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- 2021-04-18 发布
2017-2018学年广西陆川县中学高二上学期期末考试
理科数学
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．抛物线 的准线方程是( )
A． B． C． D．
2．若双曲线的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．
3．设变量，满足约束条件，则的取值范围为（）
A. [2，6] B. （－∞，10] C. [2，10] D. （－∞，6]
4．已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则等于( )
A. -4 B. -6 C. -8 D. -10
5．若下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
6．不等式的解集是，则的值是（）
A. B. C. 14 D. 10
7．抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A. B. C. D.
8．设命题：，使得，则为（ ）
A. ， B.
C. D. ，
9．已知向量，，则“”是“与共线”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
10．下列有关命题的说法正确的是（ ）
A. 命题“若”的否命题为“若”
B. “”是“”的充要条件
C. 命题“使得”的否定是 “均有”
D. 命题“若,则=”的逆否命题为真命题
11．已知，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
12．已知椭圆的两个焦点分别为，若椭圆上不存在点，使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．观察下列不等式
，
……
照此规律，第五个不等式为 .
14．已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于、两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 .
15．若，则 .
16．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点A为椭圆的上顶点，B是直线 AF2与椭圆的另一个交点，且的面积为，则a的值是 .
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．（本小题10分）
给出两个命题：命题甲：关于 的不等式 的解集为 ，命题乙：函数 为增函数．分别求出符合下列条件的实数 的范围.
(1)甲、乙至少有一个是真命题；
(2)甲、乙中有且只有一个是真命题.
18． （本小题12分）
已知三棱锥S－ABC中,底面ABC为边长等于2的等边三角形,SA垂直于底面ABC，SA＝3，（1）如图建立空间直角坐标系，写出、的坐标；
（2）求直线AB与平面SBC所成角的正弦值.
19． （本小题12分）
如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，B B1 的中点，AA1＝AC＝CB＝
AB =2.
(1)求证：BC1∥平面A1CD；
(2)求二面角D－A1C－E的正弦值.
20． （本小题12分）
已知椭圆C：的离心率e＝，A，B是椭圆C上两点，N(3，1)是线段AB的中点.
（1）求直线AB的方程；
（2）若以AB为直径的圆与直线相切，求出该椭圆方程.
21.（本小题12分）
已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1，0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.
(1)求曲线C的方程；
(2)是否存在正实数m，对于过点M(m，0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有· <0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
22．（本小题12分）
已知椭圆C： ，四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），
P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.
（1） 求椭圆C的方程；
（2） 设直线不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：过定点.
[]
理科数学答案
1. D 2. D3．D4．B5．C6．A7．C8．B9．A10．D11．D12．A
13. 14. x= -1 15. 16. 10
17．（本小题10分）
解析：甲命题为真时，Δ＝(a－1)2－4a2＜0，
即a＞或a＜－1.................................................2分
乙命题为真时，2 a2－a＞1，
即a＞1或a＜－.................................................................................................4分
(1)甲、乙至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集，
a的取值范围是...............................7分
(2)甲、乙中有且只有一个是真命题，有两种情况：
甲真乙假时，＜a≤1，甲假乙真时，－1≤a<－，
∴甲、乙中有且只有一个真命题时，a的取值范围为
....................................10分
18． （本小题12分）
解析：(1)建系如图，则S(0,0,3)，A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,2,0)．
∴＝(，1,0)，＝(，1，－3)，＝(0,2，－3)．...........6分
(2)设面SBC的法向量为．
则
令y＝3，则z＝2，x＝，∴．
设AB与面SBC所成的角为θ，则............12分
19． （本小题满分12分）
解析：(1)证明：连接AC1，交A1C于点F，则F为AC1的中点．又D是AB的中点
，连接DF，则BC1∥DF.
因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.
(2)由AC＝CB＝AB，得AC⊥BC.............................4分
以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.
设CA＝2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，，＝(1,1,0)，＝(0,2,1)，
．
设是平面A1CD的法向量，
则
可取．
同理，设是平面A1CE的法向量，则可取．
从而，故.
即二面角D－A1C－E的正弦值为................................12分
18． （本小题12分）
解析：(1)离心率e＝，设椭圆C：x2＋3y2＝a2(a＞0)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，设直线AB的方程为y＝k (x－3)＋1，代入x2＋3y2＝a2，
整理得(3k2＋1)x2－6k(3k－1)x＋3(3k－1)2－a2＝0.①
Δ＝4[a2(3k2＋1)－3(3k－1)2]＞0，②且，
由N(3，1)是线段AB的中点，得．
解得k＝－1，代入②得a2＞12，直线AB的方程为y－1＝－(x－3)，即x＋y－4＝0..6分
(2)圆心N(3，1)到直线的距离,.
当时方程①即
，解得.
椭圆方程为....................................................12分
21.（本小题12分）
解析: (1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足： ]
(x＞0).化简得y2＝4x(x＞0)..................................................4分
(2)设过点M(m，0)(m＞0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2).
设l的方程为x＝ty＋m，由得y2－4ty－4m＝0，
Δ＝16(t2＋m)＞0，于是①
又＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，·＜0⇔
(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＜0.②
又x＝，于是不等式②等价于·＋y1y2－＋1＜0⇔
＋y1y2－＋1＜0.③
由①式，不等式③等价于m2－6m＋1＜4t2.④
对任意实数t，4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2－6m＋1＜0，即3－2＜m＜3＋2.
由此可知，存在正数m，对于过点M(m，0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有·＜0，且m的取值范围是(3－2，3＋2)...........................12分
22．（本小题12分）
解析:（1）由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知C经过P3，P4两点
又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.
因此 ，解得
故C的方程为................................................4分
（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1、k2,
如果l与x轴垂直，设l:x=t,由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（），（t，）则,得t=2，
不符合题设.
从而可设l: ，将代入得
由题设可知
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，
而
由题设，故.
即.
解得.
当且仅当时，，欲使l：，即，
所以l过定点（2，）..................................................12分