- 409.50 KB
- 2021-04-18 发布
辽宁省沈阳市城郊市重点联合体2019-2020学年高二上学期第二次月考数学试题（理）
试卷说明：1、本试卷命题范围是高中数学选修2-2（人教Ｂ版）；
2、试卷分两卷，第I卷为单项选择题，请将正确答案用2B铅笔涂在答题卡上，
第II卷为填空题和解答题，请将答案按照题序用黑色水性签字笔填写在答题纸上；
3、本卷满分150分，考试时间为120分钟。
第I卷（选择题，共60分）
一.选择题（共12小题，每小题5分，共60分。在每题给出的选项中,选择一个符合题目要求的选项。）
1. 若实数x,y满足(1+i)x+(1-i)y=2，则xy等于（ ）
A. 1 B. 2 C. -2 D. -1
2. 某个命题与正整数有关，若当时该命题成立，那么可推得当时该命题也成立，现已知当时该命题不成立，那么可推得( )
A.当时，该命题不成立 B.当时，该命题成立
C.当时，该命题成立 D.当时，该命题不成立
3. .若函数f(x)=2x2+1，图象上P(1,3)及邻近上点Q(1+Δx,3+Δy)， 则=（ ）
A. 4 B .4Δx C.4+2Δx D. 2Δx
4. 设，则=（ ）
A. sinx B. -sinx C. cosx D. -cosx
5. 已知,则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
6.与的大小关系是（ ）.
A. ； B. ；
C. ； D.无法判断
7. 设y=x-lnx，则此函数在区间(0,1)内为（ ）
A．单调递增， B、有增有减 C、单调递减， D、不确定
8推理:“①矩形是平行四边形;②三角形不是平行四边形;③所以三角形不是矩形”中的小前提是( )
A.① B.② C.③ D.①和③
9．函数的定义域为开区间，导函数在内的图 象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
10 .设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当 x＜0时,.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是（ ）
A．(-3,0)∪(3,+∞) B．(-3,0)∪(0, 3)
C．(-∞,-3)∪(3,+∞) D．(-∞,-3)∪(0, 3)
11.用反证法证明命题:若整数系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理根,那么a.b.c中至少有一个是偶数,下列各假设中正确的是( )
A假设a.b.c都是偶数 B假设a.b.c都不是偶数
C假设a.b.c中至多有一个是偶数 D假设a.b.c中至多有两个是偶数
12．已知函数在R上满足，则曲线在点
处的切线方程是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13． .若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_____________.
14．定义运算,若复数满足,其中为虚数单位,则复数
．
15．.观察下列式子 , … … ,
则可归纳出________________________________
16．已知三角形的两边之和大于第三边,利用类比原理可以推测空间四面体的性质为：
________________________________
三、解答题：本大题共6小题，共74分.
17.（本小题满分12分）
三次函数，当x=1时取极大值4，当x=3时取极小值0，且函数图象过原点，求的解析式，并求在［-1,4］上的值域.
18．（本小题满分12分）为支援玉树地区抗震救灾,
某市某食品加工厂计划为灾区捐赠一批食品，已知该产品的月生产量（吨）与每吨产品的价格（元/吨）之间的关系式为：,且生产x吨的成本为（元）.问该厂每月生产多少吨产品才能为灾区奉献最大利润？最大利润是多少？（利润=收入─成本）
19.（本小题满分12分）
是否存在复数z,使其满足z·+2i=3+ai(a∈R)?如果存在,求出z的值;如果不存
在,请说明理由.
20. （本小题满分12分）
设曲线y=e-x(x≥0)在点M(t,e-t)处的切线l与x轴、y轴围成的三角形面积为S(t).
(1)求切线l的方程；
(2)求S(t)的最大值。
21. （本小题满分12分）
设正整数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=(an+).
(1)求出a1,a2,a3, 猜想出an,.并
(2) 用数学归纳法证明你的猜想
22．（本小题满分14分）
已知函数在与时都取得极值
(1)求的值与函数的单调区间
(2)若对，不等式恒成立，求的取值范围。
高二数学期中测试题参考答案
一.选择题
A D C C B B C B A D B A
二.填空题
13.() 14.1-i 15. .(n∈N*)
16.四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积.
17.解析：∵函数图象过原点，∴可设=ax3+bx2+cx.……2分
∴f′(x)=3ax2+2bx+c. ……3分
∴在x=1,x=3处取极值.
∴x=1,x=3为f′(x)=0的两根.
∴1+3=,1×3=. ……7分
又f(1)=4,可解得a=1,b=-6,c=9, =x3-6x2+9x.……9分
∴f(-1)=-16,f(4)=4.
在［-1,4］上的值域为［-16,4］ …….12分
18.解：每月生产x吨时的利润为
……4分
，故它就是最大值点，……8分
且最大值为：……10分
答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元…….12分
19.解析:设z=c+bi(c、b∈R), ……2分
则(c+bi)(c-bi)+2i(c-bi)=3+ai,
c2+b2+2b+2ci=3+ai,
∴ ……4分
∴
∴(b+1)2=4-. ……6分
当4-≥0,即-4≤a≤4时,b=.……8分
当4-<0,即a>4或a<-4时,z不存在.……10分
当a∈［-4,4］时,存在复数z=+i,使z·+2i=3+ai…….12分
20.（Ⅰ）因为 所以切线的斜率为……2分
故切线的方程为即……4分
（Ⅱ）令y=0得x=t+1,
又令x=0得……6分
所以S（t）=
=……8分
从而……9分
∵当（0，1）时，>0, 当（1,+∞）时,<0,
所以S(t)的最大值为S(1)= 2……12分
.21.解:n=1时,a1=S1=(a1+),∴a12=1,又∵an>0,∴a1=1.
n=2时,S2= (a2+)=a1+a2,
∴a22+2a2-1=0.
又∵an>0,
∴a2=-1.
n=3时,S3=(a3+)=a1+a2+a3,
∴a32+a3-1=0.又∵an>0,
∴a3=……4分
规律已基本形成,由此猜想
an=…….5分
下面用数学归纳法证明:
(1)当n=1时,a1==1,命题成立……7分
(2)假设n=k时命题成立,即ak=,……8分
则当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=(ak+1+)-(ak+)
=(ak+1+)-(+)
=(ak+1+)-.
∴ak+12+-1=0.
又∵an>0,∴ak+1=-,则n=k+1时,命题也成立……11分
解由(1)(2)知对一切正整数n,命题均成立……12分
22．解：（1）……2分
由，得……4分
，函数的单调区间如下表：
极大值
¯
极小值
所以函数的递增区间是与,递减区间是；……7分
（2），当时，
为极大值，而，则为最大值……10分
，要使恒成立，
则只需要，得。……14分