【数学】2020届北京一轮复习通用版4-3三角函数的图象与性质 19页

‎4.3　三角函数的图象与性质 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 ‎1.三角函数的性质及其应用 ‎1.了解三角函数的周期性 ‎2.理解正弦函数、余弦函数的性质(如单调性、对称性、奇偶性以及最值问题等);理解正切函数的单调性 ‎2018北京,11‎ 三角函数的最值 不等式恒成立的条件 ‎★★★‎ ‎2015北京,15‎ 三角函数的周期性及最值 二倍角公式、辅助角公式 ‎2014北京,14‎ 三角函数的单调性及周期性 三角函数图象 ‎2.三角函数的图象及其变换 ‎1.能画出y=sin x,y=cos x,y=tan x的图象 ‎ ‎2.了解函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义;能画出y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数A,ω,φ对函数图象变化的影响 ‎2016北京,7‎ 三角函数图象的平移变换 三角函数的周期性 ‎★★★‎ ‎2014北京文,16‎ 根据三角函数图象求值 三角函数的性质应用 分析解读　　分析近几年的高考试题可以看出,对三角函数图象和性质的考查一般以基础题为主,难度不大.在备考时要注意以下几点:1.研究三角函数时,要特别关注三角函数的定义域;2.求三角函数的单调区间,要利用公式将三角函数式化为一个角的一种函数的形式,再利用整体换元的思想,通过解不等式组得出函数的单调区间;3.三角函数的单调性、奇偶性、周期性及最值是主要考点,重点考查三角恒等变换及数形结合能力.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点一　三角函数的性质及其应用 ‎1.函数y=3sin‎2x+‎π‎4‎的图象相邻的两条对称轴之间的距离是(　　)‎ A.2π　　　　B.π　　　　C.π‎2‎　　　　D.‎π‎4‎ 答案　C　‎ ‎2.(2017课标Ⅱ,14,5分)函数f(x)=sin2x+‎3‎cos x-‎3‎‎4‎x∈‎‎0,‎π‎2‎的最大值是　　　　. ‎ 答案　1‎ ‎3.已知函数f(x)=2cos x(sin x+cos x)-1.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)求f(x)在[0,π]上的单调递增区间.‎ 解析　(1)f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1=sin 2x+cos 2x ‎=‎2‎sin‎2x+‎π‎4‎.‎ 所以f(x)的最小正周期T=‎2π‎2‎=π.‎ ‎(2)由-π‎2‎+2kπ≤2x+π‎4‎≤π‎2‎+2kπ(k∈Z),‎ 得-‎3π‎8‎+kπ≤x≤π‎8‎+kπ(k∈Z).‎ 当x∈[0,π]时,单调递增区间为‎0,‎π‎8‎和‎5π‎8‎‎,π.‎ 思路分析　(1)根据二倍角公式、两角和的正弦公式将原式化简,得到f(x)=‎2‎sin‎2x+‎π‎4‎,根据周期公式得到T=‎2π‎2‎=π;(2)由题意得到-π‎2‎+2kπ≤2x+π‎4‎≤π‎2‎+2kπ(k∈Z),从而得到单调增区间,再与[0,π]取交集.‎ 考点二　三角函数的图象及其变换 ‎4.将函数y=3sin‎2x+‎π‎3‎的图象向右平移π‎2‎个单位长度,所得图象对应的函数(　　)‎ A.在区间π‎12‎‎,‎‎7π‎12‎上单调递减 B.在区间π‎12‎‎,‎‎7π‎12‎上单调递增　　　　‎ C.在区间‎-π‎6‎,‎π‎3‎上单调递减 D.在区间‎-π‎6‎,‎π‎3‎上单调递增 答案　B　‎ ‎5.如图,已知函数f(x)=sin(ωx+φ),x∈R(其中ω>0,-π<φ<π)的部分图象,那么f(x)的解析式为(　　)‎ A. f(x)=sinx+‎π‎2‎　　　　B. f(x)=sinx-‎π‎2‎　　　　C. f(x)=sin‎2x+‎π‎2‎　　　　D. f(x)=sin‎2x-‎π‎2‎ 答案　A　‎ ‎6.函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,-π‎2‎<φ<‎π‎2‎的部分图象如图所示.‎ ‎(1)求f(x)的解析式;‎ ‎(2)将函数y=f(x)的图象向左平移π‎3‎个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,令F(x)=f(x)+g(x),求函数F(x)的单调递增区间.‎ 解析　(1)因为‎2πω=4‎5π‎6‎‎-‎π‎3‎=2π,所以ω=1.‎ 又因为sinπ‎3‎‎+φ=1,所以π‎3‎+φ=2kπ+π‎2‎(k∈Z).‎ 所以φ=2kπ+π‎6‎(k∈Z).‎ 因为-π‎2‎<φ<π‎2‎,所以φ=π‎6‎.‎ 所以f(x)的解析式是f(x)=sinx+‎π‎6‎.‎ ‎(2)由已知得g(x)=sinx+‎π‎3‎‎+‎π‎6‎=sinx+‎π‎2‎=cos x,‎ 所以F(x)=f(x)+g(x)=sinx+‎π‎6‎+cos x=‎3‎‎2‎sin x+‎1‎‎2‎cos x+cos x=‎3‎‎2‎sin x+‎3‎‎2‎cos x=‎3‎sinx+‎π‎3‎.‎ 函数y=sin x的单调递增区间为‎2kπ-π‎2‎,2kπ+‎π‎2‎(k∈Z).‎ 由2kπ-π‎2‎≤x+π‎3‎≤2kπ+π‎2‎(k∈Z),‎ 得2kπ-‎5π‎6‎≤x≤2kπ+π‎6‎(k∈Z),‎ 所以F(x)的单调递增区间为‎2kπ-‎5π‎6‎,2kπ+‎π‎6‎(k∈Z).‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法1　根据函数图象确定函数解析式 ‎1.(2015课标Ⅰ,8,5分)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为(　　)‎ A.kπ-‎1‎‎4‎,kπ+‎‎3‎‎4‎,k∈Z B.‎2kπ-‎1‎‎4‎,2kπ+‎‎3‎‎4‎,k∈Z　　　C.k-‎1‎‎4‎,k+‎‎3‎‎4‎,k∈Z D.‎2k-‎1‎‎4‎,2k+‎‎3‎‎4‎,k∈Z 答案　D　‎ ‎2.函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<‎π‎2‎的部分图象如图所示,则φ=　　　　;ω=　　　　. ‎ 答案　-π‎6‎;‎‎4‎‎3‎ ‎3.已知函数f(x)=sin ωx(ω>0),若函数y=f(x+a)(a>0)的部分图象如图所示,则ω=　　　　,a的最小值是　　　　. ‎ 答案　2;‎π‎12‎ 方法2　三角函数性质问题的求解方法 ‎4.(2016课标Ⅱ,7,5分)若将函数y=2sin 2x的图象向左平移π‎12‎个单位长度,则平移后图象的对称轴为(　　)‎ A.x=kπ‎2‎-π‎6‎(k∈Z)　　　　B.x=kπ‎2‎+π‎6‎(k∈Z)　　　　C.x=kπ‎2‎-π‎12‎(k∈Z)　　　　D.x=kπ‎2‎+π‎12‎(k∈Z)‎ 答案　B　‎ ‎5.(2018课标Ⅱ,10,5分)若f(x)=cos x-sin x在[-a,a]是减函数,则a的最大值是(　　)‎ A.π‎4‎　　　　B.π‎2‎　　　　C.‎3π‎4‎　　　　D.π 答案　A　‎ ‎6.已知函数f(x)=sin x(cos x-‎3‎sin x).‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)求函数f(x)在x∈[0,π]上的单调递增区间.‎ 解析　(1)因为f(x)=sin x(cos x-‎3‎sin x)‎ ‎=sin xcos x-‎3‎sin2x ‎=‎1‎‎2‎sin 2x+‎3‎‎2‎cos 2x-‎‎3‎‎2‎ ‎=sin‎2x+‎π‎3‎-‎3‎‎2‎,‎ 所以函数f(x)的最小正周期T=‎2π‎2‎=π.‎ ‎(2)由2kπ-π‎2‎≤2x+π‎3‎≤2kπ+π‎2‎,k∈Z,得 ‎2kπ-‎5π‎6‎≤2x≤2kπ+π‎6‎,k∈Z,‎ 所以kπ-‎5π‎12‎≤x≤kπ+π‎12‎,k∈Z.‎ 所以函数f(x)在x∈[0,π]上的单调递增区间是‎0,‎π‎12‎和‎7π‎12‎‎,π.‎ 思路分析　(1)根据二倍角公式和辅助角公式化简f(x)即可得最小正周期;‎ ‎(2)求出f(x)的单调递增区间,再根据x∈[0,π]得出所求.‎ 方法点拨　第(2)问中求得函数f(x)的单调递增区间为kπ-‎5π‎12‎,kπ+‎π‎12‎(k∈Z),k=0时,单调递增区间为‎-‎5π‎12‎,‎π‎12‎;k=1时,单调递增区间为‎7π‎12‎‎,‎‎13π‎12‎.将两个区间与[0,π]取交集,可得所求单调递增区间为‎0,‎π‎12‎和‎7π‎12‎‎,π.‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ A组　自主命题·北京卷题组 考点一　三角函数的性质及其应用 ‎1.(2018北京,11,5分)设函数f(x)=cosωx-‎π‎6‎(ω>0).若f(x)≤fπ‎4‎对任意的实数x都成立,则ω的最小值为　　　　. ‎ 答案　‎‎2‎‎3‎ ‎2.(2014北京,14,5分)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0).若f(x)在区间π‎6‎‎,‎π‎2‎上具有单调性,且fπ‎2‎=f‎2π‎3‎=-fπ‎6‎,则f(x)的最小正周期为　　　　. ‎ 答案　π ‎3.(2016北京文,16,13分)已知函数f(x)=2sin ωxcos ωx+cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为π.‎ ‎(1)求ω的值;‎ ‎(2)求f(x)的单调递增区间.‎ 解析　(1)因为f(x)=2sin ωxcos ωx+cos 2ωx ‎=sin 2ωx+cos 2ωx ‎=‎2‎sin‎2ωx+‎π‎4‎,‎ 所以f(x)的最小正周期T=‎2π‎2ω=πω.‎ 依题意,得πω=π,解得ω=1.‎ ‎(2)由(1)知f(x)=‎2‎sin‎2x+‎π‎4‎.‎ 函数y=sin x的单调递增区间为‎2kπ-π‎2‎,2kπ+‎π‎2‎(k∈Z).‎ 由2kπ-π‎2‎≤2x+π‎4‎≤2kπ+π‎2‎(k∈Z),‎ 得kπ-‎3π‎8‎≤x≤kπ+π‎8‎(k∈Z).‎ 所以f(x)的单调递增区间为kπ-‎3π‎8‎,kπ+‎π‎8‎(k∈Z).‎ 评析本题考查了倍角公式、辅助角公式和正弦型函数的单调区间等知识,属中档题.‎ ‎4.(2015北京,15,13分)已知函数f(x)=‎2‎sinx‎2‎cosx‎2‎-‎2‎sin2x‎2‎.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)求f(x)在区间[-π,0]上的最小值.‎ 解析　(1)因为f(x)=‎2‎‎2‎sin x-‎2‎‎2‎(1-cos x)‎ ‎=sinx+‎π‎4‎-‎2‎‎2‎,‎ 所以f(x)的最小正周期为2π.‎ ‎(2)因为-π≤x≤0,‎ 所以-‎3π‎4‎≤x+π‎4‎≤π‎4‎.‎ 当x+π‎4‎=-π‎2‎,即x=-‎3π‎4‎时, f(x)取得最小值.‎ 所以f(x)在区间[-π,0]上的最小值为f‎-‎‎3π‎4‎=-1-‎2‎‎2‎.‎ 思路分析　(1)利用辅助角公式、二倍角公式把函数f(x)化成正弦型函数,再求最小正周期;(2)利用函数图象的性质求最小值.‎ 考点二　三角函数的图象及其变换 ‎1.(2016北京,7,5分)将函数y=sin‎2x-‎π‎3‎图象上的点Pπ‎4‎‎,t向左平移s(s>0)个单位长度得到点P'.若P'位于函数y=sin 2x的图象上,则(　　)‎ A.t=‎1‎‎2‎,s的最小值为π‎6‎　　B.t=‎3‎‎2‎,s的最小值为π‎6‎　　　C.t=‎1‎‎2‎,s的最小值为π‎3‎　　　D.t=‎3‎‎2‎,s的最小值为π‎3‎ 答案　A　‎ ‎2.(2014北京文,16,13分)函数f(x)=3sin‎2x+‎π‎6‎的部分图象如图所示.‎ ‎(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0,y0的值;‎ ‎(2)求f(x)在区间‎-π‎2‎,-‎π‎12‎上的最大值和最小值.‎ 解析　(1)f(x)的最小正周期为π,y0是f(x)的最大值,因此y0=3.由f(x)取最大值时x满足sin‎2x+‎π‎6‎=1,得x=kπ+π‎6‎(k∈Z).由图象知x0是区间(0,+∞)中从小到大排列的第二个最大值点的横坐标,因此x0=‎7π‎6‎.‎ ‎(2)因为x∈‎-π‎2‎,-‎π‎12‎,所以2x+π‎6‎∈‎-‎5π‎6‎,0‎.‎ 因为在区间‎-‎5π‎6‎,0‎上,y=3sin u分别在u=-π‎2‎和u=0处取得最小值和最大值,所以当2x+π‎6‎=0,即x=-π‎12‎时, f(x)取得最大值0;当2x+π‎6‎=-π‎2‎,即x=-π‎3‎时, f(x)取得最小值-3.‎ 思路分析　(1)由周期公式即可求出最小正周期;由解析式和图象可求出x0,y0的值.‎ ‎(2)由x∈‎-π‎2‎,-‎π‎12‎可得2x+π‎6‎∈‎-‎5π‎6‎,0‎,由正弦函数的单调性可求出f(x)的最值.‎ B组　统一命题、省(区、市)卷题组 考点一　三角函数的性质及其应用 ‎1.(2018课标Ⅲ,6,5分)函数f(x)=tanx‎1+tan‎2‎x的最小正周期为(　　)‎ A.π‎4‎　　　　B.π‎2‎　　　　C.π　　　　D.2π 答案　C　‎ ‎2.(2017课标Ⅲ,6,5分)设函数f(x)=cosx+‎π‎3‎,则下列结论错误的是(　　)‎ A. f(x)的一个周期为-2π B. y=f(x)的图象关于直线x=‎8π‎3‎对称　　　　‎ C. f(x+π)的一个零点为x=π‎6‎ D. f(x)在π‎2‎‎,π单调递减 答案　D　‎ ‎3.(2017天津,7,5分)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π.若f ‎5π‎8‎=2, f ‎11π‎8‎=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则(　　)‎ A.ω=‎2‎‎3‎,φ=π‎12‎　　　　B.ω=‎2‎‎3‎,φ=-‎11π‎12‎　　　　C.ω=‎1‎‎3‎,φ=-‎11π‎24‎　　　　D.ω=‎1‎‎3‎,φ=‎‎7π‎24‎ 答案　A　‎ ‎4.(2015安徽,10,5分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x=‎2π‎3‎时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是(　　)‎ A. f(2)< f(-2)< f(0)　　　　B. f(0)< f(2)< f(-2)　　　　C. f(-2)< f(0)< f(2)　　　　D. f(2)< f(0)< f(-2)‎ 答案　A　‎ ‎5.(2018江苏,7,5分)已知函数y=sin(2x+φ)‎-π‎2‎<φ<‎π‎2‎的图象关于直线x=π‎3‎对称,则φ的值是　　　　. ‎ 答案　-‎π‎6‎ ‎6.(2017山东,16,12分)设函数f(x)=sinωx-‎π‎6‎+sinωx-‎π‎2‎,其中0<ω<3.已知f π‎6‎=0.‎ ‎(1)求ω;‎ ‎(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移π‎4‎个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在‎-π‎4‎,‎‎3π‎4‎上的最小值.‎ 解析　本题考查了y=Asin(ωx+φ)的图象和性质.‎ ‎(1)因为f(x)=sinωx-‎π‎6‎+sinωx-‎π‎2‎,‎ 所以f(x)=‎3‎‎2‎sin ωx-‎1‎‎2‎cos ωx-cos ωx ‎=‎3‎‎2‎sin ωx-‎3‎‎2‎cos ωx=‎‎3‎‎1‎‎2‎sinωx-‎3‎‎2‎cosωx ‎=‎3‎sinωx-‎π‎3‎.‎ 由题设知fπ‎6‎=0,所以ωπ‎6‎-π‎3‎=kπ,k∈Z.‎ 故ω=6k+2,k∈Z,又0<ω<3,所以ω=2.‎ ‎(2)由(1)得f(x)=‎3‎sin‎2x-‎π‎3‎,‎ 所以g(x)=‎3‎sinx+π‎4‎-‎π‎3‎=‎3‎sinx-‎π‎12‎.‎ 因为x∈‎-π‎4‎,‎‎3π‎4‎,所以x-π‎12‎∈‎-π‎3‎,‎‎2π‎3‎,‎ 当x-π‎12‎=-π‎3‎,即x=-π‎4‎时,g(x)取得最小值-‎3‎‎2‎.‎ ‎7.(2017浙江,18,14分)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2‎3‎sin xcos x(x∈R).‎ ‎(1)求f ‎2π‎3‎的值;‎ ‎(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.‎ 解析　本题主要考查三角函数的性质及其变换等基础知识,同时考查运算求解能力.‎ ‎(1)由sin‎2π‎3‎=‎3‎‎2‎,cos‎2π‎3‎=-‎1‎‎2‎,‎ f‎2π‎3‎=‎3‎‎2‎‎2‎-‎-‎‎1‎‎2‎‎2‎-2‎3‎×‎3‎‎2‎×‎-‎‎1‎‎2‎,‎ 得f‎2π‎3‎=2.‎ ‎(2)由cos 2x=cos2x-sin2x与sin 2x=2sin xcos x得 f(x)=-cos 2x-‎3‎sin 2x=-2sin‎2x+‎π‎6‎.‎ 所以f(x)的最小正周期是π.‎ 由正弦函数的性质得π‎2‎+2kπ≤2x+π‎6‎≤‎3π‎2‎+2kπ,k∈Z,‎ 解得π‎6‎+kπ≤x≤‎2π‎3‎+kπ,k∈Z.‎ 所以, f(x)的单调递增区间是π‎6‎‎+kπ,‎2π‎3‎+kπ(k∈Z).‎ ‎8.(2017江苏,16,14分)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-‎3‎),x∈[0,π].‎ ‎(1)若a∥b,求x的值;‎ ‎(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.‎ 解析　(1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-‎3‎),a∥b,‎ 所以-‎3‎cos x=3sin x.‎ 若cos x=0,解得sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x≠0.‎ 于是tan x=-‎3‎‎3‎.‎ 又x∈[0,π],所以x=‎5π‎6‎.‎ ‎(2)f(x)=a·b=(cos x,sin x)·(3,-‎3‎)=3cos x-‎3‎sin x=2‎3‎cosx+‎π‎6‎.‎ 因为x∈[0,π],所以x+π‎6‎∈π‎6‎‎,‎‎7π‎6‎,‎ 从而-1≤cosx+‎π‎6‎≤‎3‎‎2‎.‎ 于是,当x+π‎6‎=π‎6‎,即x=0时, f(x)取到最大值3;‎ 当x+π‎6‎=π,即x=‎5π‎6‎时, f(x)取到最小值-2‎3‎.‎ ‎9.(2015重庆,18,13分)已知函数f(x)=sinπ‎2‎‎-xsin x-‎3‎cos2x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期和最大值;‎ ‎(2)讨论f(x)在π‎6‎‎,‎‎2π‎3‎上的单调性.‎ 解析　(1)f(x)=sinπ‎2‎‎-xsin x-‎3‎cos2x ‎=cos xsin x-‎3‎‎2‎(1+cos 2x)‎ ‎=‎1‎‎2‎sin 2x-‎3‎‎2‎cos 2x-‎3‎‎2‎=sin‎2x-‎π‎3‎-‎3‎‎2‎,‎ 因此f(x)的最小正周期为π,最大值为‎2-‎‎3‎‎2‎.‎ ‎(2)当x∈π‎6‎‎,‎‎2π‎3‎时,0≤2x-π‎3‎≤π,从而当0≤2x-π‎3‎≤π‎2‎,即π‎6‎≤x≤‎5π‎12‎时, f(x)单调递增,‎ 当π‎2‎≤2x-π‎3‎≤π,即‎5π‎12‎≤x≤‎2π‎3‎时, f(x)单调递减.‎ 综上可知, f(x)在π‎6‎‎,‎‎5π‎12‎上单调递增;在‎5π‎12‎‎,‎‎2π‎3‎上单调递减.‎ 评析本题考查二倍角公式,辅助角公式asin x+bcos x=a‎2‎‎+‎b‎2‎sin(x+φ),其中,tan φ=ba等三角变换公式,以及三角函数的图象与性质,属常规基础题.‎ ‎10.(2014天津,15,13分)已知函数f(x)=cos x·sinx+‎π‎3‎-‎3‎cos2x+‎3‎‎4‎,x∈R.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)求f(x)在闭区间‎-π‎4‎,‎π‎4‎上的最大值和最小值.‎ 解析　(1)由已知,有 f(x)=cos x·‎1‎‎2‎sinx+‎3‎‎2‎cosx-‎3‎cos2x+‎‎3‎‎4‎ ‎=‎1‎‎2‎sin x·cos x-‎3‎‎2‎cos2x+‎‎3‎‎4‎ ‎=‎1‎‎4‎sin 2x-‎3‎‎4‎(1+cos 2x)+‎‎3‎‎4‎ ‎=‎1‎‎4‎sin 2x-‎3‎‎4‎cos 2x ‎=‎1‎‎2‎sin‎2x-‎π‎3‎.‎ 所以f(x)的最小正周期T=‎2π‎2‎=π.‎ ‎(2)当x∈‎-π‎4‎,‎π‎4‎时,2x-π‎3‎∈‎-‎5π‎6‎,‎π‎6‎,当2x-π‎3‎∈‎-‎5π‎6‎,-‎π‎2‎,即x∈‎-π‎4‎,-‎π‎12‎时, f(x)单调递减,当2x-π‎3‎∈‎-π‎2‎,‎π‎6‎,即x∈‎-π‎12‎,‎π‎4‎时, f(x)单调递增.‎ 又f‎-‎π‎4‎=-‎1‎‎4‎, f‎-‎π‎12‎=-‎1‎‎2‎, fπ‎4‎=‎1‎‎4‎,‎ 所以函数f(x)在闭区间‎-π‎4‎,‎π‎4‎上的最大值为‎1‎‎4‎,最小值为-‎1‎‎2‎.‎ 评析本题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式,三角函数的最小正周期、单调性等基础知识.考查基本运算能力.‎ 考点二　三角函数的图象及其变换 ‎1.(2018天津,6,5分)将函数y=sin‎2x+‎π‎5‎的图象向右平移π‎10‎个单位长度,所得图象对应的函数(　　)‎ A.在区间‎3π‎4‎‎,‎‎5π‎4‎上单调递增 B.在区间‎3π‎4‎‎,π上单调递减　　　　‎ C.在区间‎5π‎4‎‎,‎‎3π‎2‎上单调递增 D.在区间‎3π‎2‎‎,2π上单调递减 答案　A　‎ ‎2.(2017课标Ⅰ,9,5分)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin‎2x+‎‎2π‎3‎,则下面结论正确的是(　　)‎ A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π‎6‎个单位长度,得到曲线C2‎ B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π‎12‎个单位长度,得到曲线C2　　　　C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的‎1‎‎2‎,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π‎6‎个单位长度,得到曲线C2‎ D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的‎1‎‎2‎,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π‎12‎个单位长度,得到曲线C2‎ 答案　D　‎ ‎3.(2016四川,3,5分)为了得到函数y=sin‎2x-‎π‎3‎的图象,只需把函数y=sin 2x的图象上所有的点(　　)‎ A.向左平行移动π‎3‎个单位长度　　　　B.向右平行移动π‎3‎个单位长度　　　　C.向左平行移动π‎6‎个单位长度　　　　D.向右平行移动π‎6‎个单位长度 答案　D　‎ ‎4.(2015四川,4,5分)下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是(　　)‎ A.y=cos‎2x+‎π‎2‎　　　　B.y=sin‎2x+‎π‎2‎　　　　C.y=sin 2x+cos 2x　　　　D.y=sin x+cos x 答案　A　‎ ‎5.(2016课标Ⅲ,14,5分)函数y=sin x-‎3‎cos x的图象可由函数y=sin x+‎3‎cos x的图象至少向右平移　　　　个单位长度得到. ‎ 答案　‎‎2π‎3‎ ‎6.(2016江苏,9,5分)定义在区间[0,3π]上的函数y=sin 2x的图象与y=cos x的图象的交点个数是　　　　. ‎ 答案　7‎ C组　教师专用题组 ‎1.(2016课标Ⅰ,12,5分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤‎π‎2‎,x=-π‎4‎为f(x)的零点,x=π‎4‎为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在π‎18‎‎,‎‎5π‎36‎上单调,则ω的最大值为(　　)‎ A.11　　　　B.9　　　　C.7　　　　D.5‎ 答案　B　‎ ‎2.(2016浙江,5,5分)设函数f(x)=sin2x+bsin x+c,则f(x)的最小正周期(　　)‎ A.与b有关,且与c有关　　　　B.与b有关,但与c无关　　　　C.与b无关,且与c无关　　　　D.与b无关,但与c有关 答案　B　‎ ‎3.(2015陕西,3,5分)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sinπ‎6‎x+φ+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为(　　)‎ A.5　　　　B.6　　　　C.8　　　　D.10‎ 答案　C　‎ ‎4.(2014四川,3,5分)为了得到函数y=sin(2x+1)的图象,只需把函数y=sin 2x的图象上所有的点(　　)‎ A.向左平行移动‎1‎‎2‎个单位长度 B.向右平行移动‎1‎‎2‎个单位长度　　　　C.向左平行移动1个单位长度 D.向右平行移动1个单位长度 答案　A　‎ ‎5.(2013四川,6,5分)函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,-π‎2‎<φ<‎π‎2‎的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是(　　)‎ A.2,-π‎3‎　　　　B.2,-π‎6‎　　　　C.4,-π‎6‎　　　　D.4,‎π‎3‎ 答案　A　‎ ‎6.(2018课标Ⅰ,16,5分)已知函数f(x)=2sin x+sin 2x,则f(x)的最小值是　　　　. ‎ 答案　-‎‎3‎‎3‎‎2‎ ‎7.(2015浙江,11,6分)函数f(x)=sin2x+sin xcos x+1的最小正周期是　　　　,单调递减区间是　　　　　　　. ‎ 答案　π;‎3‎‎8‎π+kπ,‎7‎‎8‎π+kπ(k∈Z)‎ ‎8.(2015湖北,17,11分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)ω>0,|φ|<‎π‎2‎在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:‎ ωx+φ ‎0‎ π‎2‎ π ‎3π‎2‎ ‎2π x π‎3‎ ‎5π‎6‎ Asin(ωx+φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎-5‎ ‎0‎ ‎(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;‎ ‎(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为‎5π‎12‎‎,0‎,求θ的最小值.‎ 解析　(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=- π‎6‎.‎ 数据补全如下表:‎ ωx+φ ‎0‎ π‎2‎ π ‎3π‎2‎ ‎2π x π‎12‎ π‎3‎ ‎7π‎12‎ ‎5π‎6‎ ‎13‎‎12‎π Asin(ωx+φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎-5‎ ‎0‎ 且函数表达式为f(x)=5sin‎2x-‎π‎6‎.‎ ‎(2)由(1)知 f(x)=5sin‎2x-‎π‎6‎,‎ 故g(x)=5sin‎2x+2θ-‎π‎6‎.‎ 因为y=sin x的对称中心为(kπ,0),k∈Z.‎ 令2x+2θ-π‎6‎=kπ,‎ 解得x=kπ‎2‎+π‎12‎-θ,k∈Z.‎ 由于函数y=g(x)的图象关于点‎5π‎12‎‎,0‎成中心对称,‎ 令kπ‎2‎+π‎12‎-θ=‎5π‎12‎,‎ 解得θ=kπ‎2‎-π‎3‎,k∈Z.‎ 由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值π‎6‎.‎ ‎9.(2014湖北,17,11分)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:‎ f(t)=10-‎3‎cosπ‎12‎t-sinπ‎12‎t,t∈[0,24).‎ ‎(1)求实验室这一天的最大温差;‎ ‎(2)若要求实验室温度不高于11 ℃,则在哪段时间实验室需要降温?‎ 解析　(1)f(t)=10-2‎3‎‎2‎cosπ‎12‎t+‎1‎‎2‎sinπ‎12‎t=10-2sinπ‎12‎t+‎π‎3‎,‎ 因为0≤t<24,‎ 所以π‎3‎≤π‎12‎t+π‎3‎<‎7π‎3‎,-1≤sinπ‎12‎t+‎π‎3‎≤1.‎ 于是f(t)在[0,24)上的最大值为12,最小值为8.‎ 故实验室这一天最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃.‎ ‎(2)依题意知,当f(t)>11时,实验室需要降温.‎ 由(1)得f(t)=10-2sinπ‎12‎t+‎π‎3‎,‎ 故有10-2sinπ‎12‎t+‎π‎3‎>11,‎ 即sinπ‎12‎t+‎π‎3‎<-‎1‎‎2‎.‎ 又0≤t<24,‎ 因此‎7π‎6‎<π‎12‎t+π‎3‎<‎11π‎6‎,即100)的形式是解题关键.‎ ‎【三年模拟】‎ 一、选择题(每小题5分,共40分)‎ ‎1.(2019届北京顺义一中10月月考文,6)要想得到函数y=sin‎2x-‎π‎3‎的图象,只需将函数y=sin x的图象上所有的点(　　)‎ A.先向右平移π‎3‎个单位长度,再将横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变 B.先向右平移π‎6‎个单位长度,再将横坐标缩短为原来的‎1‎‎2‎,纵坐标不变 C.先将横坐标缩短为原来的‎1‎‎2‎,纵坐标不变,再向右平移π‎6‎个单位长度 D.先将横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再向右平移π‎3‎个单位长度 答案　C　‎ ‎2.(2017北京平谷零模,6)若将函数f(x)=sin‎2x+‎π‎6‎的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是　(　　)‎ A.π‎3‎　　　　B.‎3π‎4‎　　　　C.‎2π‎3‎　　　　D.‎‎5π‎12‎ 答案　A　‎ ‎3.(2017北京朝阳二模,5)将函数f(x)=cos 2x图象上所有的点向右平移π‎4‎个单位长度后得到函数g(x)的图象,若g(x)在区间[0,a]上单调递增,则实数a的最大值为(　　)‎ A.π‎8‎　　　　B.π‎4‎　　　　C.π‎2‎　　　　D.‎‎3π‎4‎ 答案　B　‎ ‎4.(2019届北京四中期中,5)函数y=Asin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π‎2‎,x∈R的部分图象如图所示,则函数表达式为(　　)‎ A.y=-4sinπ‎8‎x-‎π‎4‎　　　　B.y=-4sinπ‎8‎x+‎π‎4‎　　　　C.y=4sinπ‎8‎x-‎π‎4‎　　　　D.y=4sinπ‎8‎x+‎π‎4‎ 答案　B　‎ ‎5.(2018北京门头沟一模,7)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则“m≥2”是“函数f(x)≤m对x∈[0,8]恒成立”的(　　)‎ A.充分不必要条件　　　　B.必要不充分条件　　　　C.充分必要条件　　　　D.既不充分也不必要条件 答案　B　‎ ‎6.(2017北京东城一模,7)将函数y=sin‎2x+‎π‎6‎的图象向左平移m(m>0)个单位长度,得到函数f(x)的图象,函数f(x)在区间‎-π‎12‎,‎‎5π‎12‎上单调递减,则m的最小值为(　　)‎ A.π‎12‎　　　　B.π‎6‎　　　　C.π‎4‎　　　　D.‎π‎3‎ 答案　C　‎ ‎7.(2019届北京潞河中学10月月考文,3)已知函数f(x)=|sin x|,x∈[-2π,2π],则方程f(x)=‎1‎‎2‎的所有根的和等于(　　)‎ A.0　　　　B.π　　　　C.-π　　　　D.-2π 答案　A　‎ ‎8.(2019届北京海淀期中文,2)函数f(x)=sin(x+φ)满足fπ‎3‎=1,则f‎5π‎6‎的值是(　　)‎ A.0　　　　B.‎1‎‎2‎　　　　C.‎3‎‎2‎　　　　D.1‎ 答案　A　‎ 二、填空题(每小题5分,共20分)‎ ‎9.(2019届中央民大附中10月月考,12)将函数y=sin 2x的图象上所有的点向右平行移动π‎10‎个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是　　　　. ‎ 答案　y=sinx-‎π‎5‎ ‎10.(2019届北京朝阳期中,13)海水受日月的引力,在一定的时候发生的涨落现象叫潮.港口的水深会随潮的变化而变化.某港口水的深度y(单位:米)是时刻t(0≤t≤24,单位:小时)的函数,记作y=f(t).下面是该港口某日水深的数据:‎ t ‎0‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎12‎ ‎15‎ ‎18‎ ‎21‎ ‎24‎ y ‎8.0‎ ‎11.0‎ ‎7.9‎ ‎5.0‎ ‎8.0‎ ‎11.0‎ ‎8.0‎ ‎5.0‎ ‎8.0‎ 经长期观察,曲线y=f(x)可以近似地看成函数y=Asin ωt+b(A>0,ω>0)的图象,根据以上数据,可知函数y=f(t)的近似表达式为　　　　　　. ‎ 答案　y=f(t)=3sinπ‎6‎t+8,0≤t≤24‎ ‎11.(2018北京西城一模,12)设ω>0,若函数y=cos2ωx的最小正周期为π‎2‎,则ω=　　　　. ‎ 答案　2‎ ‎12.(2018北京朝阳一模,11)函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<‎π‎2‎的部分图象如图所示,则ω=　　　　　;函数f(x)在区间π‎3‎‎,π上的零点为　　　　. ‎ 答案　2;‎‎7π‎12‎ 三、解答题(共30分)‎ ‎13.(2019届北京潞河中学10月月考文,15)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π‎2‎的图象的一部分如图所示.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式;‎ ‎(2)当x∈‎-6,-‎‎1‎‎3‎时,求函数y=f(x)的最大值与最小值及相应的x的值.‎ 解析　(1)由图象知A=2,T=8=‎2πω,‎ ‎∴ω=π‎4‎,故f(x)=2sinπ‎4‎x+φ.‎ 由π‎4‎×1+φ=2kπ+π‎2‎得φ=2kπ+π‎4‎,k∈Z,‎ 又|φ|<π‎2‎,∴φ=π‎4‎,∴f(x)=2sinπ‎4‎x+‎π‎4‎.‎ ‎(2)y=f(x)=2sinπ‎4‎x+‎π‎4‎,‎ ‎∵x∈‎-6,-‎‎1‎‎3‎,‎ ‎∴π‎4‎x+π‎4‎∈‎-‎5π‎4‎,‎π‎6‎,‎ ‎∴当π‎4‎x+π‎4‎=-‎5π‎4‎,即x=-6时, f(x)取得最大值为‎2‎,‎ 当π‎4‎x+π‎4‎=-π‎2‎,即x=-3时, f(x)取得最小值为-2.‎ ‎14.(2019届北京牛栏山一中期中,16)已知函数f(x)=2cos x·sinx+‎π‎3‎-‎3‎sin2x+sin xcos x.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期和f(x)图象的对称轴方程;‎ ‎(2)求函数f(x)的单调递增区间.‎ 解析　(1)f(x)=2cos xsinx+‎π‎3‎-‎3‎sin2x+sin xcos x=sin 2x+‎3‎cos 2x=2sin‎2x+‎π‎3‎,‎ 所以f(x)的最小正周期为π,‎ 令2x+π‎3‎=kπ+π‎2‎,k∈Z,解得x=kπ‎2‎+π‎12‎,k∈Z,‎ 所以对称轴方程为x=kπ‎2‎+π‎12‎,k∈Z.‎ ‎(2)令2kπ-π‎2‎≤2x+π‎3‎≤2kπ+π‎2‎,k∈Z,解得kπ-‎5π‎12‎≤x≤kπ+π‎12‎,k∈Z,所以, f(x)的单调递增区间为kπ-‎5π‎12‎,kπ+‎π‎12‎,k∈Z.(开区间亦可)‎ ‎15.(2018北京西城期末,15)已知函数f(x)=2sin2x-cos‎2x+‎π‎3‎.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)求证:当x∈‎0,‎π‎2‎时, f(x)≥-‎1‎‎2‎.‎ 解析　(1)因为f(x)=2sin2x-cos‎2x+‎π‎3‎ ‎=1-cos 2x-‎cos2x·cos π‎3‎-sin2x·sin ‎π‎3‎ ‎=‎3‎‎2‎sin 2x-‎3‎‎2‎cos 2x+1‎ ‎=‎3‎sin‎2x-‎π‎3‎+1,‎ 所以f(x)的最小正周期T=‎2π‎2‎=π.‎ ‎(2)证明:因为0≤x≤π‎2‎,所以-π‎3‎≤2x-π‎3‎≤‎2π‎3‎.‎ 所以sin‎2x-‎π‎3‎∈‎-‎3‎‎2‎,1‎,‎ 所以f(x)∈‎-‎1‎‎2‎,‎3‎+1‎.‎ 所以f(x)≥-‎1‎‎2‎.‎ 试题分析　(1)根据二倍角的余弦公式、两角和的余弦公式以及辅助角公式化简函数,得f(x)=‎3‎sin‎2x-‎π‎3‎+1,利用周期公式可得T=‎2π‎2‎=π;(2)由0≤x≤π‎2‎,得-π‎3‎≤2x-π‎3‎≤‎2π‎3‎,求得f(x)的值域,从而可得f(x)≥-‎1‎‎2‎.‎