)若从报名的 6 名教师中任选 2 名， 有(AB)(AC)(AD)(AE)(AF)(BC)(BD)(BE)(BF)(CD)(CE)(CF)(DE)(DF)(EF)共 15 种； 其中选出的教师来自同一个学校的有 6 种； 则选出的 2 名教师来自同一学校的概率为 6 2 155P  ＝ . 19.设数列{an}是公比为正数的等比数列，a1=2，a3-a2=12. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足： 33 3 2 n nnblogloga   ＝ ，求数列{an+bn}的前 n 项和 Sn. 解析：(1)设出等比数列的公比，由已知列式求出公比，直接代入等比数列的通项公式得答 案； (2)把 an＝2×3n-1 代入 ，化简后得到数列{bn}的通项公式，然后利用 分组求和求得数列{an+bn}的前 n 项和 Sn. 答案：(1)设数列{an}的公比为 q，由 a1=2，a3-a2=12， 得 2q2-2q-12=0，即 q2-q-6=0. 解得 q=3 或 q=-2， ∵q＞0，∴q=-2 不合题意舍去， ∴an＝2×3n-1； (2)由 ，且 an＝2×3n-1，得 121 33(3 32)2312 n nn nbloglogn  ＝ ＝ ， ∴数列{bn}是首项 b1=1，公差 d=2 的等差数列， ∴Sn=(a1+a2+…+an)+(b1+b2+…+bn)=2(3n?1)3?1+n(1+2n?1)2=3n-1+n2. 20.已知圆 O：x2+y2=4 和圆 C：x2+(y-4)2=1. (Ⅰ)判断圆 O 和圆 C 的位置关系； (Ⅱ)过圆 C 的圆心 C 作圆 O 的切线 l，求切线 l 的方程； (Ⅲ)过圆 C 的圆心 C 作动直线 m 交圆 O 于 A，B 两点.试问：在以 AB 为直径的所有圆中，是 否存在这样的圆 P，使得圆 P 经过点 M(2，0)？若存在，求出圆 P 的方程；若不存在，请说 明理由. 解析：(Ⅰ)求出两圆的半径和圆心距，由此能判断两圆的位置关系. (Ⅱ)设切线 l 的方程为：y=kx+4，由圆心 O 到直线 l 的距离等于半径，能求出切线 l 的方程. (Ⅲ)当直线 m 的斜率不存在时，直线 m 经过圆 O 的圆心 O，由此得到圆 O 是满足题意的圆； 当直线 m 的斜率存在时，设直线 m：y=kx+4，由 224 4 xy y kx     ＝ ＝ ，消去 y 整理，得(1+k2)x2+8kx+12=0， 由此求出存在以 AB 为直径的圆 P 满足题意.从而能求出在以 AB 为直径的所有圆中，存在圆 P：5x2+5y2-16x-8y+12=0 或 x2+y2=4，使得圆 P 经过点 M(2，0). 答案：(Ⅰ)因为圆 O 的圆心 O(0，0)，半径 r1=2，圆 C 的圆心 C(0，4)，半径 r2=1， 所以圆 O 和圆 C 的圆心距|OC|=|4-0|＞r1+r2=3， 所以圆 O 与圆 C 相离. (Ⅱ)设切线 l 的方程为：y=kx+4，即 kx-y+4=0， 所以 O 到 l 的距离 2 0 0 4 2 1 d k   ＝ ＝ ，解得 3k ＝ . 所以切线 l 的方程为 3 4 0 3 4 0x y x y   ＝ 或 ＝ (Ⅲ)ⅰ)当直线 m 的斜率不存在时，直线 m 经过圆 O 的圆心 O， 此时直线 m 与圆 O 的交点为 A(0，2)，B(0，-2)， AB 即为圆 O 的直径，而点 M(2，0)在圆 O 上， 即圆 O 也是满足题意的圆 ⅱ)当直线 m 的斜率存在时，设直线 m：y=kx+4， 由 224 4 xy y k x     ＝ ＝ ，消去 y 整理，得(1+k2)x2+8kx+12=0， 由△=64k2-48(1+k2)＞0，得 33kk＞ 或 ＜ . 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有 12 2 12 2 8 1 12 1 kxx k xx k      ＝- ＝ …① 由①得      22 12121212 2 16444416 1 ky ykxkxkx xkxx k   ＝ ＝ ＝ ，…②  121212 2 8448 1yykxkxkxx k  ＝ ＝ ＝ ，…③ 若存在以 AB 为直径的圆 P 经过点 M(2，0)，则 MA⊥MB，所以 0MAMB ＝ ， 因此(x1-2)(x2-2)+y1y2=0， 即 x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2=0， 则 2 222 1616412 40111 kk kkk  ＝ ，所以 16k+32=0，k=-2，满足题意. 此时以 AB 为直径的圆的方程为 x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y+x1x2+y1y2=0， 即 22168 12 0555xyxy ＝ ，亦即 5x2+5y2-16x-8y+12=0. 综上，在以 AB 为直径的所有圆中， 存在圆 P：5x2+5y2-16x-8y+12=0 或 x2+y2=4，使得圆 P 经过点 M(2，0).