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- 2021-04-18 发布
高三数学周练22（A）
命题人：曾维平 审题人：辜曦 2017.2.25
一、 选择题：
1．若集合, 集合, 则（ ）
A． B． C． D．
2．已知是虚数单位, 若, 则( )
A． B． C． D．
3．若, 则（ ）
A． B． C． D．
4．已知命题, 是简单命题, 则“是真命题”是“是假命题”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分有不必要条件
5． 如图, 四边形是正方形, 延长至, 使得,
若点为的中点, 且, 则( )
A．3 B． C．2 D．1
6．执行下图的程序框图, 则输出的为（ ）
A．9 B．11 C. 13 D．15
7．从1, 3, 5, 7, 9中任取3个数字, 从2, 4, 6, 8中任取2个数字,
组成没有重复数字的五位数, 则组成的五位数是偶数的概率是( )
A． B． C． D．
8．已知数列满足若对于任意的都
有, 则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知不等式对于恒成立, 则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
10．如图, 在三棱锥中, 已知三角形和三角形所在平面互相垂直, , , 则直线与平面所角
的大小是( )
A． B． C． D．
11．椭圆的一个焦点为, 该椭圆上有一点, 满足是等边三角形(为坐标原点) , 则椭圆的离心率是( )
A． B． C． D．
12．已知函数与的图象关于轴对称, 当函数和在区间同时递增或同时递减时, 把区间叫做函数的“不动区间”, 若区间为函数的“不动区间”, 则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
一、 填空题
13．二项式的展开式中常数项为 ．
14．学校艺术节对同一类的, , , 四项参赛作品, 只评一项一等奖, 在评奖揭晓前, 甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：
甲说：“是或作品获得一等奖”；
乙说：“作品获得一等奖”；
丙说：“, 两项作品未获得一等奖”；
丁说：“是作品获得一等奖”．
若这四位同学中只有两位说的话是对的, 则获得一等奖的作品是 ．
15．如图, 网格纸上小正方形的边长为1, 粗实线画出的是某几何体的
三视图, 若该几何体的各个顶点在某一个球面上, 则该球面的面积
为 ．
16．若一直线与圆和函数的图象相切于
同一点, 则的值为 ．
三、解答题 (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17．在△ABC中, 角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 且．
(1) 求sinB的值；
(2) 若a=4, 求△ABC的面积S的值．
18．某中学拟在高一下学期开设游泳选修课, 为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关, 该学校对100名高一新生进行了问卷调查, 得到如下列联表：
喜欢游泳
不喜欢游泳
合计
男生
10
女生
20
合计
已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为．
(1) 请将上述列联表补充完整：并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；
(2) 针对于问卷调查的100名学生, 学校决定从喜欢游泳的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立游泳科普知识宣传组, 并在这6人中任选2人作为宣传组的组长, 设这两人中男生人数为X, 求X的分布列和数学期望．
下面的临界值表仅供参考：
P(K2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
(参考公式：, 其中n=a+b+c+d)
19．在四棱锥中P﹣ABCD, 底面ABCD是正方形, 侧面PAD⊥底面ABCD, 且PA=PD=AD、E、F, 分别为PC、BD的中点．
(1) 求证：EF∥平面PAD；
(2) 在线段AB上是否存在点G, 使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为, 若存在,
请求出点G的位置；若不存在, 请说明理由．
20．已知椭圆C：的短轴长为2, 离心率e=,
(1) 求椭圆C的标准方程：
(2) 若F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点, 过F2的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B,
求△F1AB的内切圆半径的最大值．
21．已知函数（为自然对数的底数）, 是的导函数.
（Ⅰ）当时, 求证；
（Ⅱ）是否存在正整数, 使得对一切恒成立？若存在, 求出的最大值；若不存在, 说明理由.
请考生在第22、23题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．已知在直角坐标系中, 曲线的C参数方程为(φ为参数) , 现以原点为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 直线l的极坐标方程为ρ=．[来源:学科网]
(1) 求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2) 在曲线C上是否存在一点P, 使点P到直线l的距离最小？若存在, 求出距离的最小值及
点P的直角坐标；若不存在, 请说明理由．
[选修4-5：不等式选讲][来源:Z|xx|k.Com]
23．已知函数f(x) =|x|+|x﹣3|．
(1) 解关于x的不等式f(x) ﹣5≥x；
(2) 设m, n∈{y|y=f(x) }, 试比较mn+4与2(m+n) 的大小．
高三数学周练22(A)
参考答案
一、ABB CDBBB AC
二、13、24 14、B 15、 16、3
三、17、解：（1）∵由得, …
∴cosC=cos2A=cos2A﹣sin2A=, …2分
∴sinC==, …3分
又∵A+B+C=π, sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C）, …4分
∴．…
（2）由正弦定理得, …
∴△ABC的面积．…
18．解：（1）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为,
所以喜欢游泳的学生人数为人…
其中女生有20人, 则男生有40人, 列联表补充如下：
喜欢游泳
不喜欢游泳
合计
男生
40
10
50
女生
20
30
50
合计
60
40
100
…
因为…
所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关…
（2）喜欢游泳的共60人, 按分层抽样抽取6人, 则每个个体被抽到的概率均为,
从而需抽取男生4人, 女生2人．
故X的所有可能取值为0, 1,
2…,
X的分布列为：[来源:学#科#网Z#X#X#K]
X
0
1
2
P
…
…
19．（1）证明：连接AC, 由正方形性质可知, AC与BD相交于点F,
所以, 在△PAC中, EF∥PA…
又PA⊂平面PAD, EF⊄平面PAD…
所以EF∥平面PAD…
（2）取AD的中点O, 连接OP, OF,
因为PA=PD, 所以PO⊥AD,
又因为侧面PAD⊥底面ABCD, 交线为AD, 所以PO⊥平面ABCD,
以O为原点, 分别以射线OA, OF和OP为x轴, y轴和z轴建立空间直角坐标系, O﹣xyz, 不妨设AD=2…
则有P（0, 0, 1）, D（﹣1, 0, 0）, C（﹣1, 2, 0）, 假设在AB上存在点G（1, a, 0）, 0＜a＜2,
则=（﹣1, 2, ﹣1）, =（﹣1, 0, ﹣1）, =（2, a, 0）…
因为侧面PAD⊥底面ABCD, 交线为AD, 且底面是正方形,
所以CD⊥平面PAD, 则CD⊥PA,
由PA2+PD2=AD2得PD⊥PA,
所以PA⊥PDC, 即平面PDC的一个法向量为=（1, 0, ﹣1）…
设平面PDG的法向量为=（x, y, z）, 则, 亦即, 可取=（a, ﹣2, ﹣a）…
由二面角C﹣PD﹣G的余弦值为, 可得a=1…,
所以线段AB上存在点G, 且G为AB的中点,
使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为…
20．解：（1）由题意可得…
解得…
故椭圆的标准方程为…
（2）设A（x1, y1）, B（x2, y2）, 设△F1AB的内切圆的半径为R,
因为△F1AB的周长为4a=8, ,
因此最大, R就最大…,
由题意知, 直线l的斜率不为零, 可设直线l的方程为x=my+1,
由得（3m2+4）y2+6my﹣9=0, [来源:学+科+网]
所以, …
又因直线l与椭圆C交于不同的两点,
故△＞0, 即（6m）2+36（3m2+4）＞0, m∈R, 则
…
令, 则t≥1, ．
令, 由函数的性质可知, 函数f（t）在上是单调递增函数,
即当t≥1时, f（t）在[1, +∞）上单调递增,
因此有, 所以,
即当t=1, m=0时, 最大, 此时,
故当直线l的方程为x=1时, △F1AB内切圆半径的最大值为…
21．解：（Ⅰ）当时, , 则 ,
令, 则 ,
令, 得, 故在时取得最小值,
在上为增函数,
,
（Ⅱ） ,
由, 得对一切恒成立,
当时, 可得, 所以若存在, 则正整数的值只能取1,2.
下面证明当时, 不等式恒成立,
设 , 则 ,
由（Ⅰ） , ,
当时, ；当时, ,
即在上是减函数, 在上是增函数,
,
当时, 不等式恒成立
所以的最大值是2.
22．解：（1）曲线的C参数方程为（φ为参数）, 普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4,
直线l的极坐标方程为ρ=, 直角坐标方程为x﹣y﹣4=0；
（2）点P到直线l的距离d==
∴φ﹣=2kπ﹣, 即φ=2kπ﹣（k∈Z）, 距离的最小值为, 点P的直角坐标（3, -1）．
23．解：（1）…
得或或, 解之得或x∈ϕ或x≥8,
所以不等式的解集为…
（2）由（1）易知f（x）≥3, 所以m≥3, n≥3…
由于2（m+n）﹣（mn+4）=2m﹣mn+2n﹣4=（m﹣2）（2﹣n）…
且m≥3, n≥3, 所以m﹣2＞0, 2﹣n＜0, 即（m﹣2）（2﹣n）＜0,
所以2（m+n）＜mn+4…